时间：2022-02-10 14:02:01
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教学目标：
通过教学，使学生正确理解百分数的意义，了解百分数与分数的异同，正确读写百分数.
教学重点：
百分数的意义.
教学难点：
百分数与分数的异同.
教学过程：
一、复习引入：
教师小结：分数既可以表示数量，也可以表示关系.
2.下面各句中的分数表示什么意思?(学生回答，教师在黑板上画出线段图.)
提问：单位一是谁?分数表示谁与谁的关系?
二、新课：
1.意义：上面这些表示关系的分率和倍数都可以用一种新的数来表示，这种数叫百分数.
(板书课题，并把上面句中和图中的分数改成百分数，指导读法.)
(1)参加课外小组的人数占全年级的70%.(读作：百分之七十)
(2)已经修了一条路的25%.(读作：百分之二十五)
(3)今年的钢产量是去年的120%.(读作：百分之一百二十)
提问：这些百分数在各句中分别表示谁与谁的关系?谁表示100份?
像这样表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数，也叫做百分率或百分比.(补充板书)
追问：百分数是一种什么数?
2.指导写法：
写百分数时，先写分子，再写百分号(70%)，百分号先写左上角的圆圈，再写斜线，最后写右下角的圆圈，两个圆圈写的要比分子小.
读百分数时，与分数的读法一样.(示范读法)
练一练：用手指在桌上写一写，然后读一读.
在本上写：25%16.7%1.25%100%131%
3.比较百分数与分数的异同：(小组讨论后指名发言，教师出示投影)
同：都是数，读法相同.
异：(1)意义不同：分数是表示把单位一平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，既可以表示数量，也可以表示关系.百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数，只能表示关系，不能表示数量.
(2)写法不同：写分数时，先写分数线，再写分母，最后写分子，分子、分母分别写在分数线的上下.写百分数时，先写分子，后面写上百分号.
(3)使用范围不同：分数的分子只能比分母小，分子大于分母的要化成带分数或整数，不是最简分数的要化成最简分数，分子必须是整数.而百分数的分子可以比分母小，也可以比分母大，还可以和分母相等，可以是整数，也可以是小数.
三、练习：
1.读百分数：(互相读)
1%5%99%100%300%0.6%38.3%233.3%
2.写百分数：(两组互相看)
百分之七百分之四十六
百分之五点三百分之三百一十点六
百分之五十五百分之四百
百分之零点一百分之百
3.把下图中的阴影部分用百分数表示，说说阴影部分、空白部分各占整体的百分之几.
4.用阴影表示下面的百分数，说说百分数表示谁占谁的百分之几.
5.判断：(用手势表示)
(1)一本书，已经看了它的75%，还有25%没有看.()
(2)一根绳子长50%米.()
(3)分母是100的分数叫百分数.()
(4)火车的速度比汽车快25%，火车的速度是汽车速度的125%.()
一、理解单位“1”
1.电脑演示出示，我们将一块饼、一张纸平均分，这样的一个物体我们都可以用自然数1来表示，通常我们把它叫做单位“1”。
2.让生看大屏幕上的线段：说一说括号里填什么，并说出你的理由。
师：像这条线段一样，一个计量单位也可以称为单位“1”。
3.那么，单位“1”除了表示一个物体、一个计量单位外，还可以表示什么呢？
4.出示4个苹果图问：如果把它看作一个整体，平均分成4份，1个苹果就是这个整体的几分之几？出示6只熊猫图，如果把它看作一个整体，平均分成6份，一只熊猫就是这个整体的几分之几？师问：这里，谁又是单位“1”？
师小结：一个物体、一个计量单位或是许多物体组成的一个整体，都可以用自然数1来表示，通常我们把它叫做单位“1”。
5.同桌说一说什么叫单位“1”？在我们身边还可以把哪些看作单位“1”？
（反思：在这个环节的教学中，教学层次清晰，教学过程流畅。在难点单位“1”的教学中，先认识被平均分的一块饼、一张正方形纸，这样的物体可以叫做单位“1”，再认识一个计量单位也可以叫做单位“1”，最后通过平均分4个苹果这个实例，认识单位“1”也可以表示一个整体，剖析明确，教师提出的问题都能得到令人满意的回答，似乎已经达到了预期的教学效果，但深思一下，在教师一步一步的“引导”下，学生到底有没有真正参与到探索知识的发生发展过程中去呢？《义务教育数学课程标准》中不仅指出了数学教学的“知识技能目标”，而且明确阐述了数学教学的“过程性目标”，数学学习应该在学生已有经验的基础上引导学生对新问题进行主动探索，而不是被动地接受信息。）
二、理解分数的意义
1.让学生每4人一组，用学具摆一摆：把6张熊猫卡片看作单位“1”，平均分成若干份，有几种分法，每份是这个整体的几分之几？
2.学生汇报分的过程，电脑同时进行演示。
3.分别根据平均分成2份、3份、6份的示意图说出其他分数。
电脑出示：一个物体、一个计量单位、一个整体。
师问：无论你们分的是“一个物体”还是“一个计量单位”，或是由许多物体组成的一个整体，都是把它们怎么分的呀？屏幕显示：阴影部分是纸的1/4吗？
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【正文】
教师关于《一份个性教案》读书心得体会
加格达奇区第二小学 黄鹏
在假期中我读了《一份个性教案》这本书。心中有一些体会，深知要当好新时代的教师并不是一件简单的事情，教师是“人类灵魂的工程师”，对学生的成长和成才的作用不言而喻。古人对教师的职责概括为：传道、授业、解惑。这其实只指出了老师“教书育人”的职责中教书的一面，而“为人师表”则对老师提出了更高的人格上的要求。
教师就应热爱教育事业，热爱学生，主动经常与学生沟通交流，愿意与学生成为朋友，建立起平等和谐的师生关系，遇事冷静，不随便发怒，不以威压人，处事公平合理，不抱偏见，对自我所有的学生一视同仁，树立较高的威信。教师要重视教育法规的学习，具有依法执教意识，以及对违法违规行为的辨识力，要尊重学生，不得变相体罚。教师应重视自身的道德形象，追求人格完美，重视教师职业的特质修养和个性魅力，有更高的人文目标。如教师的形象，既要“德才兼备”、“严格负责”，又要“幽默风趣”、“热情活泼”；对教师素质，要注意培养学生喜欢的“幽默”、“热情”、“机智”等特质；对自身形象的追求，既要“自然”、“礼貌”，又要有“举止优雅”、“谈吐高雅”等较高素质修养层次的追求。
案例背景分析：
2012年11月，学校举行了语文、数学年段教学组“优秀团队”评比活动，要求每个年级组派三位教师参加，其中一人说课、一人上课、一人进行课后反思。十多年没参加教学竞赛活动的我很荣幸地被选中，负责上课这项“光荣任务”。由于这次参赛的教学内容临时通知，又是借班上课，无疑给教学设计和教学实施增加了难度。幸好在我们六年级组全体数学教师的共同努力下，我终于顺利地完成了“分数的意义”的教学，为六年级组获得“优秀团队”称号出了一份力。虽然这事已经过去很久了，但我对“分数的意义”这节课的教学感触颇深，现撷取其中的几个教学片断，与大家共享。
教学片断与分析：
片断一：单位“1”的意义
师（出示数字1）：这是什么？
生：数字1。
师：这个1其实很神奇，数学、生活中的很多物体都可以用1来表示。那谁能说说1可以表示什么呢？
生1：1张纸、1个圆、1个苹果、1本书……
师（边演示课件边说）：是啊，1既可以表示一个物体，如1个足球、1个正方形、1把尺子等（板书：一个物体），还可以表示一些物体，如1束鲜花、1盘苹果、1堆面包等（板书：一些物体）。像这样的一个物体或一些物体，我们教室里就能找到很多，你能找到吗？
生2：一个书包，一个小组里的一些人，一个班级里的一些人，教室里的一些课桌，教室里的一些凳子……
师（指着大屏幕上的物体）：一个物体或一些物体都可以把它看作是一个整体，对这样的一个整体我们用1来表示。为了与自然数1区分开来，我们给这个1加上引号，叫做单位“1”。（板书：单位“1”）
……
分析：
数学概念是生活的具象，又是具体形象事物的抽象与升华。“分数的意义”对小学生来说是一个比较抽象的概念，学生对于单位“1”的理解是一个教学难点。考虑到单位“1”的概念相对抽象，所以我通过问题“这个1其实很神奇，数学、生活中的很多物体都可以用1来表示，谁能说说1可以表示什么呢”，直接把新知引入学生的“最近发展区”，借助生活的一个物体、一些物体，变抽象为具象，加深了学生对单位“1”意义的理解。
片断二：分数的意义
师：请各小组长倒出信封里的学具，组内同学看看信封里还藏着哪些单位“1”。
生1：一张长方形纸、一条线段（图）、4个苹果（图）、6只熊猫（图）。
1．布置要求。
师：下面以四人小组为单位，利用学具，分一分手中的单位“1”，你会得到哪些分数？
课件出示要求：
（1）在分的过程中，可以采用分一分、折一折、画一画、涂一涂等方法。
（2）想一想，说一说：你把谁看作单位“1”？你是怎样分的？你又是怎样得到这个分数的？
2．学生操作，教师巡视指导。
3．反馈交流。
师：谁来说说，你们组把什么看作单位“1”？怎么分的？研究出了什么分数？
生2：我把这张长方形纸看作单位“1”，分成4份，表示这样的1份，用1 ／ 4来表示。
师：谁听明白了？他是怎么分的？请你再大声地说一遍。（生复述）
师：他分的四份同样多吗？
生：是同样多。
师：每份分得同样多，就叫——
生：平均分。（板书：平均分）
师（拿出一张长方形纸，随意折出四份，取其中一份）：我折的这一份也表示1 ／ 4吗？
生：不是。
师：为什么？
生：没有平均分。
师：所以，我们在创造分数时一定要怎么分？
生：平均分。
师：谁还创造了不同的分数？
……
分析：
思维来源于实践。只有思维得到发展，能力得到提高，才能实现有效的课堂教学。在这个环节中，我放手让学生自己动手实践探索，重视学生知识的自主构建。学生通过学具折出长方形的1 ／ 4，虽然一开始没有说出“平均分”三个字，但我相信他们内心深处是知道的。所以，我问学生“他分的四份同样多吗”，当他们异口同声地告诉我“同样多”时，我知道学生是理解平均分的内涵的。于是我故意说出前半句“每份分得同样多，就叫——”，学生自然就接上“平均分”了。这样教学，既唤醒了学生已有的知识，又激活了学生的思维，提高了学生学习的效率。
片断三：
师：看到大家表现得这么精彩，我完全相信大家都能创造出分数。下面请小组合作，把6只熊猫平均分，看哪个小组创造的分数最多，组长负责记录下来，时间为1分钟。（生操作讨论、记录）
学生反馈创造出的分数：1 ／ 6、2 ／ 6、3 ／ 6、4 ／ 6、5 ／ 6、6 ／ 6、1 ／ 3、2 ／ 3、1 ／ 2……
师：你们真会动脑筋，想出了这么多的分数。谁来说说3 ／ 6表示什么意思？
生1：把6只熊猫看作单位“1”，平均分成6份，表示这样的3份，用3 ／ 6来表示。
师：你太厉害了！那2 ／ 3表示什么意思呢？
生2：把6只熊猫看作单位“1”，平均分成3份，表示这样的2份，就是2 ／ 3。
师：说得真好！可是我有点不明白了，同样是分6只熊猫，为什么会得到这么多不同的分数呢？（生答略）
师：这些分数的分母都表示什么？分子呢？你能发现什么？
生3：分母表示“平均分成的总份数”，分子表示“份数”。
师：现在你能说说什么是分数吗？这些分数都是把单位“1”怎样分？
生4：把单位“1”平均分成几份，表示这样的几份就是分数。
师：把单位“1”平均分成几份的“几”，数学上通常用“若干”来代替，“若干份”是个不确定的份数。
师（小结）：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的1份或几份的数叫做分数。
……
分析：
陶行知先生说过：“教师之为教，不在全盘授予，而在相机诱导。”课堂教学中，我让学生通过分一分、折一折、画一画、涂一涂等活动掌握分数的意义。在这个过程中，我安排了两个环节：第一个环节让组长分发给每个学生一个物体或一些物体，让他们人人都动手操作，利用手中的物体创造一个分数，并逐一反馈，使学生在一定程度上掌握了分数的意义；第二个环节是通过比赛的形式，让组内学生同策同力，创造出更多的分数。这样的一系列操作活动，给学生创造了广阔的探究空间，激发了学生的思维，使学生进一步感悟“平均分”的内涵，理解和掌握分数可以表示部分与整体的关系。这样教学，真正体现了学生的主体地位，有效提高了课堂的教学效率。
教学反思：
“分数的意义”是小学数学概念教学中比较抽象、比较难以理解的内容，为了使学生更好地掌握这一知识，我充分发挥学生的主体作用，多给学生展现自我的机会。课堂中，我摒弃以往数概念教学中按部就班的教学模式，大胆、科学地对教材进行重新整合，设计了较为开放的问题，并给学生提供必需的学习材料，从而拓展了学生探索的时空，让学生在“做数学”中感悟数学。
1．立足课堂，有效地整合和利用学习资源。
数学教学不能“以本为本”，所以教学内容要具有一定的开放性。如教学“分数的意义”一课中，我注重教学内容的开放性和思考性，让学生有自主选择的权利和广阔的思维空间。在这样的数概念教学中，学生的知识建构不是教师传授的结果，而是学生通过亲身经历、与学习环境间的交互作用来实现的。整个新课的学习，看似淡化了定义概念的教学，实则引在核心处，拨在关键处。
课堂教学中，教师应该大胆放手，让学生自主发现问题、提出问题、辨析问题，使教师真正成为学生学习活动的组织者、引导者与合作者。教育家苏霍姆林斯基说过：“儿童的智慧在手指尖上。”因此，我重新整合教材，出示一张长方形纸、一条线段（图）、4个苹果（图）、6只熊猫（图）等学习材料，让学生自己去创造分数。学生从一张长方形纸、一个圆等一个物体创造分数，到从4个苹果、6只大熊猫等多个物体的不同角度来创造分数，既深化了每个环节的交流反馈，又提高了他们的认知，使学生进一步明白分数是表示部分与整体之间的关系，而不是表示个数与总个数之间的关系，这是分数意义教学中学生最容易误解的知识点。这样的动手操作设计，让学生感悟从一个物体到一些物体都可以用单位“1”来表示，明白“把单位‘1’平均分成若干份，表示这样的1份或几份的数叫做分数”。这样教学，分数意义的得出就水到渠成了，有效解决了学生对分数意义的掌握过于抽象、枯燥、难懂的问题，使学生在有趣、富有思考性的练习中更好地认识和理解了分数。这样有效整合教材，有力地推动了学生认知体系的螺旋上升，培养了学生自主探究的能力。
2．教学方式的创新，有效促进学生学习方式的转变。
“教学有法，但无定法，贵在得法。”教师的教学应以构建主义基本理念为依托，注重学生的认知规律，关注学生的生活经验，让学生在“做数学”中获取知识，激发学习的兴趣，培养良好的数感。因此，在课堂教学中，教师应给学生营造宽松、自由、和谐的学习氛围，创新教学方式，促进学生学习方式的转变，实现学生对知识的自我构建。
3．关注学生的自主探究和合作交流。
一、 活动目标
1.经历阅读、思考、解答并与同伴交流有关分数加减法的相关资料与问题。
2.能够进一步明确分数加法的定义，分数加法定义的合理性。
3.能够经历分数加法交换律的证明过程，体会数学推理的严密性。
4.能够进一步明确分数加法定义与减法定义的不同。明确分数减法定义的优点。
二、活动时间
教研组教师先不集中，每人自己安排时间阅读并独立解决本方案中的问题，先独立思考解决问题，再阅读本方案中的参考答案。时间约3小时。再以年级组（或教研组）为单位集中交流问题的答案，时间约1.5小时。
三、活动前准备
数学组的每一个教师解答下面的问题，并准备在年级组或全数学组交流。（注：本活动方案主要涉及分数加减法的算术理论，试图让教师通过对以下问题的解答，回忆与增加数学的本体性知识。）
1.想一想，写一写，什么叫分数的加法？阅读下文关于分数加法的定义，并回答问题。
定义：有两个分数，分别以其中一个分数的分母乘另一个分数的分子，把所得的两个积的和作为分子，把两个分数分母的积作为分母，所得的分数叫做这两个分数的和。求两个分数的和的运算叫做分数的加法。
如果两个分数分别为 和 （b、d均不为零），
那么 +=，
其中 与都是加数，是它们的和。
问题：
（1）想一想，这样定义的分数加法，是不是任意两个分数就一定可以求出它们的和？也就是两个分数的和是否一定存在？两个分数的和是否唯一？为什么？
（2）在上面这个分数加法定义中，是否已经包含了分数加法的运算法则（分数加法的计算方法）？如果已经包含了，那么根据定义得到的分数加法的运算法则是怎样的？请你写一写。
（3）根据分数加法的定义，计算 + ； + 。
（4）平时教师在计算同分母分数加法时，计算方法是“分母不变，分子相加”。用这样的计算方法得到的结果与按照分数加法的定义得到的计算结果相等吗？为什么会相等？请你举一个例子说明。
（5）平时教师在计算异分母分数的加法时，如果两个分数的分母不是互质数，通常用两个分母的最小公倍数做公分母，进行通分，然后用这个公分母做和的分母，用通分后两个分子的和做和的分子。用这样的方法计算得到的结果与用分数加法的定义计算得到的结果相等吗？为什么会相等？请你举一个例子说明。
（6）上面的分数加法定义中并没有区分同分母分数加法与异分母分数加法，为什么在小学数学教材中，要分成同分母分数加法与异分母分数加法两块内容来教学？
（7）先阅读下面的文字，再以+ 为例，说明分数加法的含义与整数加法的含义是相同的。
如果两个分数是和，b、d的最小公倍数是n ，即[b，d ]=n。
根据最小公倍数的含义，假设n=bq1，n=dq2
（q1 ，q2是自然数），
那么+= （根据分数的基本性质）
= （根据假设）
= （分数加法定义）
=（整数乘法分配律）
= （分数的基本性质）
由上面的过程可知 和相加，通分后是把aq1个与cq2个合并在一起，所以分数加法的含义与整数加法相同。例如，2+5，就是从2开始，接连数5个1，结果是7。分数是同分母的情况下，可以类似地进行。分数 +就是8等分后，以为分数单位，从开始接着数5个就得到，即+ =。从数轴上看，两个分数相加，就是相应的两条线段叠加后线段的长度。这和整数加法也是一样的。
这种分数加法的实质是“数量相加”（也可以称为分数的数量加法），也就是在计数单位统一的前提下，加法就是对计数单位的累计。本质上可以通过数数的方法来计算出结果。
2.在人教版教材五年级下册分数加减法的教学中，先创设了一个三口之家吃饼的情境，然后列出分数加法的算式：+，接着运用图示与对话来说明计算的过程。最后出示了一个问题：想想整数加法的含义，你能说出分数加法的含义吗？
你估计，学生可能会怎样表达分数加法的含义？你觉得，分数加法的含义怎样表达，比较适合于五年级下册的学生学习？
3.在学生还没有学习分数加法前，如果让学生独立去计算+ ，你估计会有学生运用“分子、分母分别相加”的计算方法得到计算结果是 吗？如果有这样的学生，产生这样的计算方法的原因主要是什么？当学生得出这样的结果时，你如何反馈评价与引导？
4.下面有三个问题以及解决这三个问题的过程，你觉得这样的解题过程是正确的吗？为什么？
问题1：三（1）班共有50人，其中男生25人，男生占全班人数的几分之几？
答：把三（1）班的全班人数看成一个整体（单位1），平均分成50份，男生是25份，所以男生占全班人数是，根据分数基本性质可得：=，因此，也可以说男生占全班人数的。
问题2：三（2）班的总人数也是50人，其中男生也是25人，男生占全班人数的几分之几？
答：解决过程类似于上面的问题1，男生占全班人数的，也可以说是。
问题3：如果把上面问题1与问题2中的三（1）班与三（2）班合并在一起组成一个大班，那么，在这个大班中男生占全体人数的几分之几？
答：因为三（1）与三（2）班的总人数都是50人，所以合并以后大班的总人数是100人。又由于两个班的男生人数分别都是25人，因此，合并以后大班的男生总人数是50人。把合并后的大班总人数看成一个整体（单位1），平均分成100份，男生是50份，所以男生占总人数是，也就是。算式是：
+ ===
5.从上面的问题3中我们可以看到，分数加法如果定义为“分子、分母分别相加，即+= ”的话，在有些情况下，也有其合理性。这种“分子、分母分别相加”的方法，有人称它为分数的“比例加法”。请你再举一个例子，说明这种分数的“比例加法”有其合理性。
6.从上文分数加法的定义中，我们可以知道，两个分数相加的和还是一个分数，但这个作为计算结果的分数的分母不是原来两个分数分母的和，分子也不是原来两个分数分子的和。也就是分数加法的定义不是规定为：
而是规定为：
从外形上看，①式“很对称”“很漂亮”，②式就不如①式“好看”。从计算繁简程度看，用①式的方法计算“很方便”“很简单”，用②式的方法计算就比①式来得“麻烦”。
（1）想一想，为什么分数加法不用①式来定义，也就是“分子、分母分别相加”来定义？如果用①式来定义分数的加法，有什么不合理的地方？阅读下面的两段文字，并归纳这种分数的“比例加法”的“缺点”。
大家知道，自然数可以看成特殊的分数，即把任意一个自然数都可以看成是分母是1的分数。如自然数2，可以看成 。自然数3可以看成，于是可得：2+3=+，如果按照“比例加法”，即按照“分子、分母分别相加”的方法计算可得：2+3=+ = = 。
这样计算得到的结果与自然数加法2+3 =5相矛盾。
如果+== 成立，那么，等式的两边同时乘12，
根据等式的基本性质可得：（+）×12= ×12
根据乘法的分配律可得： ×12+×12= ×12
根据分数乘法的意义可得：6+9=8，不成立！
（2）想一想，用②式定义分数的加法有什么合理性？
7.人们对于一种运算的研究，常常是先研究这种运算的定义，再研究这种运算的性质或规律。现行人教版教材五年级下册在“分数加减混合运算”这节中写着：“整数加法的交换律、结合律对分数加法同样适用。”
（1）你觉得这句话是什么意思？请你举一个例子说明。
（2）请你证明分数加法交换律（要求写出已知、求证、证明的过程以及每一步推理的根据）并体会数学推理的严密性。
8.从上文中我们可以看到，在定义分数加法时，先定义了什么叫两个分数的和，然后再定义什么叫分数加法。想一想，写一写，什么叫分数减法？
阅读下面的分数减法定义，并回答问题。
定义：已知两个分数分别为和（b、d均不为零），求一个分数，使得与的和等于，这种运算叫做分数的减法。
记作： - =。
是被减数， 是减数， 是与的差。
问题：
（1）比较分数加、减法的定义，它们有什么不相同的地方？
（2）如果也要像分数加法那样先定义两个分数的差，然后再定义分数减法，那么，分数减法的定义应该怎么表达，请你写一写。
（3）上文中的分数减法定义有什么优点？
（4）根据上面分数减法的定义，对于任意两个分数，它们的差是否一定存在？如果差存在，是否一定唯一？
附：部分问题的参考答案
1.（1）答：由上面的定义可以看出，两个分数的和，其分母是确定的不为零的整数的积，分子是两个确定的整数的积的和。根据整数加法和乘法的定义，这样的分母和分子总是存在且唯一的，所以这样定义两个分数的和总是存在且唯一的，也就是说，分数集合对于加法运算是封闭的。
1.（2）答：分数加法的定义已经包含了运算法则：用两个分数的分母的积做公分母，进行通分，然后用这个公分母做和的分母，用通分后两个分子的和做和的分子。
1.（3）（4）（5）略。
1.（6）答：主要是考虑到计算的方便。特别是在同分母分数的加法中，没有必要根据定义给出的方法去求出两个分数的和。按照“分母不变，分子相加”的方法计算更为简单。
1.（7）略。
2.略。
3. 答：会有部分学生这样计算。产生这样的算法的主要原因是受整数加法计算方法的负迁移。可以创设情境，结合图示与分数的意义来解释。如把一个长方形平均分成5份，先把1份涂上红色，问红色部分是整体的几分之几？再把2份涂上绿色，问绿色部分是整体的几分之几？红色与绿色合起来称为涂色部分，涂色部分是整体的几分之几？
4. 问题1与问题2的解决都是正确的。问题3得到的结论是正确的，但列出的算式是错误的。因为，在分数加法的定义中已经规定了：
+===1
因此，在解决问题3时，合并的含义与原来的“+”号已经不是同一种含义了。也就是不能列出 +这样的算式，一旦列出这样的算式就要根据定义来加。事实上，这里有了另一种加的含义。可以列出一个新的表达式+，这样的加法也可以有新的计算方法，即 +=。
5.下面的两个例子都是可以说明合理性的。
例1：甲容器中装有糖水200克，含糖20克；乙容器中装有糖水300克，含糖30克。那么将甲、乙两个容器中的糖水混合在一起，混合后的糖水的浓度是多少？混合后糖水的浓度不是 +=而是 +=== 。
例2：某人投篮，第一次投了2个球，进了1个，这一次投篮的命中率是，第二次投了3个球，也只进了1个，第二次投篮的命中率是 。这个人两次投篮共投了5个球，共进了2个，因此，两次投篮的命中率是 ，即 +=。
6.（1）答：从中我们可以看到，这种分数的“比例加法”，它不能和自然数的加法相容。从中发现，这种分数的“比例加法”，不能与等式的基本性质或整数的运算定律或分数乘法的意义相容。
6.（2）答：合理性可以通过以下的过程来说明。
如果两个分数分别为和 ，（b、d均不为零），
设x=，y=。如果整数的运算规律（包括定律、性质等）适合于分数，那么，由x=，y=，可得bx=a，dy=c。
则有bdx=ad， bdy=bc。
两式相加可得：bdx+bdy=ad+bc
得 bd（x+y）=ad+bc
x+y =
可见把 +定义为和是 ，具有合理性，这样的分数加法能够与自然数中建立起来的一系列规律相容。
7.（1）略。
7.（2）已知两个分数分别为 和 （b、d均不为零）。
求证：+= + 。
证明： += （根据分数加法的定义）
+= （根据分数加法的定义）
又 ad+cb=cb+ad （根据整数加法的交换律）
bd=db （根据整数乘法的交换律）
= （根据两个分数相等的定义）
+=+（根据等量代换）
8.（1）答：主要有以下几点不同：①分数加法的定义是先定义两个分数的和，再给出加法的定义。分数减法的定义不是先定义两个分数的差，再给出减法的定义。②分数加法的定义中已经包含了加法的运算法则，也就是两个分数的和是怎么求的，在加法的定义中已经有了说明。分数减法的定义中没有明确包含运算法则。
8.（2）答：定义：有两个分数，分别以其中一个分数的分母乘另一个分数的分子，把所得的两个积的差作为分子，把两个分数的分母的积作为分母，所得的分数叫做这两个分数的差。求两个分数的差的运算叫做分数的减法。
如果两个分数分别为 和 ，（b、d均不为零）。
那么 -=，
其中 叫做被减数，叫做减数， 是它们的差。
8.（3）答：这样给出的分数减法定义主要有以下优点：①充分利用分数加法的知识，把减法转化为“求一个加数”的运算；②明确分数加减法之间的关系，即分数减法是分数加法的逆运算；③统一了分数加法与整数加法意义，也就是这样定义的分数减法的意义与整数减法的意义完全相同；④文字表达简洁。如果分数减法也类似于像分数加法那样定义，那么，就要先定义两个分数的差，再定义分数减法运算，文字表达就比较长，不如现在这样的定义简洁。
关键词：C语言教学；函数分类；函数编程
中图分类号：G642 文献标识码：B
文章编号：1672-5913(2007)18-0056-03
1前言
很多从事C语言教学的高职高专老师感到学生学习函数时很吃力，而且效果不好。学生学了之后，语法知识知道一些，但具体编程能力则很弱。如何改变这种状况？下面先从分析传统教学方案开始。
为了便于叙述，下面我们所讨论的内容仅限于如何进行函数的定义与调用。
2传统教学方案概要及分析
目前大多数高职高专学校依然采用传统的教学方案，其概要如下。
2.1传统教学方案概要
(1) 教学目标
理解函数的基本概念，如形参、实参、调用等；掌握函数的定义、声明、调用等语法规定；掌握函数的参数使用格式及其数据传递的机理。
(2) 教学内容及安排
1) 函数定义的三种形式及其定义格式。具体包括：无参函数、有参函数、空函数。
2) 形参、实参与返回值。具体包括：形参、实参与返回值的概念；形参、实参的若干注意点；return语句的格式及其作用；函数类型，默认的函数类型。
3) 函数的调用。具体包括：函数调用以及函数调用的三种方式――函数单独作为语句、函数作为一个表达式、函数作为另一个函数调用的实参。
4) 函数的声明。具体包括：函数的声明格式、函数声明的位置，什么情况下可以省略函数的声明。
5) 函数定义和调用举例。
上述方案可以分为两部分，第一部分是语法知识，包括上述的1~4，第二部分是函数编程举例，即上述的5。
2.2传统方案在高职高专教学中的问题
(1) 语法角度的罗列对编程没有直接的指导作用
传统方案中，语法知识是从语法角度系统地进行罗列，从函数形式、参数等分别进行介绍，这种语法角度的罗列对编程没有直接的指导作用，学生编程时不知道该选择哪种形式。
(2) 开始时过多的语法介绍影响了编程实例的讲解效果
传统方案中首先系统详细介绍函数、形参、实参等概念与语法知识，这些概念讲授花了大量时间，学生的接受效果却不理想，后面的函数编程等实用知识的讲授时间不够，学生就更难以接受了。
(3) 编程思路与步骤方面的训练不够
对于高职高专学生来说，拿到一个涉及函数的编程题目，如何开始着手编程，应该采取什么样的步骤和思路，针对不同的问题如何采取相应的对策，这在传统教学方案中训练不够。
由于高职高专传统教学方案存在的上述问题，导致学生学完之后掌握了不少的语法知识，但碰到实际编程题目时还是有困难。
由此可见，设计一种新教学方案时，应该首先考虑编程能力的培养，为此我们提出一种新的函数分类方法。
3一种新的函数分类方法
从语法角度，通常是从参数个数和有无函数体方面将函数分为无参函数、有参函数、空函数三类，但这种分类方法对学生编程帮助不大。为了让学生能最快掌握编程方法，需要一种新的函数分类方法。
从编程角度，我们通常首先考虑编写函数的目的，然后着手编写和使用函数。根据编写函数的目的、功能或者说用途，函数可以被分为以下三类：
1) 求值类函数：使用这种函数是为了求一个值。如函数A，其功能是根据收入计算一个人的所得税。
2) 判断类函数：使用这种函数是为了检查一个判断是否成立。如函数B，其功能是判断一个整数是不是素数。
3) 操作类函数：使用这种函数是为了完成某一项操作。如函数C，其功能是将一个数组进行排序。
上述三种类型的函数在定义和调用时其方法均有明显的差异。学生拿到涉及函数的编程题目时，应该首先分析所要编写的函数是上述的哪一种类型，然后再采取相应的编程方法。
4新教学方案
基于上述新的函数分类方法，针对高职高专学生给出一种新的教学方案，其核心指导思想是：根据不同的函数类别，分别给出完整的一套编程方法，最快最直接地教会学生如何编写和使用函数。
4.1教学目标
新教学方案的教学目标只有一个：从编程角度出发进行教学，尽快让学生学会编写和使用函数。
4.2教学内容和安排
首先简单介绍一下函数最基本的概念，但不需占用过多教学课时，要把最主要的时间放在编程方法的传授。至于各概念与语法细节的进一步掌握，应该通过学生多编程而逐步加深理解。
(1) 通过认识法理解各概念
给出少数几个程序实例，引导学生认识函数、函数头、函数体、形参、实参、调用、定义等概念，在讲解概念时尽量简化，让出更多教学课时传授编程方法。
(2) 传授各种类型的函数编程方法
1) 求值类函数的定义与调用。讲解求值类函数定义和调用方法：
求值类函数的一般定义格式：
函数值类型 函数名(类型 形参1, 类型 形参2, ……)
{
根据形参的值计算所求的值;
return 结果;
}
求值类函数的定义步骤是：
① 编写函数头：根据函数所求值的数据类型确定函数值类型，分析函数要提供的参数及其类型从而确定形参。
② 编写函数体：根据提供的参数 (即形参) ，求出所需的值，最后返回 (return) 该值。
求值类函数在调用时通常作为表达式使用，可用于赋值、输出、运算、或作为另一个函数调用的实参。调用格式：
函数名(实参1，实参2，……)
在讲授中，应多举例子让学生完全理解与掌握其方法。
2) 判断类函数的定义与调用。讲解判断类函数定义和调用方法。
判断类函数是一种特殊的求值类函数，其值为1或者0，表示判断成立与不成立。因此判断类函数值的类型固定为int。下面给出判断类函数的一种参考格式：
int 函数名(类型 形参1, 类型 形参2, ……)
{
int f; /* 代表判断结果 */
根据形参的值进行判断,判断成立则令f为1，否则令f为0
return f；/* 将判断结果返回 */
}
判断类函数调用时通常用于在选择结构或循环结构中作为判断条件。如：
if (函数名(实参1, 实参2,......)==1)......
在讲授中，通过举例让学生完全理解与掌握其方法。
3) 操作类函数的定义与调用。讲解操作类函数定义和调用方法。
操作类函数不是为了求值，即函数没有值，其函数值的数据类型是void。函数体中不能使用return (值); 语句来返回一个值，但可以使用return来结束函数的运行返回到主调函数。
操作类函数定义格式：
void 函数名(类型 形参1, 类型 形参2, ……)
{
根据形参的值进行处理
return；/*或者无return */
}
操作类函数调用时通常单独作为语句，其调用格式：
函数名(实参1，实参2，……)；
在讲授中，通过举例让学生完全理解与掌握其方法。
(3) 综合编程举例
再举若干编程例子，引导学生如何判断函数的类型，然后再根据前面传授的方法进行编程，巩固学生的编程能力。
4.3一个编程实例教学设计概要
下面给出一个具体编程实例的教学设计，为方便说明主要问题，忽略了其他的一些教学细节。
例：编写函数计算一个整数的阶乘。利用函数计算8!-4! 5!。
编程步骤：
1) 判断函数类型。所要编写的函数是为了求值――阶乘，因此是求值类函数，下面其定义和调用将采用前面给出的方法。
2) 编写函数头。函数值 (即阶乘) 的数据类型为int，因此函数的数据类型为int。求阶乘需要提供一个整数(即形参)，据此可以写出函数头。
int jiecheng(int x)
3) 编写函数体。函数体的内容是求出形参 (在这里是x) 的阶乘，然后将其返回。
{
int r,i;
r=1;
for(i=1;i
return r;
}
4) 函数调用。main函数中调用求值类函数时，需要提供实参，然后将函数值作为表达式进行运算。
main()
{
printf("%d\n", jiecheng(8)-jiecheng(4)* jiecheng (5));
}
注意：在讲解时要时时联系4.2.2中的编程方法。通过例子的讲解使得学生对4.2.2中的编程方法加深理解并能灵活运用。
4.4若干注意点
(1) 语法细节的淡化
在传授编程方法时应尽量淡化或避开一些语法细节，比如避免在一开始过多强调函数的声明及其各种可省略声明的条件，可有意识地引导学生将函数定义在前、调用在后，避开函数声明；编程举例时避免向学生传授如何省略函数头前面的函数值类型，引导学生所有函数定义时都要加上类型说明；避免一开始就向学生传授参数传递的机理，可在编程举例时引导学生如何提供不同的参数让函数进行相应的处理，让学生对实参和形参有一个直观的认识。
(2) 掌握一种函数以后，再传授下一种函数
考虑到学生的接受能力，不要把求值、判断、操作这三种函数的编程方法一下子传授给学生。可以先传授求值类函数的编程方法，然后多举例子，让学生充分掌握后，再传授其他两种函数的编程方法。
(3) 涉及函数的程序分析
程序分析是提高程序调试与维护能力的基础。在学生能够顺利进行编程之后，可以对学生进行程序分析能力的训练。
避免在学生尚未掌握编程方法时就引导学生进行程序分析，等学生能熟练地自主编程以后，再引导学生进行程序分析，使得学生编程碰到错误时能够自己解决。
5两种教学方案对比
5.1目标定位与侧重点不同
传统教学方案中重点在于各语法知识点，编程方法则不突出；新教学方案中重点在于介绍三类函数的编程方法，语法知识点尽量淡化。
5.2传授的角度不同
传统教学方案从语法角度进行教学，有利于掌握语法知识点，不利于掌握编程方法；新教学方案从编程角度进行教学，与编程者编程时的思路更加吻合，更容易掌握方法。
5.3效果对比
传统教学方案的优势是能全面介绍语法知识，让学生能全面准确地理解所有概念和语法，劣势是基础较差的学生较难自主编程；新教学方案的优势是学生能很快自主编程，劣势是对个别概念和语法不能一下子全面准确掌握，需要在编程过程中逐步加深体会。
5.4适合的学生对象不同
新教学方案较适合高职高专类学生，对于基础较好的本科学生或者已经学过其他语言的学生，可采用传统的教学方案。
6结束语
笔者采用新的教学方案进行了三年的高职高专教学，与之前的教学情况相比，发现大部分学生均能较快掌握编程要领，自主进行编程。
参考文献
[1] 徐晓，匡泰，涂嘉庆等. C语言程序设计实践教程[M]. 北京：电子工业出版社，2006.
关键词：教师 沟通艺术
一个孩子的健康，健全成长，仅靠学校或者家长是不够的，需要两者之间的合力，因为教师观察不到孩子在家的情况，家长也很难看到孩子在校的表现。很多学生在学校和家里完全是两个样，老师只有掌握了学生在校内和校外的表现，才有可能真正全面地认识和了解一个学生，从而在发现学生处于焦虑、迷茫、无助的时候及时有效地对学生进行心理疏导。作为教师，不要说侮辱学生人格和家长人格的话，不要动辄就向家长“告状”，不要当众责备他们的子女。在教育过程中出现的问题，首先从自己身上找原因，不要主观的把原因归结到学生身上，要客观地分析问题的症结所在，公平客观地评价学生的表现。
案例诠释
天使的挑战
郑莉欣是A市第四小学六年级（3）班的学生，平时成绩在全班排名属于中下，她爸爸是当地人民法院的一名普通公务员，晚上经常出去打麻将，妈妈在超市里做收银员，从早上8点一直上到晚上10点。爸爸很少管小欣的学习，妈妈工作比较忙，也顾不上小欣。因为要参加小升初考试，班主任李老师对学生的学习都抓得比较紧，她最近关注到小欣有两次旷课的纪录，来上课的时候也没精神，有几次作业都没按时上交，而且最近的一个单元测验的分数竟然是60分。她没有找小欣谈话，而是直接打电话给小欣的爸爸，说明了小欣近来学习状态不佳，希望作为家长的他能敦促她学习。小欣的爸爸接过电话之后马上回家把小欣训了一顿，这让小欣对李老师有不满的情绪。随后。小欣也无心看书，在班里的QQ群和同学诉苦。QQ群里面显示的对话如下：
小欣：好烦啊，被我爸训了一顿
同学A：怎么啦？
小欣：李老师向我爸投诉我成绩下降了，现在我爸晚上不让我出去玩
同学B：那今天晚上我们约好出去玩不就泡汤啦？
小欣：是的
同学A：（发了个哭的表情）
小欣：我总感觉李老师是不是看我不顺眼啊，最近总是针对我，其他人也比我懒啊，也不交作业啊，为什么总是拿我来开刀
同学C：老师就是没事干，整天管闲事，（发了一个“便便”的表情）
小欣：（偷笑）老师是（发了一个“便便”的表情）
同学A：没错，你好大胆啊，敢骂老师，佩服，佩服
小欣：谁叫她多管闲事啊
几天过后，小欣也淡忘了在QQ群里面骂老师的情景了。课后和同学有说有笑的，李老师手里拿了一张纸然后走进教室对着小欣说：“郑小欣，你来我办公室”。小欣跟着到了办公室。
李老师：你在Q群里骂老师是吗？
小欣沉默了
李老师：我已经把你们的聊天记录打印出来了，请你爸爸妈妈来学校一趟，然后你再写一份保证书和道歉信给我，如果你爸爸妈妈没来学校的话我就把这聊天记录给校长，到时候看你还有没有书读。
小欣：（哭）老师，对不起，是我错了，不要拿给校长，我不想被校长当着全校的同学的面点我的名字出来
小欣的爸爸妈妈来到学校给李老师道歉了，事情总算平息了。在往后的日子里，李老师再也不理小欣了，小欣在教师里和李老师说话，李老师假装没听见就走了。上语文课，李老师提问，即使只有小欣一人举手回答问题，李老师也漠视她的存在。
问题与讨论
1.如果你是案例中的老师，当你面对小欣辱骂老师行为时，该如何处理比较好呢？
2.当老师面对学生的挑衅时，改如何掌控自己的情绪呢？
3.若你是小欣的老师，你会如何与家长沟通？如何帮助学生纠正偏差行为？
评论
李老师在处理学生的行为问题上，出现了一个明显的盲点“相信严厉的教学方法是较有效的。”从社会控制理论的观点来看，这个方法是可行的。李老师吓唬学生把聊天记录上交给校长，这样可以使学生惧怕，马上改正不良行为，但这样对严重挫伤学生的自尊心，也会使学生担惊受怕，让学生幼小的心灵蒙上阴影。一些学生对教师的不礼貌行为，究其原因，常常是由教师造成的，由于受旧观念影响，教师凭主观印象办事，独断专行，，结果造成学生心理不满，出现抵触行为，甚至在背后议论老师，给老师起外号等。反过来，教师戴上有色眼镜看行为偏差的学生，师生关系成恶性循环，导致教师不能顺利开展教学，学生也不能很好地去学习。
学生的年龄小，在认识和处理问题上与教师有很大的思想差异，为了做好教育教学工作，加强自身的修养，陶冶自己的情操。对学生的不礼貌行为，教师应采取宽容的态度，适当加以疏导。学生的想法有时比较偏激，因为他们终究是不成熟的，在看待某些问题思想有些偏激是正常现象。对学生错误的思想行为给予适当的批评是教师的责任，教师要帮助学生区分善意的批评帮助和恶意的训斥指责。
教育家洛克说：“教育上错误比别的错误更不可轻犯。教育上的错误和配错药一样，第一次弄错了，绝不能借第二次、第三次去补救，它的影响是终身洗不掉的。李老师漠视小欣是犯了教育上的错误，对学生宽容不是无能的表现，而是教师人格美的体现。
参考文献：
[1]（苏）B.A.苏霍姆林斯基给教师的建议.教育科学出版社.1980
[2][加]马克斯・范梅南著，李树英译.教学机智--教育智慧的意蕴[M].教育科学出版社.2002.
[3]（台湾）高薰芳 著.师资教育：教学案例的发展和应用策略.九州出版社.2006.
一年级的学生经过一段时间的数学学习，已经对数学有了一定的知识积累：知道了1到10的顺序，能比较物品的多少，能正确地数出10以内物体的个数，并能根据图画、实物书写相关的数字。会根据图画的内容，对1到10中的一些数进行分解、合并。比如：看到两个苹果和两个苹果的图片，知道写出“2和2组成4”，或者将4个苹果分成“1个和3个”、“2个和2个”、“3个和1个”。但有些学生需要经常借助手指进行数的分解、合并，速度较慢。有极个别的学生无法对较大的数字进行分解、合并，必须借助实物（如纽扣、糖果、手指等进行分解、合并练习）。在这个感性认识的基础上，利用学具和教具对一年级的学生进行加减的思维训练，帮助学生掌握10以内数的加减法的方法，结合学生身边的数学实例巩固加减的知识。
二、教学目标
1.对10以内数的认识进一步加深，巩固10以内数的加减法；用学生身边的数学生活感受数学与日常生活的密切联系，注重应用数学意识的培养。
2对简单的统计图要初步会看，掌握看图的方法。
3.培养学生的发散思维能力，学习多角度思考问题，寻找多途径探索解决问题的方法。
三、教学重点
对10以内数的认识进一步加深，巩固10以内数的加减法。
四、教学难点
基数与序数的区别与联系。
五、教学片断与案例分析
1.数数教学片断
教学中，大屏幕显示一个透明的玻璃鱼缸，里面有4条小金鱼，小金鱼游来游去，学生看后特别喜欢，注意力被全部吸引过来，这时候动画视频中一个卡通小人手捧着2条小金鱼放到鱼缸中。
师：鱼缸里原来有几条金鱼呀？
生：（学生认真地数着）4条。
师：卡通小人手捧着几条小金鱼？
生：2条。
师：现在鱼缸里有几条小金鱼呀？
生：6条。
【教学案例分析1】
小学生看到什么都很好奇，针对这一点，我们在数学教学中利用多媒体动态的画面激发小学生的好奇心。多媒体大屏幕呈现的图像色彩鲜艳，画面生动有趣，大大激发了学生的学习兴趣。小学生对感兴趣的事都很专注，在活动中借助于多媒体将动画、声音、图片、视频有机结合，把所要教学的内容转化成有趣的画面或视频，化抽象为生动，变无声为有声，动静结合，可以有效调动小学生探究的积极性，使他们的注意力始终在所探究的情境中，从而产生求知欲。在本环节教学中，一是利用多媒体创设了学生喜欢的“小金鱼”教学情境。二是动画视频中卡通小人的形象，避免了教学的枯燥无味，大大激发了小学生学习数学的兴趣。
2.序数教学片断：小飞哥送信
师：主人委托小飞哥去一座动物小区送信，收信人的门牌号码都是一个算式的得数，标注在信封上（多媒体大屏幕上显示一座动物小区，小区有7座小别墅，小别墅上分别标记着2、3、4、5、7、8、9）。
师：现在讲台上有几个信封，请7个小朋友抽取其中的一个根据算式的结果送到相应的小别墅去。谁愿意当这些小飞哥来送信？
学生争先恐后，积极踊跃……
老师强调：小别墅7栋中的7，是指一共有7栋别墅，是确切的数值。而标记7号别墅的7，是第7栋，是序号。引导学生注意区分基数与序数的区别。比如我们第一列有5个同学，这里的5就是基数，是确确实实的5个同学。从前往后数，第5个同学站起来，这里的5就是单指第5个同学，是一个同学。
【教学案例分析2】
基数和序数的区别与联系是数学教学的难点之一。老师通过多举例子突破这一难点。
3.加减法运算的含义教学片断
还以小金鱼的画面教学加减法的运算。大屏幕显示一个透明的玻璃鱼缸，里面有4条小金鱼，小金鱼游来游去，学生看后特别喜欢，注意力被全部吸引过来，这时候动画视频中一个卡通小人手捧着2条小金鱼放到鱼缸中。
师：鱼缸里原来有几条金鱼呀？
生：（学生认真地数着）4条。（老师板书4）
师：卡通小人手捧着几条小金鱼？
生：2条。（老师板书2）
师：现在鱼缸里有几条小金鱼呀？
生：6条。（老师板书4+2=6）
【教学案例分析3】
学生在基数认识的基础上，有了4和2的概念，再通过动画视频中一个卡通小人手捧着2条小金鱼放到鱼缸中这一动作，让学生深深体会到了“加”就是“合起来的意思”。这要比枯燥的干巴巴的教学更能激发学生的学习兴趣，调动学生参与数学学习活动的积极性和主动性。
4.发散思维训练教学片断
运用多媒体播放这样一组画面：一条弯弯的小河旁是一望无际的草地，草地上有几头奶牛在悠闲地啃着嫩草。其中小河的左岸有3头奶牛，其中有1头黑色的，2头花色的；小河的右岸有4头奶牛，其中有2头白色的，2头黑色的。引导学生观看画面后，让学生试着编写应用题。可以提前把画面设置成动态的视频短片，然后引导学生编写了以下几种情形的应用题。
师：请同学们看大屏幕，根据你的思路编写应用题。
生1：小河边有几头奶牛正在啃草吃，小河的左边有3头奶牛，小河的右边有4头奶牛，请问一共有几头奶牛？
生2：草地上有3头黑色的奶牛正在吃草，这时候又来了2头花色的奶牛，一会又过来了2头白色的奶牛，让我们算一算现在一共有多少头牛？
生3：草地上有7头奶牛，一会走了2头奶牛，请问还剩几头牛奶？
……
关键词 小学数学教学；合情推理能力；培养方法
《数学课程标准》在总体目标的“数学思考”中明确指出：让学生“经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点”。可见，合情推理的重要性。那么，何为合情推理呢？合情推理是根据已有的知识和经验，在某种情境和过程中推出可能性结论的推理。合情推理就是一种合乎情理的推理，它是数学发现的方法之一，而在小学数学教材中大量地采用了像数学猜想、枚举归纳、类比迁移等合情推理的方法。在教育实践中，教师要结合教材和学生的认知特点，加强合情推理能力的培养。下面仅以“小数点向左移动引起小数大小变化的规律”这一课时的教学案例加以说明。
一、引发猜想，为合情推理营造氛围
新课引入时，给学生创造具有合理自由度的思维空间。教学中教师要依据教材的内容特点，在新旧知识的连接点上，设计问题情境。并且注意问题的提出要有难度和开放性。然后，借助问题引发猜想，激发了学生求知欲和探求问题的积极性，为合情推理营造了良好的氛围。
案例：在教学“小数点向左移动引起小数大小变化的规律”时，安排了“复习铺垫，引发猜想”这一环节：
复习：把下列各小数变成整数，说说小数点是怎样移动的，小数发生了什么变化？2.5、1.0026、0.78、40.125
谈话：就像同学们刚才所说，小数点位置移动可以引起小数大小变化，如果小数点向右移动一位，两位，三位……就相当于小数乘10，100，1000……
猜想：大家设想一下，一个小数的小数点位置还可以怎样移动？如果小数点向左移动是否也可以引起小数大小变化呢？这其中有没有规律可循呢？至此，学生产生强烈的求知欲望和主动探索的兴趣，教师很自然地引入新知，为合情推理营造了良好的氛围。
二、验证猜想，为合情推理提供可能性
数学猜想是学生在探索数学规律时的一种重要策略，牛顿早就说过：没有大胆的猜想就做不出伟大的发现。波利亚认为：“说得直截了当一点，合情推理就是猜想。”因此，在教学“小数点向左移动引起小数大小变化的规律”的第二个环节是这样安排的：
1.提出猜想
（1）出示例5：21.5除以10，100，1000的商各是多少？请你用计算器选择一道题，算算结果是多少。
根据学生的交流，板书：
21.5÷10=2.15
21.5÷100=0.215
21.5÷1000=0.0215
（2）仔细观察每题的得数，与21.5比，你有什么发现？
此时的比较，恰到好处。学生直观地看到小数点向左移动会引起小数大小变化，而且初步意识到21.5除以10、100、1000得到的商与小数点的移动有关系。
由于学生掌握概念需要有一个分析、思考、加工、整理过程，不能一蹴而就。因此通过上述比较能够看出同中之异、或异中之同，从而进一步认识这两个事物的本质。接着又设计了这样的填空题：
21.5除以10得（ ），就是把21.5的（ ）向（ ）边移动了（ ）位。
谁能仿照这样的说法说说第二个算式、第三个算式？你发现这三组中小数点的移动有什么相同点和不同点？根据相同点和不同点，你能把刚才说的三句话概括成一句吗？同桌两人先互相说一说。
根据学生交流，适时出示：21.5除以10、100、1000，只要把小数点向左移动一位，两位，三位。要是21.5除以10000，小数点会怎么移除以100000呢？依次类推，能写完吗？那用什么符号来表示？（在板书上补充省略号）
此时，学生对要探究的问题，初步形成了假说、猜想后，对知识的理解仅停留在猜测阶段，没有真正地内化。根据小学生年龄特征和认知规律，提出猜想：“21.5除以10，100，1000……只要把小数点向左移动一位，两位，三位……”，“那是不是所有的小数除以10，100，1000……都有这样的规律呢？”
2.验证猜想
（1）以四人小组为单位，每组找几个小数，分别用计算器把它除以10，100，1000，记录下来后观察小数点位置的变化情况。
（2）归纳：通过这个活动，你认为刚才规律是否适用于所有的小数既然这个规律适用于所有的小数，那我们可以把21.5换成“一个小数”（板书）。这就是小数点向左移动引起小数大小变化的规律。
在探索规律时，学生经历了在具体的数例中观察―拓展性猜测―举例验证的科学求证过程，实现了数学知识的再创造，对“小数点向左移动引起小数大小变化的规律”有了更深刻的体验，合情推理能力也得到了培养。教师在实验的过程中，起到了画龙点睛的作用，帮助学生比较、检验猜想，并引导学生用科学规范的语言表达结论。在逐步形成结论的过程中，教师引导学生真正体会到合情推理的思维过程。
三、应用规律，合情推理结论的再验证
培养小学生的合情推理能力，要贯穿在日常数学教学中的每个环节。能力的形成是一个缓慢的过程，不仅要组织、引导学生经历观察、实验、猜想、验证等数学活动过程，还要把验证得到的规律进行应用。因此，必须设计有针对性的练习，给学生提供探索交流的空间，才能使合情推理出的结论进一步得到验证，做到学以致用。
在归纳出“小数点向左移动引起小数大小变化的规律”后，设计了两组基本练习题：一组是32.8、0.8、24三个数分别除以10、100、1000时小数点的移动变化情况，填入表格。另一组是规律的反运用，即如果一个小数的小数点向左移动一位、两位、三位……就相当于把这个小数分别除以多少？让学生反过来说规律，进一步完善了规律。在基本训练过程中，还特别重视学生“说”的训练，把思维的过程通过语言外化出来，促使学生逐步学会有根有据、合情合理地运用规律，也为合情推理能力的培养打下了良好的语言基础。
