时间：2022-02-27 12:03:49
引言：易发表网凭借丰富的文秘实践，为您精心挑选了九篇数列考试总结范例。如需获取更多原创内容，可随时联系我们的客服老师。
关键词：高中数学 数列 函数
在高中数学教学中，数列和函数是其中的两个主要部分。在很多的高考数学题中都常常把数列和函数两者相结合起来，作为一个考察的重点。很多的学生在这方面就感到很大的困难。在高考中也常常容易出现失分的情况，进而影响到整个数学科目的分数。为了能够适应数学教学的发展，很多老师也开始加强对数列和函数结合点的数学知识的教学，帮助学生全面提高数学能力。这也是符合了高考数学学科中关注学生对知识点的有机结合的一个改革要求的。在高中数学中数列和函数知识的结合主要是数列中的等差数列与函数知识相结合，等比数列和函数知识相结合以及等差、等比和函数的综合运用。教师在教学中不断地总结这类题目的解答规律，把握这类题目的本质。下面从一些具体的数学例题来把握数列和函数这两者间的联系。
一、等差数列的知识和函数的联系
这一类题目的解答的方法都是差不多的，教师在进行这一类题目的详细解答之后，要帮助学生进行必要的总结，让学生在面对这一类题目时，不再茫然无措，而是能够比较熟练地完成题目的要求。
二、等比数列和函数之间的综合运用问题
基本上，等比数列和函数之间的综合运用都是按照数列的解题思路来进行的。但是，具体上来说，他们都各自结合了等差数列和等比数列的基本特征。一般来说，教师会采用下面的方式来解答此类题目。基本上了解了这一点，整个等比数列和函数之间的数学问题的解决就是从这个关系出发的。
三、等比、等差数列和函数的综合关系
只要掌握了它们之间的关系，问题就很容易解决了。因为等差数列、等比数列都是可以看作是函数中的特殊函数。在很多的函数问题的解决中常常要求它们引入到数列的方程中。我们可以从函数的另外一个性质来看，数列其实是可以被看成是一个定义域为正整数的集合。这样就很容易构建起了数列和函数的关系。下面以一道等差、等比数列和函数综合的题目来分析这个知识点的结合。
四、结语
在高中数学的教学过程中，综合题目中的数列和函数有时候还会和其他的方程、向量等问题相结合。但是重要的是教会学生把握这些知识点的内容和他们结合点的知识的联系，这样就能够培养学生的数学联系思维能力，提升学生的数学思维能力。
参考文献：
[1]杜洪明.数列与函数综合的问题分类解析[J].数理化学习（高中版），2009，（7）：2.
在各级各类的招聘考试中，经常出现一些有关数列的填空题或选择题.给出数列的一些项，让应聘者通过观察这些项的规律，填上指定的某一项；或者给出几个选项，让应聘者从中选出正确的答案.笔者认为，这类问题虽然可以考察应聘者归纳总结、合情推理等方面的能力，但是，至少存在下面两个问题值得我们探讨：
1 有些数列的规律比较特殊，有偏难偏怪之嫌，应聘者很难在短时间内找到它的规律
例如，有这样一道题：观察下面这个数列的前五项，写出它的第六项：61，52，63，94，46.假如你是应聘者，请你不妨试一试，看看需用多长时间能够得出答案.命题者给出的答案是18.为什么答案是18呢？理由是这样的：把这个数列的每一项的个位数字与十位数字对调，前五项成为：16，25，36，49，64，分别是 42，52 ，62，72 ，82 ，按照这个规律，后面一项应该是 92，即81，对调81的个位数字与十位数字，就得到18.这类数学问题，作为茶余饭后的游戏玩玩尚可，如果作为一种正是招聘的试题，那么就显得不太合适了.虽然这类问题也能考查应聘者的归纳和推理能力，但是，从选拔人才的角度来讲，却不是首选的问题。
笔者查看了近几年各级公务员招聘的部分试题以及一些模拟试题；也与一些应聘者进行过交谈.笔者了解到：试题中所给出的数列的规律比较特殊，往往使一些应聘者望而却步，从而放弃对这类问题的进一步思考，他们宁愿把有限的考试时间和精力放在解决其它问题上.这样一来，也就谈不上考查归纳总结、合情推理等方面的能力，当然也就失去了这类试题的意义。
2 答案的不唯一性，使这类问题的科学性遭到质疑
对于以选择题形式给出的问题来说，我们有充足的理由可以说明，几个备选答案都是正确的；而对于以填空题形式给出的问题来说，我们甚至可以说，填上任何的正整数都是正确的.从这个角度来说，这类试题缺乏科学性，甚至可以说是错误的. 也许你对这种说法持怀疑态度，但是，看完下面的讨论之后，你就会打消疑虑.
实际上，对于任意的有穷数列，如果只给出有限项，而要求填写指定的某一项，那么我们都可以构造出类似于公式（1）的数列的通项公式，从而找到符合"规律"的若干个数.
因此我们说，类似于前文所述的招聘考题是不科学的！
下面我们给出2011年与2012年河北省公务员录用考试中的相关题目，有兴趣的读者可以仿照上面的方法，自己试一试.
2011年河北省公务员录用考试《行政职业能力测验试卷》第二部分"数量关系"第一题数字推理：给你一个数列，但其中缺少一项，要求你从四个选项中选出你认为最符合数列排列规律的一项，来填补空缺。
（1） -1，0，1，1，4，（ ）
A.8 B.11 C.25 D.36
（2）6，7，3，0，3，3，6，9，5，（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
（3）257，178，259，173，261，168，263，（ ）
A.163 B.164 C.178 D.275
（4）2，3，4，9，32，（ ）
A.47 B.83 C.128 D.279
（5）1，1，2，6，24，（ ）
A.48 B.96 C.120 D.122
2012年河北省公务员录用考试《行政职业能力测验试卷》第二部分"数量关系"第一题数字推理：给你一个数列，但其中缺少一项，要求你仔细观察数列的排列规律，然后从四个供选择的选项中选择你认为最合理的一项，来填补空缺，使之符合原数列的排列规律。
（1） 0，0，6，24，60，（ ）
A.180 B.196 C.210 D.216
（2）2，3，7，45，2017，（ ）
A.4068271 B.4068273 C.4068275 D.4068277
（3）2，2，3，4，9，32，（ ）
A.129 B.215 C.257 D.283
（4）0，4，16，48，128，（ ）
A.280 B.320 C.350 D.420
（5）0.5，1，2，5，17，107，（ ）
例.[2012年全国高考大纲卷理科数学第（22）题（本小题满分12分）]函数f（x）=x2-2x-3，定义数列{xn}如下：x1=2，xn+1是过两点P（4，5）、Qn（xn， f（xn））的直线PQn与x轴交点的横坐标。
（1）证明：2≤xn
（2）求数列{xn}的通项公式。
考查目标：本题考查递推数列的意义、等比数列的概念、数列的通项公式、数学归纳法的应用，综合考查考生运用数列知识进行运算求解和推理论证的能力。
试题评价：试题不落俗套，大胆创新，没有直接给出数列{xn}的递推关系，而是巧妙地以过两点P（4，5）、Qn（xn， f（xn））的直线PQn与x轴交点的横坐标给出{xn}相邻两项之间的关系。第（1）问中，要求证明不等式，实际上是证明数列{xn}的增减性和取值范围，根据题设条件，只能用数学归纳法解决问题。同时，归纳法也为第（2）问求数列{xn}的通项公式奠定了基础。与以往的求递推数列的通项公式的试题相比，该题没有给出辅助数列，对于所求数列的通项完全需要充分发挥考生的主观能动性，这也是本题一大亮点所在。这是近十年高考数列通项公式的最高要求，看似超出了中学教学要求的范围，实际上正是新课程改革理念中所倡导的实践精神和创新意识的体现，这也是专家的匠心独在。该题对高考选拔高素质的创新人才具有很好的检测功能。
思考：高考备考不是一朝一夕的事。打好高考这一硬仗，与平时扎实有效的学习是分不开的，十年寒窗，功到自然成。仔细分析今年的高考数列解答题，如果剥去该题的外壳，我们还有似曾相识的感觉，那就是2010年高考全国卷一理科数学最后一道压轴题：
已知数列{an}中，a1=1，an+1=c-■，a1=1，an+1=c-■。
（1）设c=■，bn=■求数列{bn}的通项公式；
（2）求使不等式an
如果把上边例题中的第（1）问和第（2）问的设问顺序换一下，在解答时就可以按照常规思维，且求数列{xn}的通项公式时考生就可以联想类比2010年的这道考题，并且可以借鉴其解法做如下变式：
2012年全国高考大纲卷（22）题变式：函数f（x）=x2-2x-3。定义数列{xn}如下：x1=2，xn+1是过两点P（4，5）、Qn（xn， f（xn））的直线PQn与x轴交点的横坐标。
（1）求数列{xn}的通项公式；
（2）证明：2≤xn
解题思路：（1）先由已知条件得出数列{xn}的相邻两项之间的关系，再通过巧妙构造新数列，化归转化成我们熟悉的等比数列，进而求出数列{xn}的通项公式。（2）既可以利用第（1）问数列{xn}的通项公式的结论，利用数列的通项公式证明其单调性，确定范围；也可以应用数学归纳法证明。
解题过程：
解：（1）过两点P（4，5）、Qn（xn，f（xn））的直线PQn的直线的斜率k=■=■=xn+2
则直线PQn的方程为：y-5=（xn+2）（x-4）
令y=0得：x=4-■，即xn+1=4-■
其中x1=2（n∈N+），从而有xn+1-3=1-■=■
令bn=xn-3，则有■=■=■+1，■+■=5（■+■）
则数列{■+■}是首项为-■，公比为5的等比数列故■+■=-■·5n-1，即■=-■·5n-1
-■，bn=■
所以，数列{xn}的通项公式为xn=3-■
（2）从数列{xn}通项公式出发，证明数列{xn}的单调性，并确定xn及范围xn+1的范围。
xn+1-xn=-■+■=
■>0，xn
由xn=3-■及{xn}的单调性知xn≥x1=2
xn+1=3-■，当n+∞时，■0，因此xn+1
综上有：2≤xn
【关键词】递推数列;通项公式
数列是高中数学的重要内容之一，虽然在教学大纲中只有12个课时，但是在高考试题卷面中约占总分的8%~11%.由于数列问题最终归结为对通项公式的研究，故数列通项公式的求解是数列中最基本和最重要的问题，也是高考对数列问题考查的热点之一.近年的出题形式为先给定数列的初始项和数列通项的递推关系式，要求解出通项公式.由于求解方法需要灵活的变形技巧，学生遇到此类问题常常感到困难而无从下手.笔者根据自己的教学实践，以数学高考试题中涉及的数列和平时教学中所遇到的典型的数列为例，总结介绍几种常见的通项公式的类型和解法，供读者参考.
类型一 等差型数列:已知a1和an+1-an=f(n)，求an.
解法 使用累加法（即逐项相加法），再使用相关公式进行求解.即an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=f(n-1)+f(n-2)+…+f(1)+a1(n≥2).
读者可尝试求解以下三道难度不大的试题：
①（2008天津）已知数列{an}中,a1=1,an+1-an=1[]3n+1(n≥1),则lim[]n+∞an=.
②在数列{an}中,a1=1,an+1=an+2n-1(n≥1),求an.
③（2008江西）在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln1+1[]n ,则an=.
类型二 等比型数列:已知a1和an+1[]an=f(n)，求an.
解法 使用累乘法（即逐项相乘法）求解，即an=an[]an-1・an-1[]an-2・…・a3[]a2・a2[]a1・a1(n≥2).
例1 已知a1=1，an+1=2n-1[]2n+1an(n≥1).求an.
解 由an+1=2n-1[]2n+1an(n≥1)知an+1[]an=2n-1[]2n+1(n≥1)，故an=2(n-1)-1[]2(n-1)+1・2(n-2)-1[]2(n-2)+1・…・2×2-1[]2×2+1・2×1-1[]2×1+1a1=2n-3[]2n-1・2n-5[]2n-3・…・3[]5・1[]3・1=1[]2n-1(n≥1).
类型三 线性递推数列：已知a1和an+1=pan+q(其中p,q为常数，且pq≠0,p≠1),求an.
解法 使用待定系数法转化为公比为p的等比数列后再求an，即把原递推公式转化为：an+1-k=p(an-k)，可求得k=q[]1-p，再利用换元法转化为等比数列求解.
例2 （2006重庆）在数列{an}中，若a1=1,an+1=2an+3(n≥1)，求an.
解 由an+1=2an+3(n≥1),设an+1-k=2(an-k)，变形得an+1=2an-k，与原式an+1=2an+3对比系数可知k=-3，故an+1+3=2(an+3)(n≥1)，变形为an+1+3[]an+3=2(n≥1)，即数列{an+3}是首项为a1+3，公比为2的等比数列，由等比数列的通项公式可知an+3=(a1+3)・2n-1=2n+1(n≥1)，故an=2n+1-3(n≥1) .
类型四 指数递推数列：已知a1和an+1=paqn(p,q为常数且p>0,an>0)，求an.
解法 对递推等式左右两边同时取对数后转化为类型三，再进行求解.
例3 已知数列{an}的各项均为正数且满足,a1=1,an+1=4a3n(n≥1),求an.
解 由an+1=4a3n对等式左右两边同时取常用对数得lgan+1=lg(4a3n)=3lgan+2lg2,令bn=lgan,则bn+1=3bn+2lg2(n≥1)，再使用类型三中的待定系数解法，即可解得bn=(3n-1-1)lg2，即lgan=(3n-1-1)lg2，故an=3n-1-1(n≥1).
类型五 分数递推数列：已知a1和an+1=pan+r[]an+q(p,q,r为常数且pq≠0)，求an.
解法 （1）当r=0时,两边取倒数可求出通项.
例4 （2008陕西）已知数列{an}的首项a1=3[]5,an+1=3an[]2an+1(n≥1),求{an}的通项公式.
解 由an+1=3an[]2an+1,两边取倒数，得
1[]an+1=1[]3・1[]an+2[]3.使用待定系数法，得1[]an+1-1=1[]31[]an-1.
故数列1[]an-1是以1[]a1-1为首项,1[]3为公比的等比数列,
1[]an-1=1[]a1-1・1[]3n-1=2・1[]3n,
故an=3n[]3n+2(n≥1).
（2）当r≠0时,可先转换为上一种问题,即消去分子中的r,再构造成等差或等比数列求解.
例5 在数列{an}中,a1=2,an+1=2an+1[]an+2,求an.
解 用待定系数法,令an+1+α=p(an+α)[]an+2,对比系数法则有p-α=2,pα-2α=1α=1,p=3或α=-1,p=1.当α=-1,p=1时,an+1-1=an-1[]an+2 ,令an-1=b,则有bn+1=bn[]bn+3变成了上一种形式,两边取倒数即可求得an+1=2[]3n-2+1(n≥1).
同样α=1,p=3也可以求出,结果一样.
类型六 二阶递推数列：已知a1,a2和an+2=pan+1+qan(p,q为常数且pq≠0)，求an.
解法 常用待定系数法将原递推式化为an+2-αan+1=β(an+1-san)，其中α+β=p,αβ=-q，从而转化为新数列{an+1-αan}求解.
例6 已知数列{an}中,a1=1,a2=5,an+2=5an+1-6an,求an.
解 可设an+2+α・an+1=β(an+1+α・an)，移项与原递推关系式对比系数β-α=5,
α・β=-6α=-2,
β=3或α=-3,
β=2.
即an+2-2an+1=3(an+1-2an).……(1)
或an+2-3an+1=2(an+1-3an).…………(2)
由(1)知,数列{an+1-2an}是首项为3,公比为3的等比数列,则an+1-2an=3n.………(3)
由(2)知,数列{an+1-3an}是首项为2,公比为2的等比数列,则an+1-3an=2n.………(4)
由(3)-(4)，得,an=3n-2n.
类型七 混式递推数列：已知a1和an+1=pan+f(n)(p为常数且p(p-1)≠0）,求an.
解法 常常是两边同除以pn+1转化为等差型数列.
例7 （2008全国改编）在数列{an}中，a1=1,an+1=2an+2n(n≥1),求{an}的通项公式.
解 由an+1=2an+2n两边同除以2n+1，得
an+1[]2n+1=an[]2n+1[]2，
故数列an[]2n是以a1[]21即是1[]2为首项,1[]2为公差的等差数列,
an[]2n=1[]2+(n-1)・1=2n-1[]2,故an=n・2n-1(n≥1).
例8 （2007天津改编）在数列{an}中，a1=2,an+1=4an-3n+1(n≥1),求{an}的通项公式.
解 由an+1=4an-3n+1两边同除以4n+1，得
an+1[]4n+1=an[]4n+1-3n[]4n+1，令bn=an[]4n ，
则bn+1=bn+1-3n[]4n+1，
移项可得bn+1-bn=1-3n[]4n+1，由此想到等式
一、数列在高职高考中的方向
1.数列在高职高考中的重要性
在中职数学课程体系中，数列是其重要的组成部分之一。而数列的章节内容在高职高考中占有非常重要的地位，历年来受到了高职高考命题专家的广泛重视。笔者将2011年以来的数列考题题号做了如下统计。
从上表可以看出，每年考题中数列的分值占到了很大的比重，并且经常以提高试卷区分度的压轴题形式出现。所以笔者认为，我们在复习迎考的过程中，有必要对此章节做充分的复习。
2.考试的内容
通过观察近年来广东的高职高考数列考题，跟考试说明范围内的知识要求、能力要求、考查要求相一致，坚持了以稳为主、稳中求变、变中求新。客观题部分主要是加强了对于数列的基础知识的考查，尤其是等差数列和等比数列的定义、性质以及解题方法，更加凸显了学生对于数列知识以及能力的掌握程度。主要体现以下几点：第一，高职高考考查了数列、等差和等比数列的概念。第二，考查了学生对于数列运算能力的掌握，主要是运用数列的概念和公式来求解数列中的一些具体的量。第三，高职高考通过有关数列的命题来考查学生的推理能力。特别是在把关题目中，这些命题不仅考查了学生对于数列公式、性质的基本运用，还考查了学生的归纳、猜想和逻辑思维能力。第四，主要考查了学生对于数列的应用，能够反映出学生对于数列的实际运用的情况，能够检验出学生的实践能力以及后续学习能力。
3.考试的要求
首先，高职高考需要学生了解数列的概念、公式以及性质的意义，掌握数列相关量的基本求解方法，掌握运用递推公式来求出数列的前几项及通项公式。其次，有关数列的专题要求学生能够很好的掌握等差数列的概念，能够完全掌握等差数列中的所有的公式，并能够通过等差数列的公式来解决专题中的实际问题。最后，数列专题能够监察出学生对等比数列概念和性质的掌握情况。学生只有在熟练掌握等比数列的相关概念和性质的情况下，才能解决等比数列专题中的问题。
4.命题的特点
近年来高职高考中有关数列的知识点在各种题型都有所涉及，无论从结构、题型还是难度和布局，都保持了相对稳定。当中的数列选择题和填空题形式多样且题型新颖，这样能够全面地考察出学生对于数列的基础知识的掌握情况。我们先看下往年的两个试题：
（2014年第16题）已知等比数列{an}满足an>0（n∈N*），且a5a7=9，则a6=。
（2013年第19题）已知{an}为等差数列，且a1+a3=8，a2+a4=12，则an=。
以上两个考题主要是考查学生对数列的基本概念、公式以及性质的掌握情况，应该能正确评价学生的数学基础知识和基本技能。而像此类问题，我们相信一定还会较多地出现在高考考卷上，这就需要教师在复习时加强这方面的归纳与总结。
而在一些相对把关题目当中，数列的知识往往会和函数、方程和不等式等其他的知识点交叉出现。这种命题的特点不仅能够体现出数学知识的交汇，还考查了学生对数列知识与其他知识点的综合运用的能力。
例如：（2015年第12题）在各项为正数为正数的等比数列an中，若a1・a4=13，则log3a2+log3a3=（）
A.-1B.1C.-3D.3
分析：从等比数列的性质可知，a2・a3=a1・a4。所以log3a2+log3a3=log3a2・a3=log3a1・a4=log313=-1，故选A。
又例如：（2012年第8题）设{an}是等差数列，a2和a3是方程x2-5x+6=0的两个根，则a1+a4=（）
A.2B.3C.5D.6
分析：从等差数列的性质可知，a1+a4=a2+a3。求出方程两个根分别为2和3。所以a1+a4=5，故选C答案。
再如：（2013年第12题）若a，b，c，d均为正实数，且c是a和b的等差中项，d是a和b的等比中项，则有（）
A.ab>cdB.ab≥cdC.ab
分析：已知a，b，c，d均为正实数，由c是a和b的等差数列的中项，可得c=a+b2，又由d是a和b的等比中项，可知d=ab，所以cd=a+b2・ab。比较ab与cd的大小，即比较ab与a+b2・ab的大小，由基本不等式ab≤a+b2，可知ab≤a+b2・ab，故选答案D。
二、数列复习应解决的问题
1.概念的理解
在数列复习的过程中，掌握数列、等差数列和等比数列的概念是学生的最基本的任务。如例：（2015年第16题）若等比数列{an}满足a1=4，a2=20，求{an}的前n项和Sn。学生要掌握通项公式及前n项和公式的定义才能够得到这道题的答案。这也就说明了数列的基本定义和性质是高职高考源头活水，应当得到教师和学生的高度重视。
2.性质的掌握
在数列复习中，等差数列、等比数列的性质简洁明了还具有很强的实用性。
比如：（2015年第16题）已知数列{an}的前n项和Sn=nn+1，则a5（）
A.142B.130C.45D.56
分析：由an=Sn-Sn-1性质可知，a5=S5-S4，所以a5=55+1-44+1=130，故选B答案。
因此，在数列复习的过程中，学生是否能熟练掌握这些性质的运用，很大程度上决定了数列复习的质量。
3.思想的运用
观察近几年的高考压轴题，命题专家通常会将数列的概念、公式和其他的知识点有效的结合，考查了W生的综合能力。这就要求我们在复习中要夯实基础知识，重视对课本例题、往年考题的拓展、引申和变式研究，注重对隐含于其中的思想方法进行归纳、整理和提炼。因为我们相信，所谓的压轴题，往往是源于课本，源于基础。（限于篇幅的限制，这里不再一一举例论证）
三、数列复习的原则和策略
1.数列复习的原则
随着新课程改革的深入开展，在高职高考命题中，数列和其他的知识点的结合已经成为了高考命题的趋势与热点，特别是在压轴题的高频率出现，有效地检测出考生的数学素养和潜能，这是我们在数列复习中必须重视的一个原则。
2.数列复习的策略
从考试大纲窥测试题特点
分析近年来中央国家机关和部分省级机关招考公务员的考试大纲及历年试题，不难看出，行政职业能力测验的试题具有以下几个方面的特点：
1．题量大，时间紧。
一般来说，120分钟内要答完130道左右的试题，因此，速度和准确性是考试成功的关键。
2．试题设计的客观化和标准化。
3．试题内容丰富，涵盖面宽。
4．考题形式灵活，题型变化多样。
从出题方式探寻命题规律
近年来，中央国家机关公务员录用考试行政职业能力测验的题型和题量基本稳定。但具体到每种题型的出题方式上却有较大的变化。
比如，数字推理题的出题方式主要有以下三种：一是普通数列，数列中所有项遵循同一规律；二是奇偶项数列，即数列中奇数项与偶数项分别遵循不同的规律；三是数字组合数列，即题目所给数列中的若干项为一数字组合，在数字组合之间遵循一定的规律。不同的类型，应采用不同的解题方法
【例1】1，2，6，15，31，（）
A．53B．56C．62D．87
【例2】6，18，（），78，126。
A．40B．42C．44D．46
【例3】（），36，19，10，5，2。
A．77B．69C．54D．48
以上3个例题都是普通数列，但又可以分为3种出题方式，例1的出题方式是最传统的，数字排列从左到右，相邻两项差分别是1，4，9，16……，为自然数的平方数列，则空缺项为31+25＝56。故应选B。例2采用了中间留空的出题方式，这种题通常要求将所选项代入原数列，进行验证。题目所给数列中各项均除以6，所得结果依次是1，3，（），13，21，……，是差为等差（2，4，6，8，……）的二级等差数列，因此空缺项应为6×（3＋4）＝42，正确答案为B。本题还可以采用排除法，经观察选项中只有42是6的倍数，也可得到正确答案为B。例3的空留在最前面。可以采用从后向前进行推理的解题方式。该题是一个三级等差数列。从后向前，前减去后项的结果分别是3，5，9，17……，相邻两个结果之间的差又分别是2，4，8，……，为公比为2的等比数列。因此空缺项应为16＋17＋36＝69。应选B。
【例4】1，15，8，24，27，35，64，48，（），（）
A．65，24B．125，80C．125，63D．65.124
【例5】12，3，4，9，25，3，5，15，36，2，6，（）。
A．13B．12C．11D．10
一般来说，如果一个数列超过7个数，首先应想到的是奇偶项数列和数字组合数列。例4的奇数项分别为13，23，33，43，……，相邻偶数项之间的差分别为9，11，13，……，所以空缺项分别为53＝125，和48+15＝63。答案应为C。例5是以4个数为一个组合的组合数列，第1个数乘以第2个数所得的积再除以第3个数等于第4个数，空缺项应为36×2÷6＝12，答案选B。
可见，了解了各部分内容的出题方式，在复习中就会事半功倍。
利用历年试题进行针对性训练
行政职业能力测验是通过一系列的测试，预测考生在行政管理领域里的多种职位上取得成功的可能性。这种能力不可能在短时间内取得实质性突破，因此，也就不必在考前进行一般意义上的“复习”。考生主要应掌握一定的答题思路和应试技巧，并加强针对性训练。利用历年试题作为针对性训练的练习题是不错的选择。
【例1】某大学某班学生总数为32人。在第一次考试中有26人及格，在第二次考试中有24人及格。若两次考试中，都没有及格的有4人，那么两次考试都及格的人数是（）。
A．22B．18C．28D．26
本题正确答案为A。可用集合画图法快速解答。
如图所示，令第一次考试及格的为A+C，第二次考试及格的为B+C，则两次考试都及格的为C，都不及格的为4，本题求解C。已知A+C=26，因A+B+C+4=32，所以B=2,又因B+C=24,可快速解出C=22。
【例2】现有50名学生都做物理、化学试验，如果物理实验做正确的有40人，化学实验做正确的有31人，两种实验都做错的有4人，则两种实验都做对的有（）
A．27人B．25人C．19人D．10人
本题正确答案为B。同样可用集合画图法快速解答。
例1和例2分别出自2014年和2014年国家公务员录用考试的行政职业能力测试。尽管两道题的具体内容不同，但考查的知识点是相同的，可用相同的方法解答。可见，从历年试题中总结出常考的知识点，并加以针对性练习，是行之有效的。
变被动答题为主动答题
很多考生进行答题时，比较茫然，被动答题，很容易陷入出题人的“陷阱”。在考试中，强化已经掌握的应试技巧，变被动答题为主动答题是极其必要的。
比如，演绎推理的出题方式，主要可归结为结论型、加强型、削弱型、补充前提型、解释型5类，不同类型有不同的提问方式和解题技巧。考生通过针对性训练，能做到一看见提问方式，就知道该题归属到哪一种类。
例如：一家飞机发动机制造商开发出了一种新型发动机，安全性能要好于旧型发动机。在新旧两种型号的发动机同时被销售的第一年，旧型发动机的销量超过了新型发动机，该制造商于是得出结论认为安全性并非客户的首要考虑。
下面哪项如果正确，会最严重地削弱该制造商的结论？（）
A．新型发动机和旧型发动机没有特别大的价格差别
B．新型发动机可以被所有的使用旧型发动机的飞机使用
C．私人飞机主和航空公司都从这家飞机发动机制造商这里购买发动机
D．客户认为旧型发动机在安全性方面比新型号好，因为他们对旧型发动机的安全性了解更多
本题为削弱型考题，正确答案为D。经过针对性训练，考生看到以上提问方式就能想到应归结到削弱型，然后根据削弱型的解题技巧，首先要找到结论或论点，然后从4个选项中寻找能反驳论点或结论的选项，就是正确答案。这样考生就从被动答题中走出来，既节省了时间，又增强了准确性。
考生要注意，练习题做得越多越好的观点并不值得提倡。行政职业能力测验没必要反复练习，只要掌握答题的要领与方法，保证能合理安排好答题的时间即可。考前时间有限，最好选择最近两、三年已经考过的真题，集中力量做两套就可以了。
关键词：高等数学（一） 极限 历年考卷
自学考试在我国的高等教育中居于十分重要的地位。由于我国普通高等教育资源短缺，导致相当多的人不能接受普通高等教育。自学考试以其“开放、灵活、适应性强、投资少、效益高、工学矛盾小”等特点受到人们的欢迎，在我国得到快速发展，为我国的经济建设培养了大批有专业知识和技能的人才。在今后相当长的一段时间里，我国普通高等教育资源短缺的情况仍将存在，因而自学考试还会继续发展。
很多自考专业的考试科目中要求考高等数学（一）（以下简称高数），这门课的教材由章学诚主编，全国统一考试。高数对考生来说无疑是最难学的课程之一，在每次组织的考试中，高数的及格率都很低，相当多的考生不能通过高数考试，影响到毕业证的获取，导致很多考生放弃了自考。本文主要针对高数中极限部分的内容进行分析。极限内容对自学者来说有一定的难度，考生对此往往无所适从。极限是高数考试的必考部分，考生如果放弃极限的学习，会对能否通过考试产生影响。针对这一情况，本文试图通过对历年考题的分析，总结考试经验，以期对考生自学和应考提供一定的帮助。
一、高数自考考试大纲关于极限部分的考试要求
自考生的自学应该按照考试大纲的要求进行。高数考试大纲中极限的考试内容包括数列极限、数项级数的基本概念、函数极限、极限的运算法则、无穷小(量)和无穷大(量)、两个重要极限等。其中极限包括数列概念、数列极限的定义和收敛数列的基本性质；函数极数包括函数在有限点处的极限、自变量趋于无穷大时函数的极限和有极限的函数的基本性质；无穷小(量)和无穷大(量)包括无穷小(量)、无穷大(量)、无穷大量与无穷小量的关系和无穷小量的比较。
与此相对应，考试大纲中极限的考试要求包括：①理解极限的概念，会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件；②了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则；③理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系，会进行无穷小量阶的比较(高阶、低阶、同阶和等价)，会运用等价无穷小量代换求极限；④熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。
就高数中极数部分的考试范围来说，考试内容是比较多的，这给考生的学习及应考产生了一定的思想负担；而考试大纲的要求包括了解、理解、熟练掌握、运用等诸多方面，要求掌握的内容不少。由于考试大纲中极限在总分中所占比重并非很大，且极限部分非常抽象，尤其是极限的概念部分难以学懂，一部分考生忽略它是可以理解
的。
二、历年高数考试中极限部分考题分析
本文选择最近的5次高数考卷进行分析，这5次分别是2007年4次以及2008年1月的考试。做出这种选择的依据是：第一，它是与现在相距最近的5次考试，试题的分析具有实际意义，对未来的考试具有实际指导作用；第二，试题分析应该建立在一定数量试卷的基础上，试卷太少则代表性较差；第三，需要说明的是，这5次考卷的题型及题型分值完全一样，属于同一次命题的范畴。这5次考卷的题型包括选择、填空、计算、应用和证明等5种类型，试题总数25个。其中选择题5个，共10分；填空题10个，共30分；计算题分为计算题（一）和计算题（二）两类，计算题（一）5个，共25分，计算题（二）3个，共21分；应用题1个，9分；证明题1个，5分。试题难易比例：容易题约20%；中等偏易约40%；中等偏难约30%；难题约10%。
在这5次考试中，均有极限方面的考题出现。从考卷统计的情况来看，每套试卷出现3个左右的极限题目，其中一个以计算题（一）的形式出现，另两个出现在选择题或填空题中，属于小题；极限部分合计分值在10分左右；就极限的考试内容来说，以计算题（一）形式出现的题目偏向于两个重要的极限，以选择题或填空题出现的两个小题偏向于考核数列的极限、两个重要的极限等。由此，我们可以得出，极限部分的考试重点是数列的极限及两个重要的极限，考卷中出现的极限部分与考试大纲的考试要求保持一致。
极限部分考题在近几年高数的考试中出现得不多，且重点突出，对高数的考生来说，把握这一情况无疑是重要的，考生可以有重点地展开极限部分的学习，复习中集中精力关注重点内容。
三、关于极限的自学建议
事实上，极限在高数的学习中是重要的基础。我们知道，数学知识的联系很密切，极限部分对于后续内容的学习有重要影响。自考生在自学中应该以长远的观点来对待，不能因为考卷中极限部分的考题不多、分值较少且难以自学就放弃对它的学习。关于极限的自学，我们认为只要掌握好学习方法，通过一定的努力，一定可以取得满意的效果。在自学中，以下三点应引起自考生的关注。
1. 掌握基本概念、基本方法和基本原理
每门学科最重要的内容就是基本知识，包括基本概念、基本方法和基本原理等。要顺利通过高数考试，就要明确高数要考些什么。高数主要是考基础，包括基本概念、基本理论、基本运算。高数是一门基础学科，如果基础、概念、基本运算不太清楚，运算不太熟练，肯定就考不好，所以基础一定要打扎实。就最近几年的数学试题来看，主要也是以考查数学的基本概念、基本方法和基本原理为主。由于极限较为抽象，自学起来会有难度。我们认为要学好这部分内容就要牢牢把握基础，极限部分的基础内容是数列极限的定义以及函数在有限点处的极限定义。学习极限时头脑中始终要有一个动态变化趋势的概念。
2. 把握学习重点
要明确考试重点，充分把握重点。重点学习内容的重要性表现在它是学科的主要部分，它对于相关内容的学习有重要的影响，它往往也是考试的主要部分。把握重点其实很容易，考试大纲指明了每一章节的重要内容，只要认真地阅读便会知晓。通过考卷的分析，可以得出极限的考试重点就是数列的极限和函数在有限点的极限的定义，以及两个重要的极限。为了充分把握好重点，平时应该多研究历年真题，更好地了解命题思路和难易度。
3. 要大量做基础练习题
做数学练习是为了更好地理解基本概念，是掌握数学基本知识的需要。由于历年的数学考卷中都是以基础题目为主，日常的数学练习显得尤为重要。我们认为数学练习应以基础练习为主，要多做练习。在此基础上，重视总结归纳解题思路、套路和经验。数学试题千变万化，其知识结构却基本相同，题型也相对固定，往往存在明显的解题套路，熟练掌握后既能提高正确率，又能提高解题速度。
一、新课改背景下高中数学数列有效进行教学的影响因素
1、教师因素
1.1教师的教学观念
我国传统的教师讲课是教师在讲台进行讲解，学生在台下进行记录学习，这是一种单方面的传授，并且这种教学的观念是老师作为主体，而学生作为客体或者是被动者，这与新课改存在一定的矛盾，新课改的理念是学生作为学习的主体，在学习中具有主动性，老师与学生应该颠倒位置，进行交流与反馈，从而实现教育的双向传播。
作为一名高中数学教师，更应该注重学生学习的主体地位。在对学生进行数列的教学中，转变传统的教学观念，给新课改背景下的数列教学注入新的教学理念，从而使教学工作取得更好的效果。
1.2教师的教学能力
数学老师拥有较高的教学能力和教学方法，对于数学数列的教学就成功了一半。这其中包括课上高效的教学方法和课下有效的监控行为[2]。课上高效的教学方法是指教师能够在课上对于数学数列的教学完整系统，使学生能够清楚地明白教师在讲什么，从而对于数列的解题思路一目了然，使学生在课堂上就能够获取知识，掌握知识，从而提高对数列的解题水平。课下的监控行为是指教师能够对学生在课下能够加强数列知识的巩固进行有效地监督和控制，从而不断地完善自己教学方法。对于在课上学生没有听懂的问题及时的进行检查，通过反馈调节自己的教学活动，从而不断改善教师的教学。
1.3教师的知识结构
教师个人的知识水平直接影响到教师能够胜任数学数列教学这个工作。科学研究表明，教师的教学工作的有效性与教师的科学文化水平和知识结构存在一定的关系，如果教师连具备进行数学数列教学的专业知识都没有，又怎么能进行教育学生的工作，解决学生在数列学习中的困难呢？
2.学生因素
1学生的心理原因
学生自身的心理原因也是阻碍数学数列有效学习的因素。学生对于学习有不同的看法，有的学生喜欢学习，有的学生不喜欢，这都取决于学生自身。喜欢学习数列的学生他对于数列的学习热情就高，学习态度就积极，取得的成绩也就更显著，反之亦然。
2学生的学习能力
每个学生的学习方法和学习能力不同，就会造成数列学习的不同进度，进度快的学生学的就快，数学教师讲授的知识能够很好地消化，而那些学习能力较差的同学就更不上老师的进度，导致学习数列的成绩很低。学习的起点不同，个人脑力的不同，也就形成了学生学习能力的差距，这都是影响高中数学数列有效进行的原因[3]。
3、课程资源因素
目前我国在新课改背景下，进行高中数学数列教学的课程资源还不是很全，像网络资源、教学素材这些还比较传统，没有系统的概括，这无疑给数学数列的教学带来了一定的困难。
二、有效进行高中数学数列教学的方法措施
2.1提高教师素质，丰富教学手段
随着网络技术的迅速发展，给当前的教育注入了很多新的技术应用，同样的，高中数学的数列教学也可以借助多媒体网络的技术进行。多媒体教学有其自身的优势，它能够提供给学生传统数学教师讲授数列知识时所不能提供的，它能够将平面的东西运用多媒体技术通过立体化的形式展示出来，使学生能够产生立体感，有利于学生的思维开阔和解题技术的提高。比如，在数列学习中，利用多媒体的“几何画板”做点与函数图像的轨迹，进行“圆锥曲线”的教学方法[4]
向学生展示二次曲线的形成和发展过程，在这一过程中，能够激发学生的想象力，开阔学生的视野，丰富了教师讲授知识的内容，提高了高中数学数列的学习质量。
2.2培养学生兴趣，着实提高学习方法
学生是学习的主题，要想提高学生的数列学习，必须从学生的思想做起，提高学生学习数列的兴趣，正所谓“兴趣是学生最好的老师”。所以，在高中数列的教学中我们要发挥学生作为主体的作用，提高学生学习数列的积极性，重视其兴趣的培养。比如，在高中的数学数列教学中，可以运用一些新颖的教学方法，增强学习的趣味性，使学生产生兴趣，充分利用相关案列，把知识传授转化成学生主动接受。此外，对于学生学习方法的提高，教师可以根据大多数学生解题思路的反馈，总结出一套最为简单的方法，根据每个人的实际情况对其进行分析总结，力求使每个学生都能靠自己把数列的答案给解出来。
2.3优化课程设计，提高教学模式的合理性
高中数学数列教学模式的枯燥使得整个课堂气氛无法活跃起来，所以，优化数列的课程设计，创造出合理的多样的生活化的教学模式，是有效提高高中数学数列教学的一种方法。比如，将学生喜欢的网络游戏的程序设计和课堂进行的数学知识的传授紧密的结合在一起，使得学生对学习的积极性增加，在轻松快乐的氛围下获得了知识，也可以通过结合实际生活中的问题情景，提出在数列知识上的重难点[4]。通过这种方式，不仅使学生掌握了学习中的重难点，也提高了学生的生活常识。比如，在进行概率知识的讲解时，教师可以将彩票、双色球等与数学教学中的知识相结合，从而更加直观的让学生学习到解题思路。
【关键词】教学生学会审题 针对性训练
落实一 精选例题习题
例题习题的选择要有针对性、典型性、综合性、灵活性，要注重基础和重点，注意梯度，由易到难，容量恰当，要求适度，能起到触类旁通、举一反三的作用。
落实二 教学生学会审题
有些题目不难，但由于审题的原因会出现漏解或误解的情况，例如：
⒈若方程 + =1表示双曲线，则m的取值范围是 ，不少同学只考虑到2-m>0|m|-3
⒉已知sinx+siny= ，求siny-cos2x的最大值。
解答本题常有如下的错解：由sinx+siny= 得siny= -sinx，故siny-cos2x= -sinx-cos2x= 2- ，因为-1≤sinx≤1，所以当sinx=-1时siny-cos2x取最大值 。造成错解的原因是没有挖掘题中的隐含条件，其实siny的取值限制了sinx的取值，由-1≤siny≤1-1≤sinx≤1siny= -sinx得- ≤sinx≤1，所以当sinx=- 时siny-cos2x取最大值。
像这样出现错解或漏解问题很多，因为题目不难，并非不会做，犯的错误实际上可以避免。造成错解或漏解的原因很明显，是审题环节上出现了问题。为避免这样的错解或漏解，要教会学生审题即正确理解题目的意思。教会学生正确地理解题目中有关名词、数学符号、图形、术语及有关语句的含义，弄清楚哪些是已知条件，哪些是未知条件。在教学过程指导学生审题要规范，读题要细心、耐心，把认真审题形成自觉的习惯，通过认真审题挖掘隐含条件，寻找解题突破口，从而制定解题方案策略，对于关键步骤、易出错的步骤，要边做边检查，做到一次成功。
落实三 注重针对性训练
通过针对性的训练，不但能使学生获得成功学习的体验，还能强化学生的基础知识、基本技能、基本方法。例如，设计等差数列问题课内训练题：
练习1： 等差数列{an}中，已知a10=100，a100=10，求a110。
针对性训练1： 等差数列{an}中，已知ap=q，aq=p（p≠q，p，q∈N+）求ap+q。
练习2：等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10=100，S100=10，求S110。
针对性训练2：等差数列{an}的前项n和为Sn，已知Sp=q，sq=p（p≠q，p，q∈N+）求Sp+q。
通过这样有针对性的训练，能及时帮助学生巩固等差数列的基础知识，能逐步提高学生解决等差数列问题的能力；通过这样有针对性的训练，让学生尝试错误、暴露错误，使学生学会数学思维，提高数学修养。通过剖析错误，让学生加深对数学概念、定理、公式的理解，树立学好数学的信心；通过这样有针对性的训练，让学生积极地面对错误，不回避错误，使错误成为一种自我教育的资源。
落实四 强化规范性训练
解题不规范就可能出现“会而不对，对而不全，全而不完美”的遗憾现象，因此教学过程中要对学生进行解题规范性训练。
⒈规范语言转换
数学命题是由特定的数学语言（文字、符号、图形）组成，解题活动就是数学语言的转换过程。通过语言转换，理解题意即审题，由此确定解题方案。
⒉规范解题依据
数学解题的依据应是教材中定义、定理、公式及其数学概念而不是其它。特别要掌握每个定义、定理、公式具备的条件，否则将出现错误的结果。
例如：平面内到点的距离与到直线的距离相等的点的轨迹是____。如果忽视抛物线定义中“定点不在定直线上”这一隐含条件就会填上轨迹是“抛物线”，实际上本例中点在直线上，故动点的轨迹是过点且垂直于直线的直线。
⒊规范解题模式
数学应用题要按设、列、算、答四个程序进行，立体几何对作、证、算三个环节要处理妥当。
⒋规范答题格式
教材中典型例题及每年高考试题的参考答案与评分标准都给出了解答题答题的基本格式，这些都可以作为平时学习与训练的样本、模式。
⒌答案要做到准确、简洁、全面，既注意结果的验证与取舍，又要注意答案的完整。
⒍规范书面表达
规范的书面表达不但要做到字迹工整，还要语言叙述规范。规范的语言叙述应步骤清楚、正确、完整，详略得当、言必有据。要避免随意性，切不可杜撰数学符号和数学术语。
落实五 加强限时训练
通过限时训练提高练习的效率，做到练习考试化，使学生在考试的环境中紧张有效的学习。
落实六 及时反馈
学生的作业、做完的试题要及时批阅，在批阅过程中把学生出现的问题进行归纳统计，找出解题的误区或知识上存在的欠缺，有针对性的指导学生弥补不足，搞好复习，提高学习效率。
