时间：2022-03-28 00:38:44
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一、函数的概念函数是一组语句，这组语句可以完成一个独立的操作，这组语句有一个简短的名字，程序员可以仅仅利用这个名字完成某个操作。函数的使用，使复杂的程序变得简单化、条理化、清晰化。在C语言中函数分为两大类：库函数、用户自定义函数。
1、库函数在编写程序的过程中往往有一些操作需要频繁的使用，并且这些操作的代码实现又有一定的难度。比如数据的输入、输出。在C语言中是没有输入输出语句的，由于输入输出涉及到多计算机硬件的直接操作，对用户来说较困难。这些操作往往由编译系统的开发商提供给用户。它们都是以独立程序块的模式出现，并且存在于编译系统的某个文件中，这就是库函数。比如printf()，scanf()。它们是由编译程序根据一般用户的需要编制并提供给用户使用的一组程序代码。C语言的库函数极大地方便了用户，同时也补充了C语言本身的不足。事实上，在编写C语言程序时，应当尽可能多地使用库函数，这样既可以提高程序的运行效率，又可以提高编程的质量。
2、用户自定义函数用户自定义函数顾名思义就是用户自己定义的函数。程序的编写过程其实就是一个个函数的定义过程。很多情况下，C语言的编译系统提供给我们的函数并不能满足用户的要求，这就要求用户自己编写函数。函数是由一组语句组成，并给定一个名字。相应的函数的定义一般可分为两大部分：函数头部的定义、函数体的定义。形式如下：函数的类型函数名（函数的参数）{函数体；}上面大括号上边的一行成为函数的头部（首部），它给出了函数的表面信息：函数返回值的类型，函数的名字，函数要处理的数据；大括号内的语句描述了函数的内在构造，这组语句完成一个独立的操作，是对函数能够完成功能的具体描述。
3、函数的调用函数是由一组语句组成，并给定一个名字。执行与函数相关的一组语句的行为称为函数的调用。应该说函数定义好之后调用之前是没有什么意义的。函数就像某个具有特殊功能的机器工具。这些机器只有在开关打开之后才能发挥作用。在程序编写过程中，完成“开关机器”这个操作的就是函数调用。函数调用的一般形式：函数名（实际参数）；
二、函数的教学C语言函数的教学主要是学习自定义函数以及库函数的使用。
关键词 教学策略 指数函数 对数函数 CAI 分层次教学
中图分类号：G424 文献标识码：A
Talking about Mathematics Teaching Strategies from the Teaching of the Exponential Function and Logarithmic Function
Abstract Research on teaching strategies can improve teaching efficiency and realize the optimization of teaching. Mathematics teaching in many subject characteristics teaching strategies. In this paper， the exponential function logarithmic function of teaching， talking about mathematics teaching strategies.
Key words teaching strategy； exponential function； logarithmic function； CAI； hierarchical teaching
所谓教学策略即为达到预期目标打算如何进行教学，也就是选择要达到预期目标所需要的资源、程序和方法。众所周知，教学探索的研究内容包含三大方面。教什么？如何教？为什么这样教？教学策略应该属于第二个范畴。即如何教？但如何教的背后必须有为什么这么教的系列教学理论作为其支撑。也就是要建立在教学原则的基础上，以教学原则为指导的具体的活动措施。这样设计的教学策略才是科学的。数学教学策略从数学角度去划分大概可以分成这么几方面，设置数学学习情景的策略，呈现数学教学内容的策略，选择数学教学方法与教学辅助手段的策略，教学效果的检查和评价的策略等。它是教学设计的重要内容。数学知识本身有两种，一种是陈述性的知识，一种思想性的知识。这二者都需要用策略来解构。策略是知识本体和教学对象之间的一座桥梁，通过它可使知识完整清晰地呈现给学习者，使抽象的知识变具体，深奥的定理变浅显，因此对于教学者和学习者都具有重要的意义。教师需要对教学模式、教学策略等进行系统的研究，以指导其教学实践，教师只有知道如何运用得当的方式有效地促进学生学习，开发学生的潜能，师生间的知识沟通才会变得顺畅起来。
教学策略作为策略性的知识在教学实践中通过教师不断地累积经验，形成案例，再通过教学反思逐步形成。教师在使用教学策略前要先钻研教学大纲、熟悉教材内容、体系结构、目的要求、重难点等，然后以此为出发点进行教学策略设计。设计出的策略要符合学生实际，其中既包括传统的教学方法，也包含针对不同教学内容的特点所进行的特定设计，这样教学策略才能发挥它的功效，作为教学手段才能达到它的教学目的。指数函数和对数函数作为初等函数的重要组成部分，它的教学本身亦可窥见数学教学中的一些常用的教学策略，下面就该部分内容教学环节中所涉的一些教学策略进行探讨。
1 应用比较策略加深概念理解
指数函数和幂函数都具有指数幂的外形，因此在指数函数的教学中学生很易混淆，教师在讲解指数函数概念时应把它和幂函数放在一起进行比较，指出它们形式上的区别，让学生认清幂函数特征是底数是自变量，指数是常数，指数函数特征是底数是常数，指数是自变量。
这种教学策略便是比较教学策略，不仅在数学课堂上经常被应用，在其他学科教学中也经常被使用。通过比较教学策略可以揭示事物的某些共性，还可以揭示事物的某些不同点以及揭示事物之间的联系，防止知识间的割裂与混淆。有意识地应用这一策略可以加深学生对概念的理解、公式的记忆。如讲函数的奇偶性时，可将奇函数偶函数进行比较。归纳函数性质时可将不同底的图像进行比较。同时数学的许多知识块之间也可以进行比较，比如学过平面解析几何后可与空间解析几何进行比较，学过一元微分后可与多元微分进行比较等等。
2 应用CAI教学策略对指数函数与对数函数导入部分进行情景创设
随着多媒体进入课堂，教师要充分利用计算机辅助工具进行情景教学。好的生动的情景创设可以起到事半功倍的效果，而且能最大限度地调动学生的兴趣，学生一旦有了兴趣之后，大脑就会形成优势兴奋中心，引起学习的高度注意，为参与学习提供最佳的心理准备。
讲指数函数概念时可通过两个实例导入，一个是细胞分裂。一个是《庄子·天下篇》讲到的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。上述实例教师均可借助flash或3D等软件工具将细胞分裂及截取木棍做成动画，在多媒体上进行展示，使教学更具直观性和生动性。学生也很容易得出细胞的分裂次数X与细胞个数Y的函数关系，截取木棍次数X与木棍长度Y的函数关系。当学生推导出这两个有代表性函数后就为后面的画图观察抽象函数性质埋下伏笔。
这一系列的课堂活动符合学生从特殊到一般从具体到抽象的认知特点。实际上教师在数学教学上的一项重要工作是把抽象的数学符号和形象的图形进行互译，而计算机多媒体的介入又使这种互译更上一个层次。
3 营造课堂活动归纳函数性质
函数的性质是函数教学中的重点，这方面的教学应该在一系列的课堂活动中完成。首先要建立在学生观察图像的基础之上，观察前教师要先让学生动手画出有代表性的指数函数和对数函数图像，如以2为底和以1/2为底。可先要求学生按初中的作图顺序取值列表描点连线。后面熟悉函数的性质后逐步过渡到只画草图，让所画的草图准确体现指数函数和对数函数的性质即可。当学生画完后教师用几何画板等工具软件向学生展示更多的不同底的函数图像，让他们进行比较，比较图像的共同点和不同点，让学生分组进行讨论。最后教师和学生一起从图像抽象归纳出函数性质。这种探索交流形式的课堂活动恰恰体现了教学中以学生为主体，教师为主导的教学原则。把教学变成了学生自主活动、合作活动、探究活动，教师启发、点拨为基础动态的、互补的教学过程。这种过程也是学生自我建构的过程。所谓自我建构的学习不是学生被动地接受教师授予的知识，而是学习者以自身所有的知识经验的主动建构活动，让学生把新的学习内容纳入已有的认知框架。显而易见这种建构能充分调动学生积极性、主动性、创造性使学生最大限度参与教学中来，比起教师单纯的讲解效果要好得多。而且不仅问题得到完整的解决，还使学生从中体验成功和协作的乐趣。
以上探索活动还可推广到其他形式。比如让学生自我设计问题、提出问题、类比猜想、试误实验、调查设计等都属于以学生为中心的教学活动。
4 应用分层次策略破解底的规定
对于指数函数，为什么底数要规定＞0且不等于1呢？这是一个教学难点。这个知识点教材未加以说明。教师可通过举例说明来向学生解释，如当＜0时，可取值 = -2， = ， = （-2） = 显然是没有意义的。也即当自变量取某些分母为偶数的分数时无对应的函数值，这时候画出的图形就不连续，由于我们研究的初等函数都是连续的函数，所以我们排除研究这种情况。
同样对于对数函数，教师在建立对数的概念时，应让学生明确对数式是由指数式转换而来的，由于＜0时有些幂运算是无意义的，所以规定只有底数＞0且不等于1的指数式才能写成对数式。经指数式转换而来的对数式当然底也同样要满足这个规定。这样环环相扣，层层铺垫，学生易于理解。当然以上数学材料的理解绝不是直线型的而是需要多次返回，只有多次重新返回内侧水平，才能扩充和加深外侧水平。前述例子当学生掌握了反函数知识之后也可从反函数角度来加以分析。
由于学生认知的差异，对于这个难点的处理上教师可采用先破或后破两种方式，先破即一开始就向学生加以详细的解释说明，它适合程度好的班级和学生。后破即点出来不解释，把它作为一个识记内容，待后面时机成熟，学生对教材内容熟悉后再加以讲解。这种策略可看作是一种分层次教学是符合因材施教的原则的。教学中教师根据自己的领悟、经验和技巧对教学内容进行适当剪裁取舍，给予不同认知水平学生螺旋式帮助，不急于把所有的问题讲得清清楚楚明明白白，以一种水到渠成的方式使不同层次的学生都能得到发展。
5 应用数学实验和数学建模达到课外拓展
随着计算机的普及，数学向各学科的迅速渗透，作为一名教师不能仅满足培养学生逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力等，还要及时地让这些能力向实践能力和创新能力转化，也就是学以致用。数学实验和数学建模是很好的能力转化渠道。通过这两种方式使数学的思想、方法、技能、技巧（特别是计算机技术）得到淋漓尽致的发挥。如本节课可让学生用指数函数和对数函数的知识去刻画具体问题，如折旧问题、碳14的衰减问题等。也可通过给人口增长、考古真假画鉴定等问题建模实现学生对该部分知识的课外延拓。这些均可促进学生在学习和实践中形成和发展数学应用能力，使知识得到进一步的升华。
6 将数学思想、数学方法渗透入教学
数学思想方法是数学知识转化为数学能力的重要方式。而且数学思想是数学的灵魂。学习数学的重要目的是把握数学思想，把数学思想方法迁移到其他领域。
日本数学家和数学教育家米山国藏曾说过：学生在初中和高中所学过的数学知识在进入社会后几乎没有什么机会应用，因而这种作为知识的数学通常在出校门不到一两年就忘掉了，然而不管他们从事什么业务工作，那种铭刻于头脑中的数学精神和数学思想方法却长期地在他们的生活和工作中发挥着重要作用。所以衡量学生学会了没有时不该只看学生会不会做题，还应在教学中引导学生去领悟数学思想、数学方法。要把数学思想和数学方法贯穿在整个教学中。但是数学思想方法的教学相对数学知识言缺乏系统性、明显性只能渗透其间。所以关键让学生利用数学思想、方法去探索问题、解决问题。如在指数函数和对数函数的学习中涉击到的许多数学思想，比如数形结合、分类讨论、函数模型、数学符号化和变元、归纳法等。教师要让学生围绕着数学素材展开持续观察、比较、分析、判断，大胆尝试、联想、想象和猜想，从而领悟并逐渐学会用数学思想方法去解决问题形成较强的数学能力。
从以上可看出在教学中数学的教学策略是多元化的。教师在教学中不能按部就班而要灵活应用各种策略来优化学习过程和教学过程。没有单一的策略能够涵盖各种情况，有效的教学必须有可供选择的各种策略来达到不同的教学目的。教师在教学中还要善于总结新的策略。当然不管什么样的教学策略皆应以素质教育理论为指导，依据课程标准，同时重点关注如何发挥学生的主动性、积极性和创造性，变被动学习为主动学习。使教师由知识的传授者转变为学生主动学习的组织者、指导者和促进者，实现教学中知行统一和谐发展。
参考文献
(一)教学知识点：1.对数函数的概念；2.对数函数的图象和性质.
(二)能力训练要求：1.理解对数函数的概念；2.掌握对数函数的图象和性质.
(三)德育渗透目标：1.用联系的观点分析问题；2.认识事物之间的互相转化.
教学重点：
对数函数的图象和性质
教学难点：
对数函数与指数函数的关系
教学方法：
联想、类比、发现、探索
教学辅助：
多媒体
教学过程：
一、引入对数函数的概念
由学生的预习，可以直接回答“对数函数的概念”
由指数、对数的定义及指数函数的概念，我们进行类比，可否猜想有：
问题：1.指数函数是否存在反函数？
2.求指数函数的反函数．
①；
②；
③指出反函数的定义域．
3.结论
所以函数与指数函数互为反函数．
这节课我们所要研究的便是指数函数的反函数——对数函数．
二、讲授新课
1.对数函数的定义：
定义域：(0,+∞);值域:(-∞,+∞)
2.对数函数的图象和性质：
因为对数函数与指数函数互为反函数．所以与图象关于直线对称．
因此，我们只要画出和图象关于直线对称的曲线，就可以得到的图象．
研究指数函数时，我们分别研究了底数和两种情形．
那么我们可以画出与图象关于直线对称的曲线得到的图象．
还可以画出与图象关于直线对称的曲线得到的图象．
请同学们作出与的草图，并观察它们具有一些什么特征？
对数函数的图象与性质：
图象
性质（1）定义域：
（2）值域：
（3）过定点，即当时，
（4）上的增函数
（4）上的减函数
3.图象的加深理解：
下面我们来研究这样几个函数：，，，．
我们发现：
与图象关于X轴对称；与图象关于X轴对称．
一般地，与图象关于X轴对称．
再通过图象的变化（变化的值），我们发现：
（1）时，函数为增函数，
（2）时，函数为减函数，
4.练习：
(1)如图：曲线分别为函数，，，，的图像，试问的大小关系如何？
(2)比较下列各组数中两个值的大小：
(3)解关于x的不等式：
思考：(1)比较大小：
(2)解关于x的不等式：
三、小结
这节课我们主要介绍了指数函数的反函数——对数函数．并且研究了对数函数的图象和性质．
1.1.理解二次函数的意义；会用描点法画出函数y=ax2的图象，知道抛物线的有关概念；
2.2.通过变式教学，培养学生思维的敏捷性、广阔性、深刻性；
3.3.通过二次函数的教学让学生进一步体会研究函数的一般方法；加深对于数形结合思想认识。
教学重点：二次函数的意义；会画二次函数图象。
教学难点：描点法画二次函数y=ax2的图象，数与形相互联系。
教学过程设计：
一.一.创设情景、建模引入
我们已学习了正比例函数及一次函数，现在来看看下面几个例子：
1.写出圆的半径是R（CM），它的面积S（CM2）与R的关系式
答：S=πR2.①
2.写出用总长为60M的篱笆围成矩形场地，矩形面积S（M2）与矩形一边长L（M）之间的关系
答：S=L（30-L）=30L-L2②
分析：①②两个关系式中S与R、L之间是否存在函数关系？
S是否是R、L的一次函数？
由于①②两个关系式中S不是R、L的一次函数，那么S是R、L的什么函数呢？这样的函数大家能不能猜想一下它叫什么函数呢？
答：二次函数。
这一节课我们将研究二次函数的有关知识。（板书课题）
二.二.归纳抽象、形成概念
一般地，如果y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)，
那么，y叫做x的二次函数.
注意：(1)必须a≠0,否则就不是二次函数了.而b,c两数可以是零.(2)由于二次函数的解析式是整式的形式，所以x的取值范围是任意实数.
练习：1.举例子：请同学举一些二次函数的例子，全班同学判断是否正确。
2.出难题：请同学给大家出示一个函数，请同学判断是否是二次函数。
（若学生考虑不全，教师给予补充。如：；；；的形式。）
（通过学生观察、归纳定义加深对概念的理解，既培养了学生的实践能力，有培养了学生的探究精神。并通过开放性的练习培养学生思维的发散性、开放性。题目用了一些人性化的词语，也增添了课堂的趣味性。）
由前面一次函数的学习，我们已经知道研究函数一般应按照定义、图象、性质、求解析式几个方面进行研究。二次函数我们也会按照定义、图象、性质、求解析式几个方面进行研究。
（在这里指出学习函数的一般方法，旨在及时进行学法指导；并将此方法形成技能，以指导今后的学习；进一步培养终身学习的能力。）
三.三.尝试模仿、巩固提高
让我们先从最简单的二次函数y=ax2入手展开研究
1.1.尝试：大家知道一次函数的图象是一条直线，那么二次函数的图象是什么呢？
请同学们画出函数y=x2的图象。
（学生分别画图，教师巡视了解情况。）
2.2.模仿巩固：教师将了解到的各种不同图象用实物投影向大家展示，到底哪一个对呢？下面师生共同画出函数y=x2的图象。
解：一、列表：
x
-3
-2
-1
1
2
3
Y=x2
9
4
1
1
4
9
二、描点、连线：按照表格，描出各点.然后用光滑的曲线，按照x(点的横坐标)由小到大的顺序把各点连结起来.
对照教师画的图象一一分析学生所画图象的正误及原因，从而得到画二次函数图象的几点注意。
练习：画出函数;的图象（请两个同学板演）
X
-3
-2
-1
1
2
3
Y=0.5X2
4.5
2
0.5
0.5
02
4.5
Y=-X2
-9
-4
-1
-1
-4
-9
画好之后教师根据情况讲评，并引导学生观察图象形状得出：二次函数y=ax2的图象是一条抛物线。
（这里，教师在学生自己探索尝试的基础上，示范画图象的方法和过程，希望学生学会画图象的方法；并及时安排练习巩固刚刚学到的新知识，通过观察，感悟抛物线名称的由来。）
三.三.运用新知、变式探究
画出函数y=5x2图象
学生在画图象的过程中遇到函数值较大的困难，不知如何是好。
x
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Y=5x2
1.25
0.8
0.45
0.2
0.05
0.05
0.2
0.45
0.8
1.25
教师出示已画好的图象让学生观察
注意：1.画图象应描7个左右的点，描的点越多图象越准确。
2.自变量X的取值应注意关于Y轴对称。
3.对于不同的二次函数自变量X的取值应更加灵活，例如可以取分数。
四.四.归纳小结、延续探究
教师引导学生观察表格及图象，归纳y=ax2的性质，学生们畅所欲言，各抒己见；互相改进，互相完善。最终得到如下性质：
一般的，二次函数y=ax2的图象是一条抛物线，对称轴是Y轴，顶点是坐标原点；当a＞0时，图象的开口向上，最低点为(0，0)；当a＜0时，图象的开口向下，最高点为(0，0)。
五.五.回顾反思、总结收获
在这一环节中，教师请同学们回顾一节课的学习畅谈自己的收获或多、或少、或几点、或全面，总之是人人有所得，个个有提高。这也正是新课标中所倡导的新的理念——不同的人在数学上得到不同的发展。
（在整个一节课上，基本上是学生讲为主，教师讲为辅。一些较为困难的问题，我也鼓励学生大胆思考，积极尝试，不怕困难，一个人完不成，讲不透，第二个人、第三个人补充，直到完成整个例题。这样上课气氛非常活跃，学生之间常会因为某个观点的不同而争论，这就给教师提出了更高的要求，一方面要控制好整节课的节奏，另一方面又要察言观色，适时地对某些观点作出判断，或与学生一同讨论。）
二次函数的教学设计
马玉宝
教学内容：人教版九年义务教育初中第三册第108页
教学目标：
1.1.理解二次函数的意义；会用描点法画出函数y=ax2的图象，知道抛物线的有关概念；
2.2.通过变式教学，培养学生思维的敏捷性、广阔性、深刻性；
3.3.通过二次函数的教学让学生进一步体会研究函数的一般方法；加深对于数形结合思想认识。
教学重点：二次函数的意义；会画二次函数图象。
教学难点：描点法画二次函数y=ax2的图象，数与形相互联系。
教学过程设计：
一.一.创设情景、建模引入
我们已学习了正比例函数及一次函数，现在来看看下面几个例子：
1.写出圆的半径是R（CM），它的面积S（CM2）与R的关系式
答：S=πR2.①
2.写出用总长为60M的篱笆围成矩形场地，矩形面积S（M2）与矩形一边长L（M）之间的关系
答：S=L（30-L）=30L-L2②
分析：①②两个关系式中S与R、L之间是否存在函数关系？
S是否是R、L的一次函数？
由于①②两个关系式中S不是R、L的一次函数，那么S是R、L的什么函数呢？这样的函数大家能不能猜想一下它叫什么函数呢？
答：二次函数。
这一节课我们将研究二次函数的有关知识。（板书课题）
二.二.归纳抽象、形成概念
一般地，如果y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)，
那么，y叫做x的二次函数.
注意：(1)必须a≠0,否则就不是二次函数了.而b,c两数可以是零.(2)由于二次函数的解析式是整式的形式，所以x的取值范围是任意实数.
练习：1.举例子：请同学举一些二次函数的例子，全班同学判断是否正确。
2.出难题：请同学给大家出示一个函数，请同学判断是否是二次函数。
（若学生考虑不全，教师给予补充。如：；；；的形式。）
（通过学生观察、归纳定义加深对概念的理解，既培养了学生的实践能力，有培养了学生的探究精神。并通过开放性的练习培养学生思维的发散性、开放性。题目用了一些人性化的词语，也增添了课堂的趣味性。）
由前面一次函数的学习，我们已经知道研究函数一般应按照定义、图象、性质、求解析式几个方面进行研究。二次函数我们也会按照定义、图象、性质、求解析式几个方面进行研究。
（在这里指出学习函数的一般方法，旨在及时进行学法指导；并将此方法形成技能，以指导今后的学习；进一步培养终身学习的能力。）
三.三.尝试模仿、巩固提高
让我们先从最简单的二次函数y=ax2入手展开研究
1.1.尝试：大家知道一次函数的图象是一条直线，那么二次函数的图象是什么呢？
请同学们画出函数y=x2的图象。
（学生分别画图，教师巡视了解情况。）
2.2.模仿巩固：教师将了解到的各种不同图象用实物投影向大家展示，到底哪一个对呢？下面师生共同画出函数y=x2的图象。
解：一、列表：
x
-3
-2
-1
1
2
3
Y=x2
9
4
1
1
4
9
二、描点、连线：按照表格，描出各点.然后用光滑的曲线，按照x(点的横坐标)由小到大的顺序把各点连结起来.
对照教师画的图象一一分析学生所画图象的正误及原因，从而得到画二次函数图象的几点注意。
练习：画出函数;的图象（请两个同学板演）
X
-3
-2
-1
1
2
3
Y=0.5X2
4.5
2
0.5
0.5
02
4.5
Y=-X2
-9
-4
-1
-1
-4
-9
画好之后教师根据情况讲评，并引导学生观察图象形状得出：二次函数y=ax2的图象是一条抛物线。
（这里，教师在学生自己探索尝试的基础上，示范画图象的方法和过程，希望学生学会画图象的方法；并及时安排练习巩固刚刚学到的新知识，通过观察，感悟抛物线名称的由来。）
三.三.运用新知、变式探究
画出函数y=5x2图象
学生在画图象的过程中遇到函数值较大的困难，不知如何是好。
x
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Y=5x2
1.25
0.8
0.45
0.2
0.05
0.05
0.2
0.45
0.8
1.25
教师出示已画好的图象让学生观察
注意：1.画图象应描7个左右的点，描的点越多图象越准确。
2.自变量X的取值应注意关于Y轴对称。
3.对于不同的二次函数自变量X的取值应更加灵活，例如可以取分数。
四.四.归纳小结、延续探究
教师引导学生观察表格及图象，归纳y=ax2的性质，学生们畅所欲言，各抒己见；互相改进，互相完善。最终得到如下性质：
一般的，二次函数y=ax2的图象是一条抛物线，对称轴是Y轴，顶点是坐标原点；当a＞0时，图象的开口向上，最低点为(0，0)；当a＜0时，图象的开口向下，最高点为(0，0)。
五.五.回顾反思、总结收获
教学目标
1、知道一次函数与正比例函数的定义.
2、理解掌握一次函数的图象的特征和相关的性质;体会数形结合思想。
3、弄清一次函数与正比例函数的区别与联系.
教学重、难点
重点：初步构建比较系统的函数知识体系，能应用本章的基础知识熟练地解决数学问题。
难点：对直线的平移法则的理解，体会数形结合思想。
教学过程
1、一次函数与正比例函数的定义 ：
一次函数：一般地，若y=kx+b(其中k,b为常数且k≠0，那么y是一次函数
正比例函数：对于 y=kx+b，当b=0, k≠0时，有y=kx,此时称y是x的正比例函数，k为正比例系数。
2. 一次函数与正比例函数的区别与联系：
(1从解析式看：y=kx+b(k≠0，b是常数是一次函数;而y=kx(k≠0，b=0是正比例函数，显然正比例函数是一次函数的特例，一次函数是正比例函数的推广。
(2从图象看：正比例函数y=kx(k≠0的图象是过原点(0，0的一条直线;而一次函数y=kx+b(k≠0的图象是过点(0，b且与y=kx平行的一条直线。
基础训练一：
(1、指出下列函数中的正比例函数和一次函数：①y = x +1;②y = - x/5;
③y = 3/x ;④y = 4x ;⑤y =x(3x+1-3x ;⑥y=3(x-2;⑦y=x/5-1/2。
(2、下列给出的两个变量中，成正比例函数关系的是：
A、少年儿童的身高和年龄;B、长方形的面积一定，它的长与宽;
C、圆的面积和它的半径;D、匀速运动中速度固定时，路程与时间的关系。
(3、对于函数y =(m+1x + 2- n，当m、n满足什么条件时为正比例函数?当m、n满足什么条件时为一次函数?
3、正比例函数、一次函数的图象和性质：
k,b的符号与直线y=kx+b(k≠0 的位置关系：
k的符号决定了直线y=kx+b(k≠0 ;b的符号决定了直线y=kx+b与y轴的交点 。当k>0时，直线 ; 当k<0时，直线 。
当b>0时，直线交于y轴的 ;当b<0时，直线交于y轴的 。
为此直线y=kx+b(k≠0 的位置有4种情况，分别是：
当k>0， b>0时，直线经过 ;当k>0， b<0时，直线经过 ;
当k<0，b>0时，直线经过 ;当k<0，b<0时，直线经过 。
基础训练二：
1. 写出一个图象经过点(1，- 3的函数解析式为 。
2.直线y = - 2X - 2 不经过第 象限，y随x的增大而 。
3.如果P(2，k在直线y=2x+2上，那么点P到x轴的距离是 。
4.已知正比例函数 y =(3k-1x,,若y随x的增大而增大，则k是 。
5、过点(0，2且与直线y=3x平行的直线是 。
6、若正比例函数y =(1-2mx 的图像过点A(x1，y1和点B(x2，y2当x1y2,则m的取值范围是 。
7、若函数y = ax+b的图像过一、二、三象限，则ab 。0
8、若y-2与x-2成正比例，当x=-2时,y=4,则x= 时,y = -4。
9、直线y=- 5x+b与直线y=x-3都交y轴上同一点，则b的值为 。
10、将直线y = -2x-2向上平移2个单位得到直线 ;
将它向左平移2个单位得到直线 。
综合训练：已知圆O的半径为1，过点A(2，0的直线切圆O于点B，交y轴于点C。(1求线段AB的长。(2求直线AC的解析式。
关键词：复变函数；解析函数；调和函数；教学透析
中图分类号：G642.0 文献标识码：A 文章编号：1002-4107（2013）07-0023-02
复变函数课程是工科专业尤其是电子、计算机、机电等专业的必修课。它是高等数学课程的发展和延续，它将函数定义域的范围从高等数学里的实数域推广到了复数域。复变函数与实变函数之间有许多相似之处，但是又有许多不同之点。在学习过程中学生往往觉得复变函数比实变函数更抽象，原理、规律更加繁多。 加之教学安排课时往往比高等数学少得多，因此在课程结束后很多学生仍是一无所获。如何从根本上解决复变函数教学中的诸多类似问题，是教师需要解决的问题。
复变函数的主要内容是研究解析函数，这类函数有着重要的性质和广泛的运用。因此，如何透彻理解和掌握解析函数的相关概念和性质， 是学生学习复变函数这门课程的关键所在，也是教师在教学过程中的重要工作。针对工科学生，本文从以下几个方面透析了解析函数的相关概念、性质及应用，并结合本人在教学中的体验，阐述了如何在教学工作中贯穿这些内容的讲授。
一、理解解析函数的定义及判别
四、解析函数的级数性质
复变函数若在某个圆域或者圆环域内处处解析，那么该函数在圆域或者圆环域内任意一点的函数值，可以写成以圆（环）心为中心的级数形式。由函数不同的解析性，对应有泰勒级数或者洛朗级数。这章节对于很多学生来说是个难点。首先，在教学过程中要让学生能够确定函数展开所对应的中心点以及相应的圆（环）域，必须让他们知道函数在所确定的圆（环）域内是处处解析的。其次，必须记住一些基本解析函数的级数形式，能够套用这些公式解决一些复杂的函数。最后，需要了解收敛级数的一些基本性质，以此来解决更多的问题。级数是研究函数的有力工具，因此掌握并理解这部分内容对于我们透彻掌握解析函数尤为重要。
五、解析函数的保角性
一、揭示背景、播种种子
在初中，学生初步学过函数的概念（变量说），教师应把这个作为学生知识的生长点，结合具体实例形成高中函数的概念（对应说），使函数概念的重要本质特征被嵌入到他们的概念体系中去，从而构建学生良好的认知结构.
教师：在初中，我们学习过函数的概念，请同学们回忆一下，它是怎样表述的？
学生1：设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量.
（设计意图：数学概念往往具有系统性，复习初中函数的定义，为形成高中函数定义和比较初、高中函数定义做好铺垫）
教师：很好，这个定义是从变化过程中两个变量的关系角度进行定义的.下面我们先来看几个实例.
二、分析实例、种子发芽
实例1 一枚炮弹发射后，经过26 s落到地面击中目标.炮弹的射高为845 m，且炮弹距地面的高度h（单位：m）随时间t（单位：s）变化的规律是.（*）
问题1 （1）炮弹发射后2（s）炮弹距地面的高度是多少？发射后5（s），10（s）呢？（2）根据（*）式，从0（s）到26（s）的每一时刻炮弹距地面的高度唯一确定吗？
学生2：2（s）240（m），5（s）525（m），10（s）
800（m），每一个时刻t（s）h（m）（唯一的）.
实例2 近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，
因而出现了臭氧层空洞问题.图1.2-1中的曲线
显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1979～20
01年的变化情况.
问题2 （1）1983年臭氧层空洞的面积约是多少？1991年，1997年呢？（2）根据图中曲线，从1979年到2001年每一时刻臭氧层空洞的面积唯一确定吗？
学生3：1983年，1991年，1997年，每一个时刻（年）臭氧层空洞面积（唯一的）.
实例3 国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高.表1-1中恩格尔系数随时间（年）变化的情况表明，“八五”计划以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变化.
表1-1 “八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况
时间（年） 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001
城镇居民家庭恩格尔系数（%） 53.8 52.9 50.1 49.9 49.9 48.6 46.4 44.5 41.9 39.2 37.9
问题3 （1）1992年恩格尔系数是多少？1995年，1999年呢？（2）根据表格，从1991年到2001年每一年的恩格尔系数唯一确定吗？
学生4：1992年52.9%，1995年49.9%，1999年41.9%，每一个数（年）恩格尔系数（%）（唯一的）.
（设计意图：在三个实例之后分别设计三个问题，能更好地揭示事物的共同属性，凸显函数概念的本质属性，有了“脚手架”，学生从实例中抽象出函数的概念就比较顺畅）
三、归纳共性、破土而出
教师：以上每个实例都可以看成一个变化过程，根据初中函数的定义，这三个都是函数.但是，随着学习的深入，仅从变化过程角度来定义函数有其局限性，例如：是函数吗？就很难回答.因此，我们需要从新的高度来认识函数概念，那么，如果去掉具体的问题情境，上述三个实例变量之间的关系有什么共同点？
学生5：都是两组数之间的一种对应，并且对于第一组中的每一个数，在第二组中都有唯一的数与它对应.
教师：很好，显然这两组数可以构成集合，我们称之为非空的数集，如果两个非空的数集之间有这种对应关系，我们就说是一个函数关系，下面，请同学们用两个集合元素之间对应的语言来定义函数的概念.（几位学生试着表述，之后，教师将学生的回答梳理再表述，或者启示学生将表述补充完整再条理表述）
四、数学语言、概念命名
学生6：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数.记作：y=f（x），x∈A.
教师：非常好！其中x叫自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{ f（x）|x∈A}叫做函数的值域.
教师：那么，理解这个函数的定义，我们又应该注意些什么呢？
师生共同归纳：①函数是非空数集到非空数集上的一种对应；②符号“f：AB”表示A到B的一个函数，它有三个要素；定义域、对应关系和值域，三者缺一不可；③集合A中的数具有任意性，集合B中的数要满足唯一性；④f（x）是一个符号，不能理解为f与x的乘积.
（设计意图：注意函数定义中的关键字，培养学生思维的严谨性）
教师：在研究函数时，除用符号f（x）表示函数外，还常用g（x）、F（x）、G（x）等符号来表示.下面，请同学们比较初、高中函数定义的联系和区别？
学生7：初中函数定义与高中函数定义本质是一致的，都是一种对应，高中的定义更加抽象，是两个非空数集之间的一种对应.
教师：是的.函数概念用集合、对应的语言叙述后，我们就很容易回答前面所提出的问题.y=1（x∈R）是函数，因为对于实数集R中的任何一个数x，按照对应关系“函数值是1”，在R中y都有唯一确定的值1与它对应，所以说y是x的函数.
（设计意图：比较初、高中函数定义，使学生构建函数概念的知识体系，同时解决前面提出的问题，前后呼应）
五、概念内化、施肥浇水
例1 判断下面从集合A集合B的对应关系是不是函数？如果是，请指出它的定义域、值域和对应关系；如果不是，请说明理由：
教师：通过这个例子，你能发现函数的值域与集合B之间的关系吗？
学生8：函数的值域是集合B的子集.
例2 写出一次函数、二次函数和反比例函数的定义域、值域和对应关系，填入下表：
函数 定义域 值域 对应关系
（设计意图：函数的概念形成后要及时进行课内训练，以提高学生对新概念的认识和理解，明确概念的内涵与外延，促进新概念的内化）
六、运用概念、实现价值
例3 已知函数，
（1） 求函数的定义域； （2） 求，的值； （3） 当，求，的值.
分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定.如果只给出解析式y=f（x），而没有指明它的定义域.那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合.
解：略.
教师：解析式有意义通常有哪些情况？
师生共同归纳：当求用解析式y=f （x）表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：
① 如果f （x）是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；② 如果f （x）是偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于等于零的实数的集合；③ 如果f （x）是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合（即使每个部分都有意义的实数的集合的交集）.
变式训练 求下列函数的定义域：
（1）； （2）.
例4 下列函数中哪个与函数相等？
； ； ； .
分析：若两个函数的“三要素”都相同，那么这两个函数肯定相等.
解：略.
教师：如果两个函数的定义域和对应关系相同，那么这两个函数是否相等？
学生9：由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系相同，那么这两个函数必定相等.
变式训练 判断下列各组中的函数是否相等，并说明理由：
（1）表示炮弹飞行高度与时间关系的函数和二次函数；
（2）和.
（设计意图：求函数定义域和判断两个函数是否相等是本节课的重要题型，应及时归纳解题规律）
参考文献：
[1] 李昌官.数学优秀课成长的基础、过程与方法[J].课程・教材・教法，2011（8）.
[2] 肖凌戆.高中数学概念教学的基本特征与操作模式[J].中学数学教学参考，2012（4）.
关键词 函数 概念
回顾函数概念的历史发展，函数概念是不断被精炼，深化，丰富的。初中时函数的定义是一个变量对另一个变量的一种依赖关系。在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。高中时，是用集合与对应的语言描述了函数概念。函数是一种对应关系，是函数概念的近代定义。
设a,b是非空数集,如果按某个确定的对应关系f,使对于集合a中的任意一个数x,在集合b中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:ab为从集合a到集合b的一个函数,记作y=f(x),x∈a。函数近代定义与传统定义在实质上是一致的，两个定义中的定义域与值域的意义完全相同。两个定义中的对应法则实际上也一样，只不过叙述的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，近代定义的对应法则是从集合与对应的观点出发。
函数的概念这一节课，内容比较抽象，概念性强，思维量大，为了充分调动学生的积极性和主动性，教学中通过典型实例来启发和帮助学生分析，比较，以达到建构概念之目的。
引出函数的概念，先是举出了生活中的三个实例。第一个实例是关于物体做斜抛运动的，和初中学习过的二次函数相联系。第二个实例是关于臭氧空洞的问题，给出了函数的图像，按照图中曲线，发现了两个集合之间的一种特殊的对应关系。第三个实例是关于恩格尔系数的经济实例。列表给出了恩格尔系数和时间（年）的关系。三个实例共同反映了变量之间的相互依赖的关系，同时反映出两个非空集合之间的一种特殊的对应关系。这样，自然而然地给出了函数的概念，并且这三个实例中的函数恰好是用了三种表示方法：解析法，图像法，列表法。
以实际问题为载体，以信息技术的作图功能为辅助。通过三个实例的教学，师生共同发现了函数概念中的对应关系。教师在归纳出函数定义后，可以在全班进行交流。结合初中函数的定义，指出两个定义的区别和联系。关于“y=f(x)”这一个函数符号的理解，教师可以提问：y=f(x)一定是函数的解析式吗？回答是不一定，可以举出实例二和实例三。函数的解析式，图像，表格都是函数的表示方法。即：y=f(x)表示y是x的函数，但f(x)不一定是解析式。当f(x)是一个解析式时，如果把x,y看作是并列的未知量或者点的坐标，那么y=f(x)也可以看做是一个方程。
函数的核心是对应法则，通常用记号f表示函数的对应法则，在不同的函数中，f的具体含义不一样。函数记号y=f(x)表明，对于定义域a的任意一个x在“对应法则f”的作用下，即在b中可得唯一的y.当x在定义域中取一个确定的a，对应的函数值即为f(a).集合b中并非所有的元素在定义域a中都有元素和它对应；值域 。教师引导学生归纳并总结，函数的三要素是定义域，值域和对应法则。
然后，教师给出同学们所熟悉的三种函数，一次函数y=ax+b(a≠0)，反比例函数 ，以及二次函数 。教师演示动画，用几何画板显示这三种函数的动态图像，启发学生观察，分析，并请学生们思考之后，填写对应关系，定义域和值域。通过三个熟悉的函数加深学生对函数近代定义的理解。教师引导学生归纳总结出：函数的三要素是定义域、值域及对应法则。在函数的三要素中，当其中的两要素已确定时，则第三个要素也就随之确定了。如果函数的定义域，对应法则已确定，则函数的值域也就确定了。
连续的实数集合可以用集合表示，也可以用区间表示。利用多媒体课件展示怎样用区间表示集合。区间可以分为闭区间，开区间，半开半闭区间。特别地，实数集r记作(-∞,+∞), ∞ 读作无穷大；-∞ 读作负无穷大；+∞ 读作正无穷大;“∞”不是一个数，表示无限大的变化趋势，因此作为端点，不用方括号。
例1和例2的编排，是为了进一步地加深理解函数的三要素。函数的定义域通常由问题的实际背景确定.对于用解析式表示的函数如果没有给出定义域，那么就认为函数的定义域是指使函数表达式有意义的自变量取值的集合。在例1中，要注意f(a)与f(x)的联系与区别：f(a)表示当自变量x=a时函数f(x)的值，它是一个常量；而f(x)是自变量x的函数，在一般情况下，它是一个变量。f(a)是f(x)的一个特殊值。例2是来判断两个函数是否相等的。如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，这两个函数就是相等的。
数学概念是构建数学理论大厦的基石；是导出数学定理和数学法则的逻辑基础；是提高解题能力的前提；是数学学科的灵魂和精髓。因此，数学概念教学是高中数学教学的一项重要任务，是“双基”教学的核心、是数学教学的重要组成部分，应引起足够重视。正确理解概念是学好数学的基础，概念不清往往是导致学生数学成绩差的最直接的原因。
【关键词】二次函数重点整体难点
二次函数是初中阶段继一次函数、反比例函数之后，学生要学习的最后一类重要的代数函数，它也是描述现实世界变量之间关系的重要的数学模型。初中阶段主要研究二次函数的概念、图像和性质，用二次函数的观点审视一元二次方程，用二次函数的相关知识分析和解决简单的实际问题。二次函数和一次函数、反比例函数一样，都是高中阶段要学习的一般函数和非代数函数的基础。二次函数的图像因为是抛物线，关系式变化形式多，应用比较复杂。我在二次函数的教学中，整体把握，重点突破，收到了较好的教学效果。
1 抓住重点组织教学
1.1 通过对实际问题情境的分析确定二次函数的关系式，并体会二次函数的意义
这里体现了数学与生活的关系。教学中，应从教材中的“水滴激起波纹”、“圈养小兔”等实际问题入手，引导学生列出函数关系式。然后，让学生观察、思考：所列的函数关系式有什么共同点？它们与一次函数、反比例函数有什么不同？从而引导出二次函数的概念，让学生认识二次函数的各部分名称。如此，学生能够体会到二次函数来自生活，感受到二次函数也是描述一类现实问题中变量关系的数学模型，激发学习的积极性。
1.2 采用“描点法”画出二次函数的图像，从图像上认识二次函数的性质
这是二次函数的教学重点。一方面，学生要学会画出二次函数的图像；另一方面，要能从图像上认识二次函数的性质。教学中，教师要扎实地让学生画出二次函数的图像（不能一带而过，就让学生去解决与图像有关的复杂题），即运用探索函数图像的方法――“描点法”，一步一步地列表、描点、连线，加深对二次函数图像形状的认识。然后，引导学生从二次函数图像的形状、开口方向、对称性、顶点坐标、增减性等方面去理解二次函数的性质（学生一边看图像，一边说性质，很直观）。要提醒的是，不仅要让学生画出二次函数的准确图像，还要会画二次函数的示意图像。
1.3 利用公式确定二次函数的顶点、开口方向和对称轴，解决简单的实际问题
这里包括两点：一是从二次函数关系式上认识二次函数的性质，这是学生对二次函数性质的进一步认识；二是列二次函数的关系式解决问题，这是学生学次函数的落脚点所在。从直观的图像到关系式认识二次函数的性质，是一个提升；从实际问题中提炼出二次函数，通过研究，再回到实际问题中去，这是一个跨越.教学中，为了突破这一难点，可以从二次函数的图像入手，将二次函数的关系式与其图像比照着进行教学，由图像认识关系式，由关系式认识图像。这种“捆绑式”教学，可以促进学生对借助公式确定对二次函数的顶点、开口方向的理解和掌握。而在运用二次函数解决简单的实际问题时，应将知识块分类后进行教学，这样效果较好。
1.4 运用二次函数的图像求一元二次方程的近似解
这是二次函数的内部应用。即从函数的角度审视一元二次方程与二次函数的关系，并根据直观图形，借助计算器探索函数值为0的自变量的值，进而得出用二次函数图像求一元二次方程的近似解的方法。在这个过程中，应通过直观图像，研究函数值与自变量的变化，渗透无限逼近和区间套的数学思想方法，为学生高中阶段的函数学习做好铺垫。
2 立足整体设计教法
二次函数的整体性，体现在其图像、性质以及应用上。教材从学生熟悉的简单实际问题出发，建立二次函数的概念，立足运动、变换的观点，由特殊到一般，分别探讨各种形式的二次函数的图像和性质，最后以3个探究性问题为例，探讨二次函数在实际中的应用。学生学次函数的图像和性质的障碍主要体现在解析式、图像、性质的对应上，应用的主要障碍则是建立二次函数解析式，并利用解析式解决问题。
2.1 层层递进，系统把握二次函数的图像和性质
二次函数的一般形式及其变换形式共有六种：（1）y=ax2 （a≠0）；（2）y=ax2+k（a≠0）；（3）y=a（x+h）2（a≠0）；（4）y=a（x+h）2 +k（a≠0）；（5）y=ax2+bx+c （a≠0）；（6）y=ax2+bx（a≠0）。要求学生由不同的解析式画出图形示意图并说出对应的性质，有一定的难度。教学时，应层层递进，通过画示意图像来说性质。同时，在学习这六种形式的二次函数的关系式、图像和性质时，每节课都复习上节课学习的二次函数的关系式、图像和性质，并板书。这样，当学到最后一种二次函数的解析式、图像和性质时，学生已在头脑中形成了系统、全面的关于二次函数的解析式、图像、性质的知识网络。
2.2 策略分类，明晰掌握二次函数应用的方法
二次函数是研究单变量最优化问题的常用数学模型。教材从数量关系入手，把实际问题数学化，进而求出最优解，研究了面积最大、利润最大等问题。然后，从“形”上研究了抛物线形的拱桥、抛物线形的隧道、喷泉、投掷、跳远、跨栏等与抛物线有关的问题。这样的分类（一会儿求关系式，一会儿不求；一会儿给应用问题，一会儿给图像），对正由形象思维向抽象思维过渡的初中生来说挑战不小，学生的思维容易发生混乱。教学二次函数的应用问题时，根据学生的年龄特点和知识基础，按解题策略进行分类，有助于学生理清思路，正确解决问题。
第一类：给二次函数的关系式解决问题。比如，教材第33页第4题的“火箭升空”、第34页第9题的“对概念接受能力”、第35页第12题的“喷泉”等问题，只要将二次函数的关系式配方求顶点坐标，或令x、y等于0，即可顺利解决。
第二类：给应用问题列二次函数的关系式，再用关系式解决问题。比如，教材第25页的“最大收益”、“最大面积”等问题，只要分析数量关系，列出二次函数的关系式，再由二次函数的关系式即可解决问题。
第三类：给二次函数的图像列二次函数的关系式解决问题。比如，教材第27页的问题2“喷泉”问题，只要从图像上找到一个或两个点的坐标，代入二次函数的关系式的一般形式，从而求出二次函数的关系式，再由二次函数的关系式，即可解决问题。
第四类：建立直角坐标系，求出二次函数的关系式解决问题。比如，教材第28页的“抛物线形拱桥”、第30页的“栏杆”和“抛物线形拱桥”等问题。这样的问题，要建立适当的直角坐标系，再由图像求出二次函数关系式，然后由二次函数关系式即可解决问题。
3 着手关键化解难点
3.1 将二次函数的一般形式化为顶点式
学生对前四个形式的二次函数y=ax2 （a≠0），y=ax2+k（a≠0），y=a（x+h）2 （a≠0），y =a（x+h）2 +k（a≠0）画图像、说性质相对比较容易，对后两个形式的二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），y=ax2+bx（a≠0）画图像、说性质，难度就大得多。因为要将它们转化为y=a（x+h）2 +k（a≠0）的形式，其中涉及配方的问题。而配方又涉及完全平方公式――这在一元二次方程解法的教学时已有所涉猎。因此，教学一元二次方程解法时，就必须注重配方法的教学，到了这个阶段再增添求二次三项式的最值问题，学生因为掌握了配方的方法，就容易理解和接受了。
3.2 列二次函数关系式和应用二次函数关系式
比如，最大效益问题是一元二次方程的利润类应用问题的迁移，关键是把握关系式“每亩（件、千克）效益（利润）×亩数（件数、千克数）=总效益（总利润）”；面积类问题，关键是面积公式；给二次函数图像列二次函数关系式解决问题，关键是设二次函数关系式；建立直角坐标系，求出二次函数关系式解决问题，关键是建立适当的直角坐标系、设二次函数关系式；应用二次函数关系式，关键是理解关系式中的字母的意义，看清问题中要求的是关系式中的哪一个问题，从而确定方法。
参考文献：
