时间：2022-08-23 13:13:04
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1.掌握等比数列前项和公式，并能运用公式解决简单的问题.
（1）理解公式的推导过程，体会转化的思想；
（2）用方程的思想认识等比数列前项和公式，利用公式知三求一；与通项公式结合知三求二；
2.通过公式的灵活运用，进一步渗透方程的思想、分类讨论的思想、等价转化的思想.
3.通过公式推导的教学，对学生进行思维的严谨性的训练，培养他们实事求是的科学态度.
教学建议
教材分析
（1）知识结构
先用错位相减法推出等比数列前项和公式，而后运用公式解决一些问题，并将通项公式与前项和公式结合解决问题，还要用错位相减法求一些数列的前项和.
（2）重点、难点分析
教学重点、难点是等比数列前项和公式的推导与应用.公式的推导中蕴含了丰富的数学思想、方法（如分类讨论思想，错位相减法等），这些思想方法在其他数列求和问题中多有涉及，所以对等比数列前项和公式的要求，不单是要记住公式，更重要的是掌握推导公式的方法.等比数列前项和公式是分情况讨论的，在运用中要特别注意和两种情况.
教学建议
（1）本节内容分为两课时，一节为等比数列前项和公式的推导与应用，一节为通项公式与前项和公式的综合运用，另外应补充一节数列求和问题.
（2）等比数列前项和公式的推导是重点内容，引导学生观察实例，发现规律，归纳总结，证明结论.
（3）等比数列前项和公式的推导的其他方法可以给出，提高学生学习的兴趣.
（4）编拟例题时要全面，不要忽略的情况.
（5）通项公式与前项和公式的综合运用涉及五个量，已知其中三个量可求另两个量，但解指数方程难度大.
（6）补充可以化为等差数列、等比数列的数列求和问题.
教学设计示例
课题：等比数列前项和的公式
教学目标
（1）通过教学使学生掌握等比数列前项和公式的推导过程，并能初步运用这一方法求一些数列的前项和.
（2）通过公式的推导过程，培养学生猜想、分析、综合能力，提高学生的数学素质.
（3）通过教学进一步渗透从特殊到一般，再从一般到特殊的辩证观点，培养学生严谨的学习态度.
教学重点，难点
教学重点是公式的推导及运用，难点是公式推导的思路.
教学用具
幻灯片，课件，电脑.
教学方法
引导发现法.
教学过程
一、新课引入：
（问题见教材第129页）提出问题：（幻灯片）
二、新课讲解：
记，式中有64项，后项与前项的比为公比2，当每一项都乘以2后，中间有62项是对应相等的，作差可以相互抵消.
（板书）即，①
，②
②－①得即.
由此对于一般的等比数列，其前项和，如何化简？
（板书）等比数列前项和公式
仿照公比为2的等比数列求和方法，等式两边应同乘以等比数列的公比，即
（板书）③两端同乘以，得
④，
③－④得⑤，（提问学生如何处理，适时提醒学生注意的取值）
当时，由③可得（不必导出④，但当时设想不到）
当时，由⑤得.
于是
反思推导求和公式的方法——错位相减法，可以求形如的数列的和，其中为等差数列，为等比数列.
（板书）例题：求和：.
设，其中为等差数列，为等比数列，公比为，利用错位相减法求和.
解：，
两端同乘以，得
，
两式相减得
于是.
说明：错位相减法实际上是把一个数列求和问题转化为等比数列求和的问题.
公式其它应用问题注意对公比的分类讨论即可.
三、小结：
1.等比数列前项和公式推导中蕴含的思想方法以及公式的应用；
2.用错位相减法求一些数列的前项和.
方案一，用实例引入，选了一个增长率问题，有某国企随着体制改革和技术革新，给国家制造的利税逐年增加，下面是近几年的利税值（万元）
1000， 1100，1210，1331，……
如果按照这个规律发展下去，下一年应给国家制造多少利税？
以处引出由1000，1100，1210，1331，……所确定的数列，研究这一数列的特点，给出等比数列的定义，这种以实例引入新课的方法自然突出了数学的应用性，同时还可以从中进行爱国主义教育。
方案二，以具体的等比数列引入，先给出四个数列： 1，2，4，8，16，……
1，-1，1，-1，1，……
-4，2，-1， ……
1，1，1，1，1，……
由同学们自己去研究这四个数列中。
每个数列相邻两项之间有什么关系？
这四个数列有什么共同点？
由此引导学生自己去观察、研究，去归纳，从中发现规律，突出了以学生为主体的思想，训练和培养了学生的归纳思维能力。
方案三，以等差数列引入，开门见山，明确地告诉学生，“今天我们这节课学习等比数列”，它与等差数列有密切的联系，同学们完全可以据已学过的等差数列来研究等比数列。
什么样的数列叫等差数列？
你能类比猜想什么是等比数列？试举出一两个例子，试说出它的定义。
方案三比二“更带有激发性，学生参与的程度更强，在几乎没有任何提示的情况下，让学生自己动脑动手去研究，从思维类型来看，这种方法重要是训练和培养学生的类比思维，可以进一步培养学生分析问题和解决问题的能力。
由此引发的思考。
如何通过对教材内容的学习，以实现培养能力和提高素质的目的。
从目前高考改革的方向来看，逐步加强对能力的考查，因此，课堂教学的改革也应该以培养能力和提高素质为主线，使“素质教育”和“应试教育”有机的结合起来。可我们在平时的教学中比较重视解题教学，对新课的引入过程，对新知识的形成过程重视不够，将好多可以进行能力培养和训练的机会放过了，认为课堂教学时间紧，能力培养见效慢，不如“精讲多练”实惠，对如何使用课本进行能力培养的问题，也有模糊认识，认为课本怎么写我就怎么讲，既省时又省事，更省力，这些想法带有一定的普遍性。
课堂教学设计的出发点是什么？
由于同一个内容可以产生不同的教学设计，说明不同的教学设计一定有不同的考虑，会实现不同的目的。
教师在备课时，一般容易单纯从教学内容出发，考虑如何掌握所教教学内容为主，对深层次的教学目的考虑不周或不去考虑，这确实是值得我们深思的问题，在这种思想指导下的教学设计经验只停留在知识内容或方法上，而忽视能力和素质要求，缺乏深层次的思考，淡化了过程。 怎样科学、合理地进行教学设计
我们知道，教学质量的关键在于课堂教学，而课堂教学的好坏，关键在于备课，可以说教学的过程是从备课开始的，因此抓好备课这个起始环节是至关重要的。这样摆在我们面前的问题就是如何科学地、合理地进行教学设计，真正把好备课关。
当前的问题是有些老师对备课还重视不够，个别老师的教案是使用多年不变，有的老师只备例题和习题，没有能力培养的意识，也有的老师将能力训练和素质培养纳入教学轨道，但经验不足，训练不知如何下手。因此，我们觉得有必要对如何进行教学设计开展研究和讨论。
课堂教学过程设计要素
在课堂教学设计过程中，既要注重知识、方法和能力的关系，又要突出能力的地位和作用。为此，我们认为教学过程设计的主导思想是有利于学生能力的形成和素质的提高，这是教学改革的方向。
要分析班级的整体状况。
不同的学校，不同的班级的学生的知识基础、能力水平、学习习惯、学习速度、课堂
气氛,……，都有差异，因此在进行课堂教学设计考虑能力要求时，应随学生的思维水平有所区别。在进行具体的教学过程设计时所设问题的大小、难易程度也要因学生而异。 如果一个班级基础很差，就很难在教学过程中设计一个由学生讨论、发现、论证的完整的教学环节。相反，若一个班级的学生的学习兴趣浓厚，有良好的发言习惯，又有一批较好掌握论证技巧的学生，最有可能安排设计讨论的环节，引导学生自已归纳推导出某些数学命题，充分发挥学生的创造性。总之，教学过程的设计要符合学生的实际，要有利于提高他们的思维水平。
要研究课题特点。
关键词：学习；探究；结论；知识；规律
中图分类号：G632.4 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2012）09-0228-02
“探究性学习”又叫探索性学习，指的是“学生在学科领域或现实生活的情景中，通过发现问题、调查研究、动手操作、表达与交流等探究性活动，获得知识、技能和态度的学习方式和学习过程。”探究性学习能较好地培养学生分析问题、解决问题的能力，培养学生探究习惯和创新思维，同时也能通过引发学生积极思维而产生对数学的兴趣。
通过设计探究性问题来开展课堂教学研究是深入进行数学教育研究的一种有效方式，根据学生认知结构及知识本身的系统性来进行研究性学习是一个数学教师深入钻研教材、建立自己教学特色的关键。根据我近十年的教学经验，总结出以下几种探究类型，供同行探讨。
一、条件探究型
此类探究给出问题的条件不完全而结论完备。解这类题目时，首先由结论出发，考虑结论成立时必需的一切条件，然后分析研究，选择最佳条件，从而得出最后答案。
例1：D为ABC的AC边上的一点，要使ABC∽ADB，那么D点应在AC边上的什么位置？解这道题时，学生须选定判定三角形相似的方法之一，然后结合已知条件来解题。
例2：在平行四边形ABCD中，在对角线AC上有两点E、F，只须给定条件________（一个即可），就可使BF=DE。这道题型属于突出结论的类型，这种情况下，结论成立的条件便成了学生分析推理的主要目标，由于条件的不唯一性，学生的发散性思维能力和深入思考问题的逻辑能力都能通过这种题型来体现。采用学生独立思考以及小组交流合作的模式，由浅及深，步步深入，解决问题。上述两个例子，解题的过程实质上都是问题探究的过程，有助于提高学生发散思维的能力，激发学习数学的兴趣，从而提高学生的数学能力。
二、结论探究型
此类题型的条件比较明确，需要推测相应的结论，此时结论可能不确定，可能不唯一，解此类题目应由条件出发，经过分析、比较、猜想、推理、论证得出结论。
例：在平行四边形ABCD中，点E、F分别是边AD，BC的中点，由此可推出哪些正确的结论？
这是一到问题结论相对开放的题目，学生应根据特定的情景来设定、推理。这种题实用价值大，能多方位展现学生的数学思维和数学基本能力。这种类型的题目能够打开学生的思维，发挥学生对已有知识的串联能力，从不同的视角探究问题的解决方法，而不是沿用传统的单向思维模式。通过学生体验这类问题的摸索，驱动学生强烈的求知欲望，进而积极地参与数学探讨与学习。
三、知识体系探究型
具有现实意义的、有趣而又独具挑战的数学知识应该出现在数学教学中。具有现实意义的内容可以给学生最直接的体验，源于生活，易于理解，且遵循学生的学习规律。能够督促学生积极主动地进行数学观察，总结数学规律，协作完成教学活动。教材是枯燥无味的，这就要求教师要用活教材，要有创造性，针对学生的特点来设计学生教案，让学生体验数学知识的规律及应用，鼓励学生自主探索与合作交流。例如：教学分母有理化时，教师先创设问题情境，让学生计算近似值。有的学生通过计算器得出≈2.828，≈≈0.3536。同样，≈0.2887，这时学生已感觉到了多位除数带来的麻烦。教师乘机启发学生能否避免这种麻烦？学生的探究欲望被这个开放性问题唤醒，纷纷进行尝试。此时教师再引导学生观察、操作、交流和概括。在小组讨论后，使分母中不出现根号是避免计算困难的关键，学生对去根号的方法会有不同的见解和方法。比如，采用平方的方式，但这改变了分式的值，还有的学生采用分子分母乘以相同的根式的方法，可以将分母的根号移到分子中，即==，有的则先化简分母，即=。同样对也作了同样的探讨。这时教师要进一步强化学生积极的学习体验，引导学生自我建构，形成表达式，使学生享受到成功的喜悦。在获得的简便计算后，启发学生找它们的共性，推导出一般结论：==，这时引入分母有理化和有理化因式这两个概念就水到渠成了。最后，还可以让学生交流总结，展示自己的思维过程和成果，讲收获，谈感受，在合作与交流中碰撞出智慧的火花，增进合作意识，引导学生反思自己的数学学习过程和成长的历程。使学生正确认识自我，建立信心。
四、规律探究型
此类探究往往给出一组变化了的图形、式子或条件，要求学生通过对信息的整理、观察、分析、猜想、探索出其规律，这类题型可提高学生的观察能力、归纳概括能力。
例：阅读下面一列数：1，2，4，8……我们发现，这一列数从第2项起，每一项与它前一项的比都等于2。
一般地，如果一列数从第2项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数，这一列数就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比。①等比数列5，15，45……的第4项是_________；②如果一列数a1，a2，a3，a4，……是等比数列，且公比为q，那么根据上述规定，有=q，=q，=q，=q，……所以a2=a1q，a3=（a2q）q=（a1q）q=a1q2，……，an=_______（用a1，q的代数式表示）。③一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第4项。
自然思维――根据自我认知，合情推测，想当然地、顺其自然地思维.
直觉思维――根据知识经验，自觉和直接的思想方式.直觉思维往往表现为潜意识、下意识和无意识的，是非逻辑思维的一种思维形式.[1]在教学中如何关注学生主动性思维的培养，本文以人民教育出版社高中课程标准实验教材《数学》必修五数列部分内容和课堂教学案例来作为尝试.
一、求通项公式两种教学设计的对比
在介绍等差数列通项公式时，根据教材给出的方法，常见的教学设计是：
教师问：由等差数列的定义，前后两项之间的关系是什么？
学生写出：a2-a1=d，a3-a2=d，…，an-an-1=d.
教师再问：各项如何用a1，d来表示？
学生写出：a2=a1+d，a3=a1+2d，a4=a1+3d，…
教师请学生填空得到通项公式an=a1+（n-1）d.
然后教师进一步说明这种方法的意义是由个例归纳出一般，是一种合情推理（合理猜想），关于其证明涉及以后的数学归纳法.
据笔者了解，当前大多数教师基本采用这一方法，并且制作了相应的课件.笔者认为，这样的教学方式，只是一种启发引导式的思维培养，看似学生参与了，实质上还是停留在学生由教师主导下被启发引导的一种思维方式，还没有充分体现出让教学的主体――学生自主学习[2]，或者说主动性思维的层面.
笔者的教学方案是：
教师设问：等差数列是一种有规律的数列，这个规律是什么？他的通项公式如何探究？
学生讨论后答：规律就是定义，通项公式可以从项与项之间的关系来推测.
教师要求：
那么请大家进行自主探求.
学生们讨论后基本上有两种方案.
（1）由定义得a2-a1=d，a3-a2=d，…，an-an-1=d.
a2=a1+d，a3=aa+2d，a4=a1+3d，…，推测得an=a1+（n-1）d.
（2）由a2-a1=d，a3-a2=d，…，an-an-1=d，把以上各式相加得an-a1=（n-1）d，an=a1+（n-1）d.
教师小结：这两种方法都很好，各有特点.
方法一反映了归纳推理、合情猜想的思维，但是归纳猜想的结论是否正确，需要严格的演绎证明.关于这个证明，今后的证明方法中专门会介绍数学归纳法.
方法二是一种很好和有用的推理证明思想――“累加法”.凡是相加可消去中间项的都可以尝试这种方法.
这样的教学方案，在体现学生主动性思维上显然比第一种方案要好，它注重了学生的自然思维和直觉思维.只要我们有意识，这种教学设计可以在其他内容上继续尝试.
二、求前n项和两种教学设计的对比
在介绍等差数列的前项和时，大部分教师参照教材一开始给出的高斯思想进行提示，并且再把这个思想与求和结合起来.其实许多学生，尤其是初中学过和课前预习过的学生，他们的思维就只停留在高斯的思维引导下，而缺失了自觉主动创新思维的意识，只感受到了高斯的“聪明”，而没有意识去尝试这种“聪明”思维自己能否产生和如何产生.这样被动的思维培养其实只是一种形式而已，这样的思维过程也很不“顺其自然”.如果意识到主动性思维的培养，可以设计这样的教学方案.
教师不作任何提示，直接让学生尝试求和. 学生思考后，基本能够自然地利用通项把每一项的第一个相加，第二个概括在一起得到：Sn=na1+[1+2+…+（n-1）]d. 到了这里，学生们就能自然而主动地想到求Sn就是求1+2+…+（n-1）.关于自然数求和，有的学生就回忆起了高斯方法.更可喜的是，即使没有想到高斯，从1+2+…+（n-2）+（n-1）的形式看，大多数学生也想到了1+（n-1）=2+（n-2）=…，也就是说“与首末等距离的两项之和相等”，这样就得到了Sn.
如果是1+2+…+n呢，显然也成立.
到此，再请学生们看高斯的思维，学生们就会自信地感到自己和高斯一样可以创造性地思维，就会增加学习的主动性和兴趣.
教学至此，教师只要提一句：等差数列有否这个性质？
几乎全体学生都能得到等差数列有这样重要的性质：“与首末等距离的两项之和相等.”即a1+an=a2+an-1=….从而自然想到Sn的求法是Sn=a1+a2+…an，Sn=an+an-1+…+a1，2Sn=n（a1+an），Sn==na1+d.
三、通过习题检验两种设计的效果
至此，求和已完成，接下来是巩固和拓展.
教师小结重要的两点：
1.数列的问题往往要从项着手分析，同学们想到的“拆项法”很重要和有用，比如把每项拆成两个甚至多个，分别将第一个，第二个…合并求和.再比如拆成两个后有可能前后有关联，请学生做课本P47习题4.
对于习题4，本来有许多学生是陌生和困难的，但由于有了前面的思维基础，大多数学生这时能很自然地得到：
Sn=++…+=（-）+（-）+…+（-）=1-.
教师进一步提出求Sn=++…+. Sn=+++…+.
并提醒学生注意不同的细节.
教师更进一步提出对于等差数列{an}，求Sn=++…+.
从具体课堂效果来看，学生会顺利解决并自主总结出方法――拆项相消法.
2.等差数列的重要性质：“与首末等距离的两项和相等.”即a1+an=a2+an-1=at+an-t+1，这是很有用的性质，利用它可以灵活、快速、准确地解题.在具体问题中，要注意的是如果n是奇数，则中间是一项；如果n是偶数，则中间是两项.
进一步请学生应用练习：在等差数列{an}中，（1）已知a7，求S13；（2）已知a5，a11，求a8，S15；（3）已知S21，求a7+a15.
通过以上练习，学生体会到了用此性质的快捷，激发了主动学习兴趣和求知欲，再次感悟了数学的奥妙和乐趣.
这样的教学设计方案所反映的思维过程完全体现了学生的主动性思维，自然而流畅，而且在思维过程中可以得到有用的重要方法，为后续学习提供基础.
四、在等比数列教学中的应用
在等差数列中有了这样的思维，在接下来的等比数列通项公式教学设计中就可以更自然地让学生主动性地思维.
等比数列通项公式（课本P50）仍然是用探究的方法让学生由前n项的个例归纳猜测的，也没要求给予推理证明.笔者的教学设计改进为：
教师设问：等差数列和等比数列的区别和联系是什么？如何用这种联系和等差数列的通项公式探究方法来得到等比数列的通项公式？
学生讨论后，基本上能明确“差”和“比”的关系，从而除了由个例归纳猜测外，还很自然地由等差数列的“累加法”得到了等比数列的“累乘法”.
由=q，=q，…，=8，各式相乘得到：=qn-1，an=a1qn-1.
趁着学生对两种数列关系的兴趣，教师可进一步让学生回忆等差数列前n项和中有一个什么重要性质，等比数列中相应的性质又是什么.
几乎所有的学生都能主动自觉地意识到“等比数列中与首末等距离的两项的积相等”.即a1an=a2an-1=…=atan-t+1.
然后给出相应的练习让学生体会其重要应用和巩固掌握.
从以上的一些教学设计可以认识到，教材的处理和课堂教学设计对学生主体的学习兴趣、主动性思维培养和知识的主动牢固的掌握运用是非常重要和有意义的.作为数学教师，在这些方面应予以更加重视和加强.只要我们在教学实践上有这样的意识，我们的教学主体――学生的数学思维就会更自觉、自然而有创新，学习数学就会更主动积极而有兴趣.
参考文献：
关键词：课堂效率；动手；动口；动脑
福建省厦门一中集美分校为城乡结合部的学校，学生的基础较差，缺乏自主学习习惯，在课堂上，经常会出现老师讲得头头是道，而学生听得头晕脑涨的现象。经过思考、培训学习，笔者体会到培养学生学习兴趣以及以学生为主体，使其主动参与进课堂的重要性，通过与学生的交流及课后反思，得出了以下一些结论。
一、教学现状
1.一味追求“快”
教师在备课时，根据教学目标以及教学任务，往往只重视教学设计的执行，却忽略了学生的差异，课堂上对教学时间把握不住，对知识点后的探究根本没有达到探究的目标；学生没有足够的时间思考，老师就将结论给出。这样快速的教学，虽然完成了教学任务，但学生并没有学到什么，而且对数学的学习也缺乏兴趣。
2.一味追求“灌”
“灌”即“灌输”。教师在课堂上，老是按照自己的思维模式将知识内容、思路方法都讲出来。对于提出的问题，学生一时答不出来，老师就直接告诉学生，整个教学过程学生并没有主动参与。所以学生只是被动接受，却不知道为什么要这样做，导致课后学生做作业时，知识点不会用，具体思路方向不明。
3.一味追求“全、难”
在备课过程中，教师往往按照教案，贪多求全，力求面面俱到。课堂上，其实不在于老师讲了多少，而在于学生领会了多少，学了多少。题目也不在于设计得有多难，而在于培养学生的思考和探索能力，使他们经过观察、实验、猜测、推理、交流、反思等训练，切实提高思维能力。在教学过程中实现“三放三收”。所谓“放”，就是把数学问题“放下去”，使每个学生可以进入解决问题的状态中来。所谓“收”，就是把学生解决问题的不同状态和相关信息收上来。一次“放”和“收”的过程组成一个完整的教学环节。
二、激发学生兴趣的措施
1.激励学生动口讲出来
在课堂上，如果学生理解准确或提出了不同的解题方法就应该激励其拿出来与大家一起分享，教师对这些学生也应及时给予充分肯定，以增强他们的学习能动性。如果有部分学生对知识点掌握不到位或解题中出现了错误，那更应该提出来，及时给予纠正，因为错误太多不及时纠正的话，会造成学生的两极分化，并打击学生的学习积极性。如果只有个别学生出现问题，老师可以利用下去巡视的时候单独指出，也可以课后指出。值得注意的是，错误之处不能积累，一定要及时给予纠正。
老师在课堂上要少讲多听，鼓励学生在课堂上尽可能畅所欲言，提出自己的想法与见解。老师要及时发现学生的优点和长处，循循善诱，让学生的长处得以充分发挥。这样的课堂是轻松、愉快的，更利于学生学习。
2.激励学生课堂中多动手
现在大家都在研究结构化教学，这其实也为了能让学生更好地参与到课堂。例如，等比数列与等差数列的学习，老师和学生通过实例共同探究导出等差数列的概念及本质，从具体的等差数列中归纳、总结出一般等差数列的特征，引导学生逐步体会得到等差数列的通项公式的叠加法，通过训练，探索并发现等差数列的一些性质，探索并掌握等差数列的前n项和公式。等比数列与等差数列之间有很多类似的地方，这部分内容有利于培养学生的类比推理能力及动手能力。这两类数列的结构类似，所以对等比数列的教学完全可以由学生小组合作完成，通过学生自己从定义、通项公式等角度类比两类数列的有关知识。学生自己动手整理推导之后，对等差数列、等比数列的本质就更加明确了。
3.激励学生遇到问题多动脑
解题时学生经常会盲目地做，却不懂得分析，没有解题目标。因此，教师要让学生做解题前的分析，构建逻辑连贯、语言表达规范的解题过程，并且解题后进行总结和反思，判断解题过程正确与否。著名数学教育家G.波利亚说过：“数学问题的解决仅仅是一半，更重要的是解题之后的回顾。”所以，在学生动脑思考并在他们思维导图构建的过程中，可以允许他们考虑不全，也允许他们犯错。这样，他们才能不断发现问题，从而解决问题，以此来完善对知识的认识。
4.激励小组之间的合作与交流
在小组合作学习中，教师是组织者和掌控者，是组内研讨的参与者，是小组研讨的引导者。小组合作的特点有正向的相互依赖；个人表现与责任；人际沟通技能；面对面的互动；总结提高。例如，在学习函数时，教师针对函数的定义，提出了两个问题：①y=1是函数吗？②y=x与 是同一个函数吗？引导学生谈论问题，小组成员互帮互学，得出小结，并由小组成员代表回答。利用初中学过的函数的定义，讨论回答的答案，并提出疑问，问题的设计引发认知冲突，激起学生的好奇心及小组成员之间的分歧，由此进一步研究函数概念，加深学生对函数本质的认识。
一、欣赏名师风采
欣赏张老师的课时，我很激动，直到现在仍然心潮澎湃！张老师是一个大方得体、气质高雅的美丽女人，让人看一眼就能感受到她那种追求完美、追求卓越的独特魅力。她的这节课较好地诠释了“数学是思维的体操”“教学的出发点和归宿就是促进学生思维的发展及学力的提高”“数学不仅要教知识，更重要的要教数学的思想与方法”这些数学教学的理念。这节课也很好地将知识点与实际生活联系起来了，真正地体现了数学源于生活，让学生轻轻松松地学到了知识。整节课，学生都是绝对主角，都在积极发现问题、积极验证自己的发现、积极总结归纳……张老师的教学较好体现了数学课的本色――真实、朴实、扎实，同时还鲜明地体现了促进学生思维发展的特色。
二、收获教学真谛
看完课回来，我不停地问自己：为什么张老师的课能触动我的心弦？细细想来，这与她身上那种独特的魅力，丰厚的文化底蕴，扎实的基本功，高超精湛的教学技巧，灵活先进的教学手段是分不开的。她身上丰厚的文化底蕴从哪儿来？从书中来。现在，我们处在知识爆炸时代，信息发展的时代，不及时充电，不及时更新知识，我们就不能胜任教书育人这个神圣的工作。作为数学教师，我们应克服惰性，深入研究数学的思想与方法来提升自己的专业素养，扎实自己的业务功底；多向名师、名家学习，不断更新自己的教育理念；多一些反思，多一些实践，多一些总结，多一些积累，在三尺讲台上，尽情发挥光和热。
张老师的课在不知不觉中让学生掌握了一定的能力和方法，使人明显地感觉到张老师课堂教学的层次性，每一道例题的要求都随着对内容的理解不断加深，每一道习题都有针对性的联系。由基础训练――能力训练――提高训练――最后的高考零距离，完全符合学生的思维和认知特点。在这样“溪水汇长江”的方法中，学生的学习自然水到渠成。
我在脑海中一遍遍地回放那节课的教学片断，一次次揣摩张老师的教学实录，从中感受到她完全把学生放到了主体地位，教学气氛和谐，学生积极主动，教师挥洒自如，既活泼生动，又扎实丰富，一切从学生的实际出发。尤其是在讲课过程中她注重巧设悬念，激发学生学习的欲望。例如，在讲“数列的求和公式”时，她先对学生说： “同学们，我愿意在一个月（按 30 天算）内每天给你们 1000 元，但在这个月内，你们必须：第一天给我1分钱，第二天给我2分钱，第三天给我4分钱……即后一天给我的钱数是前一天的 2 倍，你们愿不愿意？此问题一出，立即引起学生极大的兴趣。这么诱人的条件到底有没有陷阱？只有算出收支对比，才能回答愿与不愿意。此时，她问学生：“你们想不想知道计算具体钱数的秘法？”学生异口同声地说“想”。这时张老师说：“这就是一个等比数列的前n项和的问题，如何求出这个等比数列的前n项和呢？这就需要我们探索出等比数列的求和方法及求和公式了。” 于是，学生非常有兴趣地上完了这节课。
在整节课过程中，张老师的课没有把教案进行到底的痕迹，而是学生提出疑问，解决疑问，自读自悟的过程。在张老师的引导下，学生智慧的火花被点燃，情感的闸门被开启。学生忘记了课堂，师生在这里共同学习，共同交流，用心灵去编织课堂，用心灵与实际对话，用心灵去感悟现实，用心灵去超越课堂，思维在对话中碰撞，智慧在对话中生成，心儿在对话中放飞……
三、教学思考
我不只一次地想过：为什么同样的教材、同样的学生、同样的45分钟，由于不同教师的执教，学生的学习情感、态度及效果就迥然不同呢？在我的课堂教学中，对学生评价语的匮乏一直是我的一个遗憾，也一直是我努力改进的地方，但效果一直都不是很明显。我认为在课堂上，只要体现了学生的主体作用，什么问题都让学生自己去发现、领悟就是尊重了学生，体现了新课程的精神。其实这种想法存在着错误，对学生来说，他本身就处于一种学习的阶段，是以向老师学习为主的。老师既要注重培养学生的自学能力，又要注意一定的教学方法。
作为五年制学前教育专业数学教学中的一项重要方法，一体化教学模式的应用极为关键。该项课题的研究，将会更好地提升对一体化教学模式的分析与掌控力度，从而通过合理化的措施与途径，进一步优化五年制学前教育专业数学教学工作的最终整体效果。
2 一体化教学概述
所谓一体化教学就是为了完善学生的实践能力，保持学校的理论课能与实践相结合，不仅在学校能提升学生的学习兴趣，还能在以后的就业中，更好的进入自己的社会角色。适应社会的需求。然而在现今的教学中，大多采用的是专业性的教学，只是一味的理论陈述，而且教材大多更新缓慢，不能适应社会的发展。只是重视知识的传授，没有相应的实践部分，导致进入社会不能很快的将知识转换为生产力。所以我们需要将一体化教学应用到学前教育专业中来。一体化教学的特点就是理论和实践的结合，所谓的课堂不仅仅是一个知识传授的中心，还是我们实践练习的产所，通过教师的讲解，充分发挥学生的主体性，不仅能对知识加以牢记，还能很好的将知识转化为劳动技能。一体化教学在多种教学方法的配合下更有利于知识教学的展开。有利于培养学生实际操作能力。
3 五年制学前教育专业数学教学存在的问题
3.1学生的积极性不高
教学做一体化教学过程中的一个关键角色就是学生，学生必须要保持积极学习的热情和态度，才能对学习过程中的各种问题进行有效解决，在学前教育专业数学教育过程中，虽然学生对学习有兴趣，但由于学生的基础比较薄弱，对很多知识的理解和掌握能力不够，比如一些公式原理、数学规则等，有的学生理解能力相对较差，因此可能会导致学生在学习过程中受到挫折，严重时还可能会对学习失去兴趣。
3.2教学模式比较单一
教师是学校教育过程中的主要引导者，学生的认知能力有限，必须要依靠教师的引导教育，才能加深对各种知识的学习。由于受到传统教育理念的影响，当前很多数学教师在教学过程中依旧表现出教学理念落后，教学方式陈旧等方式，在教学过程中也依旧按照传统的方式方法进行教育，对大纲教材进行讲解，忽视了学生的接受能力，在课堂上没有积极营造良好的学习氛围，因此导致学生感觉到数学课程的枯燥乏味。
3.3实践教育不足
学前教育专业数学教学注重实践教育，在一体化教学模式中一个关键环节就是实践教育，要将理论知识与生活、实践过程结合起来，才能提高学生对各种知识的理解能力。多媒体技术和多媒体设备可以为实践教育提供重要的支持，当前教育过程中教师对这些新媒体的应用较少，因此导致学生数学学习兴趣不高。
4 一体化教学在五年制学前教育专业数学教学中的应用探讨
4.1充分的课前准备
课前的准备工作分为教师的课前准备和学生的课前准备。首先，教师在课前准备工作中要根据教学的内容和教学目标合理地设计教学的程序和各个细节，在教师的教学计划中不仅要有自己的教案，还要有学生的学案，使教学切实能够围绕学生展开，以学生为主体。同时，为了使教学活动更加形象化，有利于学生理解，教师还需要根据教学需要准备一些教具，并根据学生的水平和平时的表现，在课前设计好学习和讨论的分组情况，节省授课的分组时间。其次，学生的课前准备工作，学生的课前准备需要以教师布置的预习任务为基础，将需要了解的知识进行认真的预习，而且根据教师的要求准备好需要的学具、资料等，以便课堂中应用。
4.2教学中的情境创设要符合学生的生活
教师在教学中的情境创设必须要与学生的实际生活相关，这样才能激发学生的学习兴趣，拉近学生和数学的距离。比如，教师在为学生讲解关于“等比数列”的知识时，为了方便学生理解等比数列的含义，教师可以利用视频为学生播放面点师傅的拉面绝活，使学生看到拉面的制作过程本身就是一个等比数列生成的过程，这样能够使学生更形象地了解等比数列的意义，而且能够发现数学知识就在我们身边，所以，能够有效拉近学生和数学知识间的距离，消除学生对数学知识的畏惧感。同时，教师还可以在教学中引用科学家的故事、数控加工中的坐标变换等方面的知识，来激发学生的学习兴趣。
4.3抓住学生自主探究的关键环节，提高教学效率
学生的自主探究是一体化教学中的关键环节，在这个环节中主要是引导学生对数学问题进行解决，这个环节中可以采用小组合作、学生自主、师生共同参与等多种方式来完成。教师根据教学内容的特点，为学生提供查阅、观察、实验以及联想等机会，使学生获得数学体验，学生通过对从多重渠道获得信息的类比、分析以及归纳等来完成对知识的学习和掌握。这种由学生全程参与，并亲自动手获取知识的方式要比传统教学中学生被动地接受知识更加生动、印象深刻。而且在以任务的方式完成教学活动后，学生会获得极大的满足感，进而激发学生的学习兴趣和探索兴趣，帮助学生树立自信，使学生相信，通过自己的努力一定能够攻克数学难题。
4.4学生的成果展示和探讨
数学课一般都是采用大课的形式进行的，所以难以做到每个学生的成果都能得到展示，教师要挑选比较具有代表性的成果进行展示，教师通过对这些代表性成果的分析和讨论，来对学生进行有针对性的引导，借助师生、生生间的互动对典型的和普遍的问题进行进一步探讨，从而使教学更加高效化。
关键词：高中数学 一堂好课 善于思考 勇于创新
在新课程课堂教学改革的背景下，汇丰中学的教研活动开展得有声有色。其中有一项办得非常好，就是教研教案、随堂听课、继而评课三位一体稳扎稳打。但是一个学年以来，有一个问题越来越清晰：究竟什么样的课才是好课呢？
好课，有标准，但一定没有唯一的、确定的标准，它因人而异、因时而异，每一位教师评价好课的标准代表着这一位教师的价值取向、学科素养。以下是我的一些浅显见解：
一、一堂好课一定是一堂活力课，整节课一定是动态的、高效的、愉悦的、充满活力的。
学生在教师引导下共同思考、探索，整个课堂积极主动、兴趣盎然、乐在其中。记得上“等比数列的求和公式”那节课时，我用的是一种全新的思维――“乘公比错位相减”。面对问题sn=a1+a2+…+an时学生一脸茫然，不知所措，经过师生共同探讨，达成一致意见：关于等比数列，我们只学过概念、通项公式，所以我们只能从此入手。概念为an=an-1q，突然有人提议乘以q，得qsn=a1q+a2q+…+anq=a2+…+an+an+1。接下来，好多学生茅塞顿开，发出“嘘”的声音，露出灿烂的笑容，知道两式相减便得到了结果。此时，师生都是愉悦的，心智是得到发展的。
二、一堂好课一定是一堂引导学生思考、激发学生思维、以学生为主体的课。
作为教师，教书育人是为了学生的发展，教学生读书的目的是使学生会读书、爱读书，教学生思考的目的是使学生会思考、善思考，教学生应用的目的是使学生会应用、善应用，教学生创新的目的是使学生会创新、善创新、具有高智慧。这学期听了几节语速快、性子急的老师讲课。一节课，由于性子急，等不得学生慢慢思考，甚至于学生还来不及思考，他们就连珠炮似地讲完了，学生学习的参与度不够，更谈不上效度了。我想这种课无论是学案还是教案，学生都是来不及思考的，算不上一节好课。
三、上一堂好课一定像登一次山。
首先一节课的目标就是选择的一座山，师生需共同攀登。其次，学习的路径就像爬山的路径，有时需导游引导，有时需放手自由攀登。也许是否能爬到山顶是其次，从山脚逐步攀登的过程才更重要。时而“山重水复”，时而“柳暗花明”，时而“豁然开朗”，时而“一览众山小”，虽然艰辛，但乐在其中。
四、上好一堂好课，要创设趣味性的情境，促进创新行为。
案例：实际问题。
在讲解平均数概念时，有如下一个“问题情境”：
同学们都知道，在一次考试后，如果按顺序去掉一些高分，那么班级的平均分将降低；反之，如果按顺序去掉一些低分，那么班级的平均分将提高。这两个事实可以用数学语言描述为：若有限数列a1、a2、…、an满足a1≤a2≤…≤an，则满足什么数学表达式？
评析：这是一个发生在学生身边非常熟悉的事情，对此他们非常感兴趣，激发了学生的求知欲，从而使学生主动愉快地投入到了学习活动中。
五、上好一堂好课，要创设阶梯式的教学，促进循序渐进。
案例：变式题组。
在讲解二次方程的实根分布时，有如下一个“问题情境”：
已知二次方程ax2+bx+c=0（a>0），求在实数集上有实根的充要条件。
这是初中就已掌握的知识，学生积极回答此问题。在学生思维活跃时，围绕中心，改变题目条件，创设变式“问题情境”：
变式1：求在正实数集上有两个实根的充要条件。
变式2：求在正实数集上有一个实根的充要条件。
变式3：求在开区间（m，n）上有一个实根的充要条件。
变式4：求在闭区间[m，n]上有一个实根的充要条件。
评析：
这样在学生原来认知的知识基础上构建阶梯性“问题情境”，学生不会觉得有认知冲突，便于接受，并且可以培养他们的创新能力。
教学有法，但教无定法，究竟什么样的课才是好课，远不止我的这些浅显体会，多少年来一直被众多的教育同行作为课题苦苦探索、孜孜寻求。也许不应该由教师来评说，而应该由学生来评说，毕竟他们才是课堂的真正主人。著名的教育学家夸美纽斯说：“（要）找出一种教育方法，使教师因此少教，但学生因此可以多学，使学校因此可以少些喧嚣、厌恶和无益的劳苦，独具闲暇、快乐和坚实的进步。”
参考文献
关键字： 新课程 高中数学教学 深度 广度 难度
教学过程中“三度”是指教学内容的“深度”、“广度”和例题习题的“难度”；教学过程的“三度”把握的总体原则：整体性原则、阶段性原则、相对性原则；把握的要领在于恰当.
1.“深度”的把握
教学内容应有恰当的深难度，深度把握的基本原则――可适当延伸，让学生了解知识发生的过程，了解问题解决的过程，从强调学习结果转向注重学习过程和结果并重.
（1）在教学过程中，要认真钻研课标，在对教材深度的理解上下工夫，加强对教材设计及处理等方面深层次研究，充分利用教材，开发教材；在全面熟悉学生，激发他们内在的学习动力，正确掌握有效的学习方法、思维方式，挖掘学习潜能，开发智力，培养解决实际问题的能力和创新能力等方面下工夫.对教材深度的处理不但要得体、可行和富有成效，而且要使所确定知识点达到应有的水平，才能使学生较熟练地掌握基本知识、基本技能、基本方法，发展智力.
（2）教学方法的选择、教案的设计、课堂教学的各个环节、步骤、手段、途径及效果等方面的实施，都充分体现对教材内容深层次的把握及其内涵的延伸.注重知识的连续性、完整性和发展性.培养学生掌握重点，解决难点的能力，从而调动学生学习的积极性、求知欲、参与性，树立自信心，增强探索意识，培养他们克服困难的意识，知难而进.鼓励学生多思索问题、分析问题，提高他们观察、注意、记忆、思维和想象能力，发展他们的创造性思维和创造能力，养成良好的创新思维品质.
教学深度决定的本质来自两个方面：一是课程教学目标，二是高考要求.另外，每个时段的教学深度也与教学总体计划相联系.
如必修1中的函数，对函数的表示方法和指数对数函数，要一步到位，但不能太难.而对函数的单调性以了解定义方法为主，待在学习选修时再用导数方法深入.对函数建模，以了解建模思想方法为主，通过以后的学习来逐步熟练和拓宽视野.对二次函数，因初中末深入学习，现应以基础为主不宜深入，但对用图像来得到简单一元二次方程、一元二次不等式的解，应进行直观求解，便于以后的学习和思维的发展.
2.“广度”的把握
“广度”的把握是要在抓住关键，强调通性通法的基础上，扩大知识面，增加信息量，开阔视野，积累厚度，丰富底蕴，熟悉和掌握更多的背景知识，提高文化素养，不断地认识和掌握知识的科学性、系统性、完整性和实践性.
广度把握的基本原则――可适当推广.如在推导等比数列的前n项求和公式时，我们一般是这样进行的.
设等比数列a，a，a，...，a，...它的前n项和是
S=a+a+a+...+a
由S=a+a+a+...+aa=aq
得S=a+aq+aq+…+aq+aqqS=aq+aq+aq+…+aq+aq
（1-q）S=a-aq
当q≠1时，S= ①或S= ②
当q=1时，S=na
显然在等式中两边同乘以公比，使其错位（同次项）相减是关键，而这种方法是处理有这样特征数列求和的一种通法.我们应该把它提炼出来，并推广到适应一个等差数（各项均不为零）与一个等比数列对应项相乘组成的数列求和，在教学中我们正是这样做的.
3.“难度”的把握
例题习题的难度的把握是要使做题的效率最大化.不同的阶段、不同层次的学生的例题习题要有相应的难度.
教师在教学中有目的、有计划地精心编制习题，可避免低水平的重复，使学生拓宽学习领域，也可使每个学生都在原有的基础上得到发展，让学生获得成功的体验，以及学好数学的信心，能收到良好的教学效果，从而提高课堂教学效率.其中，难度的控制至关重要.
难度把握的基本原则：遵循《课标》，同时注意层次性与选择性.
（1）遵循《课标》
在《课标》中对知识与技能有知道（了解、模仿）、理解（独立操作）、掌握（应用、迁移）三个层次，我们在教学中必须遵循课标要求来把握各知识点的难度.
比如对于反函数，《课标》中是这样描述的：知道指数函数y=a与对数函数y=logx互为反函数（a＞0，a≠1）.要求比原大纲降了很多，我们不必对其深挖洞，补充大纲的相关内容，只要让学生知道指数函数y=a与对数函数y=logx互为反函数就行了.高考也正是这样考的.如2009年广东理科卷第3题.
若函数y=f（x）是函数y=a（a＞0，且a≠1）的反函数，其图像经过点（，a），则f（x）=（ ）
A.logx B.logx C. D.x
（2）层次性与选择性
例题和训练题要按难度分层次设计，既要加强基础训练，又要逐级提升，注重能力形成.
在学习或巩固某个知识点或某种方法时用题组的方法来达到层次性与选择性.例如：
问题1：已知方程2x-（6m+1）x+3（3m-1）=0有实根，求实数m的取值范围.
问题2：已知方程2sinx-（6m+1）sinx+3（3m-1）=0有实根，求实数m的取值范围.
问题1给出后，基础差的学生也能将其轻松解决，因为由≥0极易求得m的取值范围，这给他们一种劳有所获的心理和精神上的奖赏.
问题2给出后，基础差的学生仍然由≥0求得m的取值范围，则错了.这是草率之举，但不能责怪他们，教师细心帮其分析错因：由于-1≤sinx≤1，因而≥0不能确保方程的解在区间［-1，1］内，即≥0只是方程有实根的必要非充分条件.
问题3：设x∈［0，π］，若方程cos2x+4asinx+a-2=0有两个不同的解，求实数a的取值范围.
问题3进一步限定了范围，加大了难度.
基础训练题是针对基础知识所设计的题目，要求系统、全面、针对性强，是形成能力的基础；在深化训练题是针对本节重点、难点，以及新旧知识的融会贯通所设计的题目.题目难度中等，是形成能力的必经阶梯；而与科技发展、生活实际相联系的信息题、材料题，或是学科内或学科间的综合题，题目难度较大，可以在课后作为思考题培养部分优秀生的高一层次能力；或是在高考总复习时再学习.
参考文献：
