时间：2022-03-02 19:13:55
引言：易发表网凭借丰富的文秘实践，为您精心挑选了九篇圆锥的体积教学设计范例。如需获取更多原创内容，可随时联系我们的客服老师。
教学目标：
（1）学生在动手操作与小组交流等学习活动中，理解并掌握圆锥的体积计算公式，并能解决有关圆锥体积的简单实际问题。
（2）经历圆锥体积的推导过程，培养学生的观察、动手操作、分析归纳等能力。
（3）在猜想、实验、验证、推理等过程中渗透恒等、模型等数学思想和实践第一的辩证唯物主义思想，发展学生的空间观念。
（4）通过小组实验操作，汇报交流，分享成功的喜悦，增强学习数学的信心。
教学重点：理解圆锥体积的计算公式，能运用公式解决实际问题。
教学难点：圆锥体积计算公式的推导过程及圆锥体积等于等底等高的圆柱体积的三分之一的理解。
教学具准备：
多媒体课件、等底等高的圆柱和圆锥、河沙、提水桶装水、实验报告单等。
教学过程：
一、创设情境，引入新知
1.复习旧知
师：孩子们，今天老师带了两个可爱的朋友想与大家一起学习，你们也欢迎它们吗？（出示圆柱的图片）看看，认识它吗？你了解圆柱吗？都知道些什么呢？
学生畅谈有关圆柱的知识。
师：孩子们对圆柱真是太熟悉了。那这个朋友呢？（出示圆锥图片）你又了解了些什么？
学生大胆交流有关圆锥的知识。
师：孩子们真是太棒了，把鼓励的掌声送给自己！
2.引入新知
师：孩子们喜欢上手工课吗？用橡皮泥做过学具吗？看看在一节手工课上发生了什么？在一节手工课上，小红和小芳用橡皮泥做学具。小红做了一个底面积为15平方厘米，高为6厘米的圆柱；小芳做了一个底面积为15平方厘米，高为18厘米的圆锥。小红说：“你做这么高，用的橡皮泥太多了。”小芳说：“你的圆柱要粗的多，用的橡皮泥更多”她们俩究竟谁用的橡皮泥多呢？学生猜猜看。
师：要比较她们俩谁用的橡皮泥多，可以通过计算圆柱圆锥的什么来判断？
生：体积。
圆柱的体积等于什么？（底面积乘以高），那圆锥的体积也等于底面积乘以高吗？究竟该怎样计算圆锥的体积？这节课我们一起来研究圆锥体积的计算方法。
揭示课题：圆锥的体积
二、小组操作，探究新知
1.提出猜想，大胆质疑
师：大家猜猜看，圆锥的体积与我们以前学过的哪种形体的体积有关？
2.小组合作，动手实验
师：圆锥的体积和圆柱的体积之间究竟有没有关系呢？如果有关系的话，它们之间又是一种什么关系？通过什么办法才能找到它们之间的关系呢？带着这些问题，请同学们分组研究，通过实验寻找答案。
在小组探究前，请看清要求：（多媒体出示）
1.六人小组的成员必须分工合作（实验员，填表员，汇报员各司其职），利用提供的器材共同想办法解决问题，找出圆锥的体积的计算方法。
2.根据小组研究的方法填写实验报告单。
温馨提示：装沙的时候，轻轻的把圆锥装满即可，用尺子水平的将多余的沙子轻轻刮掉，再轻轻的倒入圆柱。装水注意装满。
师：明白了吗？请在组长的带领下，开始行动吧！
附：（ ）组的实验报告单
记录人：
实验方法：我们组是用的是空心圆锥装（）的方法实验的。
实验步骤：
（1）用等底等高的（ ）装满（ ）倒入（ ）中。
（2）我们组共倒了（ ）次，正好装满。
（3）我们的发现：用等底等高的（）装满（）倒入（）中，（）次刚好能装满。
实验结论：圆锥的体积等于等底等高的（）体积的（）
学生小组合作探究，教师巡视指导，参与学生的活动。
3.展示汇报，导出新知
师：哪个小组来交流你们的实验方法和结果？
至少抽三个小组汇报，老师注意引导组员补充与教师的跟进。
结合学生的交流，师板书：圆锥的体积等于等底等高的圆柱的体积的[13]。反过来说，圆柱的体积等于等底等高的圆锥体积的3倍。
4.公式推导，理解新知
师：圆锥的体积=圆柱体积的[13]，如果用字母v锥表示圆锥的体积，圆柱的体积用v柱表示，则v锥=[13]v柱，而圆柱的体积v柱=sh，所以v锥=[13] sh。公式中的s表示什么，h表示什么？圆锥的底面是什么形状？怎样计算它的底面积？所以圆锥的体积公式还可以怎样表示？
v锥=[13]π[r2]h学生齐读公式，并记住公式。
5.实验质疑，拓展新知
师 ：是不是所有的圆锥的体积都是圆柱体积的三分之一呢？我们来做个实验。
师请两个学生做实验演示：用两个等底不等高的圆柱和圆锥装水，结果没有得到圆锥体积是圆柱体积的三分之一，让学生进一步体会等底等高的含义。
6.问题解决，应用新知
孩子们能用我们自己研究的成果来解决问题吗？
出示例1：一个铅锤高6厘米，底面半径4厘米。这个铅锤的体积是多少立方厘米？
孩子们默读题目后问：能独立解答吗？学生独立解答后抽学生的作业展示汇报。
三、拓展应用，巩固新知
1.填一填
（1）圆柱的体积字母公式是（），圆锥的体积字母公式是（）。
（2）等底等高的圆柱的体积是圆锥的体积的（）倍。
（3）圆锥的底面积是15平方米，高9米，体积是（）。与它等底等高的圆柱的体积是（）立方米
2.教科书第42页第一题。（课件出示）
学生独立解答，集体订正。
3.刚才小红和小芳的争议，同学们能帮她们解决了吗？谁用的橡皮泥多？
四、梳理小结，提升新知
3、培养学生个人的自主学习能力和小组合作学习的能力。
教学重点和难点：掌握圆锥体体积公式的推导。
教具准备：1、等底等高的圆柱体和圆锥体6套，大小不同的圆柱体和圆锥体6套、水槽6套。
2、多媒体课件设计
教学过程设计
(一)复习准备：
1．怎样计算圆柱的体积？(板书：圆柱体的体积=底面积×高)
2．一个圆柱的底面积是60平方分米，高15分米，它的体积是多少立方分米？
3．圆锥有什么特征？
学生回答后，教师用课件演示：屏摹上显示一个圆锥体，将它的底面、侧面、高和顶点闪烁。
（二）导入新课
今天我们就利用这些知识探讨新的问题-----怎样计算圆锥的体积（板书课题）
（三）进行新课
1、探讨圆锥的体积公式
教师：怎样探讨圆锥的体积计算公式呢？在回答这个问题之前，请同学们先想一想，我们是怎样知道圆柱体积公式的：
学生回答，教师板书：
圆柱------（转化）------长方体
圆柱体积公式--------（推导）长方体体积公式
教师：借鉴这种方法，为了我们研究圆锥体体积的方便，每个组都准备了一个圆柱体和一个圆锥体。你们小组比比看，这两个形体有什么相同的地方？学生操作比较。
（1）提问学生：你发现到什么？（这个圆柱体和这个圆锥体的形状有什么关系）
(学生得出：底面积相等，高也相等。)
底面积相等，高也相等，用数学语言说就叫“等底等高”。
(板书：等底等高)
（2）为什么？既然这两个形体是等底等高的，那么我们就跟求圆柱体体积一样，就用“底面积×高”来求圆锥体体积行不行？(不行，因为圆锥体的体积小)
教师：（把圆锥体套在透明的圆柱体里)是啊，圆锥体的体积小，那你估计一下这两个形体的体积大小有什么样的倍数关系？(指名发言)
的水和圆柱体、圆锥体做实验。怎样做这个实验由小组同学自己商量，但最后要向同学们汇报，你们组做实验的圆柱体和圆锥体在体积大小上有什么样的倍数关系。
（3）学生分组做实验。
A.谁来汇报一下，你们组是怎样做实验的？
b.你们做实验的圆柱体和圆锥体在体积大小上发现有什么倍数关系？
(学生发言：圆柱体的体积是圆锥体体积的3倍)
同学们得出这个结论非常重要，其他组也是这样的吗？
我们学过用字母表示数，谁来把这个公式整理一下？(指名发言)
（4）学生操作：出示另外一组大小不同的圆柱体和圆锥体进行体积大小的比较，通过比较你发现什么？
学生回答后，教师整理归纳：不是任何一个圆锥体的体积都是任何一个圆柱体体积的。(老师拿起一个小圆锥、一个大圆柱)如果老师把这个大圆锥体里装满了水，往这个小圆柱体里倒，倒三次能倒满吗？(不能)
为什么你们做实验的圆锥体里装满了水往圆柱体里倒，倒三次能倒满呢？(因为是等底等高的圆柱体和圆锥体。)
呢？(在等底等高的情况下。)
(老师在体积公式与“等底等高”四个字上连线。)
现在我们得到的这个结论就更完整了。(指名反复叙述公式。)
今后我们求圆锥体体积就用这种方法来计算。
(三)巩固反馈
1．口答。填空：
v(立方米)
v（立方米）
60
52
126
4.5
2．出示例题学生读题，理解题意，自己解决问题。
例一个圆锥形的零件，底面积是19平方厘米，高是12厘米，这个零件的体积是多少？
A学生完成后，进行小组交流。
你是怎样想的和怎样解决问题。（提问学生多人）
C教师板书:
×19×12=76（立方厘米）
答：它的体积是76立方米
3．练习题。
一个圆锥体，半径为6cm，高为18cm。体积是多少？(学生在黑板上只列式，反馈。)
4、出示例2：要求学生自己读题，理解题意思。
在打谷场上，有一个近似于圆锥形的小麦堆/！/，测得底面直径是4米，高是1.2米，每立方米小麦约重735千克，这堆小麦约有多少千克？（得数保留整千克）
（1）提问：从题目中你知道什么？
（2）学生独立完成后教师提问。并回答同学的质疑：3.14×（）×1.2×表示什么？为什么要先求圆锥的体积？得数保留整千克数是什么意思？….
5、比较：例1和例2有什么地方不同？
（1）直接告诉了我们底面积，而（2）没有直接告诉，要求我们先求出底面积，再求出圆锥体积；（2）例1是直接求体积，例2是求出体积后再求重量。
我们已经学会了求圆锥体的体积，现在我们来解决有关圆锥体体积的问题。
四、巩固练习：
1、一个圆锥形沙堆，高是1.5米，底面半径是2米，每立方米沙重1.8吨。这堆沙约重多少吨？
2、选择题。每道题下面有3个答案，你认为哪个答案正确就用手指数表示。。
(1)一个圆锥体的体积是a立方米，和它等底等高的圆柱体体积是(
)
⑴立方米②3a立方米③9立方米
(2)把一段圆钢切削成一个最大的圆锥体，圆柱体体积是6立方米，圆锥体体积是(
)立方米
（1）6立方米（2）3立方米（3）2立方米
2、学生操作：
看看我们的教室是什么体？(长方体)
要在我们的教室里放一个尽可能大的圆锥体，想一想，怎样放体积最大？(小组讨论)
指名发言。当争论不出结果时，让学生以小组为单位动手测量数据：教室长12m，宽6m，高4m。并板书出来，再比较怎样放体积最大的圆锥体。
以下是“圆锥的体积”的三个教学片断。
[片断一]
一、认识圆锥。
二、实验操作，发现规律。
1.出示实验记录表，明确实验要求。
2.学生分组实验，教师巡视指导。
三、启发引导，推导公式。
[片断]
一、直观演示，引导猜测。思考：猜猜看，圆锥的体积与什么有关?结合学生回答通过演示使学生认识到圆锥的体积与底面积和高有关。
二、合作交流，引导转化。出示一堆堆成圆锥形的黄沙。小组讨论：怎样可以求出这个圆锥形沙堆的体积?汇报交流。
三、操作验证，推导公式。各小组通过操作算出圆锥的体积，并观察推导圆锥的体积计算公式。
四、巩固应用。
[片段三]
课前让学生用橡皮泥捏成一个圆锥。
一、认识圆锥。
二、猜测：圆锥的体积与圆锥的什么有关?圆锥的体积会不会等于它的底面积乘以高?为什么?
三、讨论：怎样验证你的猜想?
四、小组合作。动手操作验证。
五、汇报交流。总结圆锥的体积计算公式。
[教学反思]
片断一的教学设计其实是一个看似完美的圆，但这种完美是以牺牲学生的创造力为代价的。在这节课的教学设计中，学生所做的只是动手操作。从发展学生的数学思想方法能力这方面来看，这节课的教学中有这样几点解决问题的关键没有解决好：一、怎么想到根据圆柱的体积计算公式推导圆锥的体积计算公式的?二、一定要用等底等高的圆柱和圆锥吗?三、怎么知道倒几次后就恰好能将圆柱倒满的?这三点往往也是传统课堂教学中容易忽视的。教师只关注学生对圆锥的体积计算公式的掌握及应用，而对于在这一教学过程中所应该关注的学生数学思想的发展并不重视。
片断二中则能够围绕这三个问题去设计教学思路，而也正是因为考虑到这三个问题，所以在教学实践中解决这三个问题时，放手让学生进行操作、研究、讨论、交流，减少了对学生思维的限定，给了他们足够的思维空间，所以学生在研究交流过程中，能够突破教材的既定思路，这样才有让学生在自主探索中产生创新的可能。在教学实践中，有学生提出了将圆锥形沙堆倒进一个圆柱体或长方体容器里再测量体积；有学生提出将这个圆锥形沙堆重新堆成一个圆柱形或长方体形状，再去测量它的体积，等等。从这些想法中我们可以看出这些学生已初步具有了转化的思想以及解决实际问题的能力。
片断三从学生最常见的玩具橡皮泥人手，让学生在做中进一步感受数学。首先在用橡皮泥捏成一个圆锥体的过程中，学生初步领会了圆锥的特征，这样在课堂教学中让学生观察圆锥的特征时，许多学生都能有所收获。其次，由于橡皮泥的特殊性质，在推导圆锥体积计算公式时，大部分学生都能想到将这个圆锥体转化成一个圆柱或长方体，再通过计算体积找出圆锥的体积与圆柱的体积(即底面积乘高)之间的关系。在这个教学片断中，教师并没有太多的“命令”，而是通过创设认知冲突，引导学生产生探究的欲望，并通过合作、交流、操作、验证等数学方法去进行探究。学生不仅在课堂中学到了圆锥的体积计算公式，更重要的是学到了数学思维方法。
【关键词】理性；数学思维；数学感受；数学味
【中图分类号】G623.5 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2017）33-0070-02
【作者简介】1.张云，江苏省镇江市丹徒实验学校（江苏镇江，212028）副校长，高级教师，江苏省优秀教育工作者；2.朱君，江苏省镇江市丹徒实验学校（江苏镇江，212028）教师，一级教师，镇江市丹徒区骨干教师。
每个学科都有自己独特的美，语文有人文之美，音乐有节奏之美，美术有意境之美，而数学则应闪烁着“理性”之美。
前不久，笔者曾观摩一位教师执教的苏教版六下《圆锥的体积》一课，基本环节是：回顾铺垫，通过复习圆柱的知识、触摸立体图形等活动，创设学习新知识的情境；提出问题，通过触摸新事物，使学生产生问题，然后教师出示本课的学习目标；观察实验，发现圆柱和圆锥体积之间的关系，得出圆锥体积的计算方法；巩固练习，师生共同总结。教者的基本功扎实，课件设计得精美、巧妙，教学过程如下：
师：请同学们拿出一个圆柱与圆锥，看看它们有什么关系。
生：等底等高。
师：这组等底等高的圆柱和圆锥，它们的体积相等吗？你能看出这个圆锥的体积是这个与它等底等高的圆柱体积的几分之几吗？
生：体积不相等，圆锥体积大致是与它等底等高的圆柱体积的二分之一或三分之一。
师：到底是几分之几呢？下面我们来做一个实验，验证一下。
接着教师在课件上演示：一个圆锥装满了水向一个等底等高的圆柱里倒，连续倒了三次刚好倒满。
师：通过观察上面的实验，你有什么发现？
生：圆锥体积是和它等底等高的圆柱体积的三分之一。
教师指导学生学习书本上的实验以及公式推导的过程，巩固所学知识，同时体会探究问题的，鼓励学生继续探索。
【困惑】
一节课上得很热闹，学生看着制作精美的多媒体课件，学习热情高涨。但听完课后，不由得让笔者疑惑：
这是一堂数学课还是观影课？这节课最重要的环节“通过研究圆锥与同它等底等高的圆柱的关系，推导圆锥体体积的计算公式”，学生没有亲身实验，而是观看多媒体课件。这节课更像是一节观影课。
课件演示的实验结果是否真实可信？有课件制作常识的人都知道，“一个圆锥装满了水向一个与其等底等高的圆柱里倒，连续倒了三次刚好倒满”可能是教师刻意制作的结果。对学生而言，这样的教学缺少动手操作和理性思考的过程。
基于以上两点感受，笔者认为现代教育媒体虽然给数学教学带来了诸多方便，将原本枯燥、抽象的数学变成了形象、具体、富有动感的数学，大大提高了学生学习数学的兴趣。但是，如果教师过于依赖多媒体，学生的探究能力和提出问题、分析问题、理性思考的能力都将无法得到提高。
如何提高学生的综合能力，打造高效的数学课堂，彰显数学知识所蕴含的数学价值？为了回答这个问题，同样教学“圆锥的体积推导”这一内容，笔者设计了如下教学环节：
1.明确为什么要做实验。
师：你们已经会求圆柱的体积了，如果让你求圆锥的体积，你会求吗？你有什么方法？说出来交流一下。
生1：可以将这个圆锥装满水，倒到量杯里量一量，就知道它的体积了。
师：你真聪明，但这样做求出来的是容积。
生2：如果圆锥不是空的怎么办？所以我觉得可以把它放到一个量杯里，溢出来的水的体积就是圆锥的体积。
生3：有那么大的杯子幔空庑椒ǘ疾恍小N颐且找到一个计算公式。只要知道圆锥的高和底面积，就可以求出圆锥的体积。
生4：用底面积乘以高吗？那不是圆柱的体积计算公式吗？
生5：我想三角形和平行四边形有关系。圆柱和圆锥是不是也有关系呢？它们的体积是不是也存在着几分之几的关系呢？
师：那怎么办呢？
生：可以用实验来验证！找等底等高的圆柱和圆锥，看看它们的体积存在着怎样的关系？
2.明确为什么要找等底等高的圆柱和圆锥。 师：为什么要找等底等高的圆柱和圆锥来做实验呢？不是等底等高就不行吗？
生：那样研究出来也没有什么意义呀，不能推导出一般的计算公式。
3.明确实验步骤和相关注意点。
师：那如何来实验呢？
生：我们可以将圆锥装满米，倒入圆柱中，看看需要倒几次；也可以将圆柱装满米，倒入圆锥中，看看需要倒几次。
师：我们做实验时要注意什么？
生：实验的准确性。如：米要装满，刮平，倒时不漏到外面等。
【反思】
1.用数学的思维方式组织教学。
学生学习数学的目的是什么？笔者认为数学学习的目的至少包括：第一，理解和掌握数学基础知识，为学习更高层次的数学知识打好基础；第二，解决实际生活中的一些问题，从而更好地为学生的生活服务；第三，通过数学知识的学习和运用，培养学生的数学思维方式、创新意识和创造能力，同时使学生的情感、态度与价值观得到发展。在这三条中，笔者认为最核心的就是培养学生的数学思维方式，促使学生进行理性的思考。数学是思维的体操，数学课区别于其他学科课程的显著特征之一便是严谨的思维方式。圆锥体积计算公式的推导不应牵着学生的鼻子走，而应让学生明白为什么这样做，这样做的目的是什么。那么，如何使学生通过实验分析问题、思考问题，使其思维走向深刻、理性呢？教师在教学时应及时捕捉课堂生成资源，激发学生思考的欲望，促进其思维的发展，使数学课多一些“数学味”。
2.把思考的主动权交给学生。
儿童的智慧在他的指尖上。加强动手操作能力的培养，是帮助学生解决问题的捷径。放手让学生在有限的时间里多动手、多思考、多实践，成为真正的探索者，才能切实提高课堂教学效率，提高学生的综合能力。教师不应低估学生的潜能，而应把思考的主动权交给学生，由学生按照自己的想法动手实验得出结论。
3.让学生乐于表达自己的感悟。
“学生的学习要建立在他们已有的知识经验和水平基础之上”，这是每位数学教师都深知的一条教学原则。但在平时的教学实践中，却很少有教师研究学生掌握了哪些知识，教学完全是按照教师自己的想法进行设计的，使学生被动学习数学，造成数学教学高耗低效的局面。要想转变学生的学习方式，教师在进行数学教学之前，就要对学生的数学水平进行前测。下面，笔者以“圆锥的体积”练习课的教学为例，谈谈如何开展数学教学的前测工作。
一、前测方法
前测，就是在教学之前利用不同方法对学生的知识水平进行测试，如掌握学生的学习经验是什么、找到学生的最近发展区等，以便及时调整教学设计。正常情况下，我们都会采用以下几种前测的方法：（1）测试。课前出一张测试卷，了解学生相关的知识情况，以便在教学时可以及时调整教学设计，进行有针对性的教学。（2）访谈。课前随机走进学生当中，与学生交流相关情况，从访谈中了解学生的真实水平，以便在教学时选择最为有效的教学策略。（3）测试与访谈相结合。这种方法是在学生测试之后，针对学生在测试中出现的情况，通过访谈来了解产生的原因，这样可以更加具体、清晰地了解学生的学习起点。（4）作业痕迹分析。作业是在一种自然、自主的情况下发生的学习行为，在很大程度上反映出学生真实的学习水平。从学生的作业中，可以看出哪些学生已经掌握了知识、哪些是学生还没有掌握的内容等，学生错误的原因也可以通过分析作业来获取信息。
二、前测案例呈现及分析
下面，笔者就结合作业痕迹分析法来谈谈如何有效把握学生的学习起点。请看下面几个学生的作业错例：
通过对上述四个作业错例进行分析，可以看出学生对圆锥的体积公式掌握不牢，或者说学生还没有更清晰地理解圆锥体积的计算公式。如第一个错例，学生忘记圆锥的体积计算是用底面积来乘的，而不是用半径来乘的；第二个错例，学生忘记了圆锥的体积是与它等底等高圆柱体积的三分之一，这样求出来的不是圆锥的体积，而是与它等底等高的圆柱体积；第三个错例，学生忘记了圆锥的体积计算公式是半径的平方，而不是直径乘以直径，所以错误产生的原因是没有把直径转化成半径来解答；第四个错例，直接用圆锥的半径平方来乘以高，忘记乘以3．14先求出圆锥的底面积了。通过学生所列的算式，可以看出学生已经基本掌握了圆的相关知识，但是由于粗心，计算圆锥体积时忘记乘以3．14了。
三、根据前测信息设计教案及点评
教学目标：
1.进一步掌握圆柱和圆锥体积的计算方法，能正确熟练地运用公式计算圆锥的体积。
2.进一步培养学生运用所学知识解决实际问题的能力和动手操作的能力。
3.进一步熟悉圆锥的体积计算。
教学过程：
1.回顾旧知。
（1）学生作业痕迹分析。
（2）今天我们就一起来学习圆锥的体积练习。
2.实际应用。
判断：图中圆锥与哪个圆柱的体积相等？
（1）先让学生自己分析，再小组交流。
（2）全班交流，得出结论。
3.拓展提升。
（1）能将直角三角形转成圆锥吗？如果能，请你算算，它的体积是多少？可以闭上眼睛想一想，也可以在纸上画一画。
（2）如下图，有一根圆柱体的木料，底面积为6平方分米，长20分米，沿着木料的中点，把头部加工成一个圆锥。已知削去部分的体积是40立方分米。求加工后木料的体积是多少？
4.全课总结。
师：通过今天的学习，你有什么收获？
……
通过前测，发现学生对圆锥的体积公式记得不牢，没有厘清圆锥与圆柱体积计算方法之间的区别和联系，计算时出现丢三落四等现象，在复杂的问题中不能细心、细致地分析数量之间的关系。所以，上述教案完全是根据对学生前测之后所获取的信息进行设计的。上述教学中，回顾旧知时简要地与学生一起分析作业错误的原因，让学生意识到自己的错误，使学生形成要在本节课努力听讲、认真学习的决心与信心。接着，在实际应用环节中，让学生分析圆锥与哪个圆柱的体积相等。这一环节的设计，既来源于学生已经学习过的圆锥体积计算公式，又高于圆锥体积计算公式的应用。学生要想解答这一道题目，就必须牢记圆锥的体积计算公式。这样教学，让学生从更特别的思维角度来厘清圆柱与圆锥体积之间的关系，强化了圆锥体积一定是与它等底等高圆柱体积的三分之一，加深了学生对圆锥体积公式的理解与掌握，为学生能够熟练运用这一公式来解答数学问题奠定了基础。拓展提升环节中的两道题可以促使学生从更广阔的背景出发，加强对圆锥体积的认识。通过这一节课的练习，使学生能够灵活运用圆锥体积计算公式解决生活中的实际问题。
四、教学反思
通过上述前测分析与依据前测设计的教案，笔者认为，可以通过前测完成以下几个方面的任务。
1．明确学生学习起点，恰当安排教学内容。
通过前测，可以知道学生的学习起点是什么，这样教学内容的难易程度就要根据学生的学习起点来安排，不能过难，也不能没有思维含量。如上述案例中，学生的学习起点就是对圆锥体积计算公式掌握不牢，不能灵活运用圆锥体积计算公式解决问题，一遇到复杂的问题时就不知道如何解决了。所以设计教案时，我从学生的这一学习起点出发，让学生重新梳理圆柱与圆锥体积之间的关系，这样就可以从一个新的角度来引导学生理解所学知识，有效地激发了学生探究的积极性。
2．明确学生知识缺陷，灵活调整教学内容。
前测的一个重要功能就是了解学生对所学知识的掌握情况，这样教师就可以根据前测所获取的信息，灵活调整教学内容，有针对性地为学生查漏补缺。如上述教学通过前测，了解学生产生错误的原因是对圆锥体积计算公式掌握不牢，不能够灵活运用圆锥体积计算公式来解答相关的数学问题。但是从前测来看，学生对圆的面积计算公式的运用还是比较到位的。就好比最后一道题，学生可以通过周长来求一堆沙子的底面周长，但是对圆锥体积的计算公式却会出现不同的错误，这就是学生知识上的缺陷。所以，在设计教学时，教师要灵活调整教学内容，让学生从不同的角度灵活运用圆锥体积计算公式解决不同的数学问题。
3．明确前测内容要求，有效组织前测工作。
组织前测时，前测的内容既要符合学生的认知特点，又要根据学生的实际情况和将要学习的新知识来安排；既要为安排新的教学内容提供依据，又要为确定课堂教学的重、难点提供帮助。当然，前测的内容还要有利于发展学生的数学思维。前测题的难易程度既不能让学生随手拈来，都能够正确完成任务，又不能难度过大，让学生解答不出来，这两种设计都不能有效测试出学生的真实水平。前测内容要从学生的学习起点出发，既要有学生学习新知识的最基础内容，又要有学生学习新知识的思维方式，这样才能让前测更有效地服务于新课的教学。
从教学结果来看，有两点值得注意：一是学生对圆柱和圆锥的特征、圆柱和圆锥体积的计算方法以及圆柱表面积的计算方法掌握较好；二是学生对圆柱和圆锥体积之间的关系掌握并不理想（只记得等底等高时，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，圆锥的体积是圆柱体积的1/3；而当圆柱与圆锥等体等底或等体等高时往往学生不清楚“谁占谁的1/3”）。针对第二点，我一直在寻求可行的、有效的教学方法，力求突破难点，达到良好的教学效果。
在接触了“变异理论”之后，我尝试站在崭新的角度，重新进行教学设计。“变异理论”一直强调知识的关键属性，因此，针对学生困惑的关键点，我决定从倍、比、份三个角度全面、有序地讲解圆柱和圆锥的关系，并据此安排了“圆柱与圆锥”这一内容的专题训练课。
根据“变异理论”，教师需要通过展现不同维度的“变”，以呈现“不变”的关键属性，从而让学生全面、深刻地理解事物的关键属性，并将事物的关键属性融合到认知结构中，最终促进未来的学习和迁移。针对“圆柱和圆锥”这一内容，学生需要把握的关键点是：判断圆柱和圆锥的关系，必须同时考虑高、底面积（或底面半径）和体积这三个变量中的两个。为了帮助学生理解这一关键点，我设计了四个教学环节。
一、强化等底等高的圆柱和圆锥的体积关系
在第一个教学环节，我通过例题引导学生运用已学知识。然后，借助线段图，展示“份”“倍”和“比”三者的关系，以引导学生用不同的方式表述圆柱和圆锥的比例关系。
师：在等底等高时，你们能用线段图表示圆柱和圆锥的体积关系吗？（板书：等底等高）
师：观察线段图，在等底等高时，圆锥的体积对应的是几份？圆柱的体积对应的是几份？圆柱和圆锥的体积之和对应的是几份？圆柱和圆锥的体积之差对应的是几份？（板书：份）
生：在等底等高时，圆锥的体积对应的是1份；圆柱的体积对应的是3份；圆柱和圆锥的体积之和对应的是4份；圆柱和圆锥的体积之差对应的是2份。（如图1所示）
师：在等底等高时，你是否能从“倍”的角度，完整有序地表述圆柱和圆锥的体积关系？（板书：倍）
生：在等底等高时，圆锥的体积是圆柱体积的1/3，圆柱的体积是圆锥体积的3倍；圆柱和圆锥的体积之和是圆锥体积的4倍，是圆柱体积的4/3；圆柱和圆锥的体积之差是圆锥体积的2倍，是圆柱体积的2/3。
师：在等底等高时，你是否能从“比”的角度，完整有序地表述圆柱和圆锥的体积关系？（板书：比）
生：在等底等高时，圆锥和圆柱的体积比是1：3；圆柱和圆锥的体积比是3：1；圆柱和圆锥的体积之和与圆锥体积的比是4：1，与圆柱体积的比是4：3；圆柱和圆锥的体积之差与圆锥体积的比是2：1，与圆柱体积的比是2：3。
二、逆向思考等体等底时，圆柱和圆锥的高的关系
在第二个教学环节，我通过一组精心设计的计算题，引出等体等底的条件下，圆锥的高是圆柱高的3倍的事实，然后通过用手指画、观察投影片、画线段图和语言表述等方法，使学生对圆柱与圆锥的高的关系有更加感性的认识。
师：我们学习数学，思维不仅要有序，更要可逆。这里有两道逆向应用圆柱和圆锥体积公式的题目，谁会解？
[展示例题：一个圆锥体积是36立方分米，底面积是9平方分米，它的高是（ ）分米；一个圆柱体积是36立方分米，底面积是9平方分米，它的高是（ ）分米。]
师：在等底等高时，圆柱和圆锥的体积关系，明明是圆柱大，圆锥小，可是从两道例题看，为什么圆锥高，圆柱矮呢？请比较这两道例题的已知条件和计算结果，你发现了什么？为什么会出现这样的结果？
生：在等体等底时，圆锥的高是圆柱高的3倍。
师：用手指在桌上画一画，这样的圆柱和圆锥摆在一起会是什么样子？谁能形容一下？（如图2所示）
接下来，与第一个环节一样，我借助线段图，展示“份”“倍”和“比”三者之间的关系，以引导学生用不同的方式表述圆柱和圆锥的高的关系。
三、自主思考等体等高时，圆柱和圆锥的底面积的关系
在第三个教学环节，学生运用前两个教学环节的学习过程和方法自主学习。我先提问，后总结。
师：我们已经研究了等底等高时，圆柱和圆锥的体积关系；等体等底时，圆柱和圆锥的高的关系；接下来，我们研究等体等高时，圆锥和圆柱的底面积关系。你会用线段图表示它们之间的关系吗？
师（总结）：通过观察线段，我们发现无论是等底等高还是等体等底、等体等高的圆柱与圆锥之间都是一份和三份的关系。所不同的是：等底等高时，圆柱的体积是3份，圆锥的体积是一份；体积相等，高和底只有一样不相等时，圆锥是3份，圆柱是一份。
四、运用圆柱和圆锥的关系解决问题
在第四个教学环节，我精心设计了一组练习题。
填空题：
一个圆柱和一个与它等底等高的圆锥的体积之和是24立方米，圆柱的体积是（ ）立方米，圆锥的体积是（ ）立方米。
选择题：
有一个圆柱容器和几个圆锥容器（如图3所示），将圆柱内的水倒入（ ）圆锥内，正好倒满。
应用题：
给舞台设计一个背景（如图4所示），请你算一下这个背景的体积（单位：米；只列式，不计算）。有几种不同的算法？
上述练习题旨在培养学生灵活应用所学知识解决实际问题的能力。在设计练习题时，我试图创设一定的问题情境，使学生将刚刚学习的有关圆柱和圆锥的关键属性融合在一起，并观察学生在既定的问题情境中能否综合应用所学知识解决相关问题。
一、创设情境激发参与的主观能动性
苏霍姆林斯基说过：“在学生的心灵深处。无所不在使自己成为一个发现者、研究者、探索者的愿望”。如果激发这个愿望，启动学生思维，让学生对学习产生参与的兴趣呢?我认为教师创设学习情境尤为重要。
1 创设民主的学习氛围。叶澜教授指出：“活跃、和谐、民主、平等、欢乐的课堂氛围是学生潜能，创造性、积极健康的人生态度是生长发育的阳光、空气和水”。这就要求教师创造民主的教学环境，把课堂还给学生，把自主还给学生，把童趣还给学生，倡导有错必纠，包括教师、教材的错误；有疑必问，鼓励大胆置疑和问难，使课堂有学生的情感、体验、思维、创新，水融，让孩子们丰富多彩的个性淋漓尽致地展现出来，健康的人格得到和谐全面的发展。
2 巧设游戏、激发学生的探究欲。爱玩是孩子们的天性，如何在学中玩、玩中学、培养学生的学习兴趣，创设游戏情境，使学生在不知不觉中进入到新知识的学习中，达到寓教于乐的良好的教学效果。例如：教师在教学到计时时，设计了如下游戏，师说：“1、2。”生说：“2、1。”师说：“1、2、3。”生说：“3、2、1”师说：“老师爱同学们。”生说：“同学们爱老师。”这样不仅激发了学生学习知识的积极性，而且在一种愉悦的氛围中，通过游戏掌握了知识的要点。
3 教学设计的生活化。数学来源于生活，生活离不开数学，教师要打破“以纲为纲”“以本为本”的框框。根据教学内容，捕捉生活中的教学现象，积极引导学生发现问题、研究问题、激发学生自主探索、独立思考的欲望。
二、开展小组合作学习、培养自主探索精神
传统的教学只注重思考与集体订正，而忽略了小组的合作交流，实际上，对于小学学生来说，小组合作是行之有效的学习方式之一，让学生在宽松和谐的课堂中，互相交流、互相竞争，既增强了学生的合作意识，又培养了学生自主学习的能力。例如，教学“圆锥体积”，这是在学生已经掌握圆柱体的体积基础上学习的，课前，教师让学生分组准备了一个等底等高的圆柱容器。如下图：
然后让学生分组动手操作，把圆锥容器装满沙子倒进空的圆柱容器里，这样倒三次，正好装满这个圆柱容器，学生通过分组操作试验，发现圆柱的体积是与它等底等高的圆锥体体积的3倍，而圆锥体的体积是与它等底等高的圆柱体体积的3/1，同学们讨论、交流，达成共识。圆柱体的体积公式学生已经掌握：V圆柱＝sh，所以学生推导出：V圆锥＝3/1sh，这一教学方法是以学生为主体，让学生积极探索，分组合作，动手操作，讨论交流，从操作中推导出圆锥体的体积公式，使他们从感性认识上升到理性认识。掌握了知识的形成过程，从而达到培养学生的创新思维目的。
当然，我们讲合作学习，并不是完全否定了个人学习的独立性，而是在体现独立思考的基础上的合作，注重在合作学习的形式下，各抒己见、互相交流，从中得到启发，进而解决问题。
三、开放性的教学是自主探索的保证
心理学家洛马斯指出：人类与生俱来的创新意识，由于后天过程中不予重视，任创新之火自生自灭。因此在数学教学中，我们不能画地为牢，仅限于教材知识，而要在把握教学目的的基础上，为学生提供开放的学习环境，鼓励学生自行搜集信息，探究新知，发散学生思维，激发学生自主创新意识。
1 在教学设计上体现开放性。教学设计体现开放性主要包括以下几方面：
(1)开放性地1使用教材，跳出教材对教学新思想的束缚，对教材知识的延伸，激发学生试图探索的欲望。
(2)开放教学方法，把“有结论的教学”当成“未有结论的教学”来讲授，循序渐进，留给学生发现与创造的空间。
(3)开放性地设计问题，“一题多解”“多题同解”“开放性题”等的设计在培养学生创造性思维方面起了很大的作用。
2 在教学过程中实现开放性。设计有趣的课内活动，“课程实施建设”中指出，教师应充分利用学生的生活经验，设计生动有趣、直观形象的数学活动，如讲故事、做游戏、直观演示、模拟表演等，激发学生的学习兴趣，让学生在生动具体的情意中理解和认识数学知识。
一、通读教材，熟悉整体架构
课堂教学的有效性，主要取决于教师对教学内容的整体把握和掌控。对于课堂教学来说，只有当教师对教材进行整体把握以后，才能够根据编排体系获得相应的教学思路和教学策略，进而设计有效的教学环节，为学生思维的发展搭建合理的“脚手架”。
例如，教学“长方体的认识”一课时，针对长方体的透视图，学生显然存在理解上的难度，一方面是因为教材没有单列专题进行研究，另一方面是由于学生的空间观念还没有建立有效的链接。而且，在平时的教学中，大多数教师对学生空间观念的建构不予以重视，只是在讲台上随便画一下，导致学生的体会比较肤浅，容易造成认知误区。针对这些现状，我校在进行集体研讨时对教材的整体架构做了分析，发现在二年级初次接触平面几何时，学生已经通过观察物体认识到“从不同的位置既可以看到不同的形状，也能看到不同的面，而且最多可以看到三个面”；而在三、四年级时，学生通过对物体的观察，建立了空间观念的初步认识――想要准确把握物体的形状，可以从正面、上面和左侧来观察感受。
通过对教材编排体系的整体研讨，我校教师对“长方体的认识”中长方体透视图的教学设计做了如下改进：先让学生上台观察长方体，看看从自己的角度能够看到几个面。学生根据自己所站的不同方向，可以分别看到正面、侧面和上面。教师追问：“那么，从一个角度观察，你最多能看到几个面？长方体一共有几个面？为什么最多只能看到三个面？”此时已有的认知经验很快有了用武之地，根据之前学过的观察物体的方法，学生发现长方体的六个面从一个方向观察并不能全部看到，最多只能看到三个面，如果要在平面图上表示出来的话，可以将看到的三个面直接画出来，将看不到的面用虚线来代替表示。从上述教学可以看出，教师对教材有了系统的解读和掌控，既突破了直观认识的教学模式，又根据教材的整体编排体系，发挥了学生的已有经验，还在沟通新旧知识间的联系时，实现了思维的连接和拓展，使学生自主建立了空间观念。
二、把握教材，设计有效活动
根据《数学课程标准》（2011版）对数学教学的要求，教师要在丰富学生学习经验的基础上，从有效的教学活动入手，使学生积累基本的数学活动经验。这里有两个方面的考量：其一，要引导学生掌握基本的数学知识和技能；其二，要促进学生的数学理解。这就需要教师对教材进行深入研究，并在读懂、读透的基础上把握其中的重、难点，然后根据学生的认知特点，设计有效的教学活动。因此，在课堂教学中，教师要引导学生深入探究，积累有效的数学活动经验，使他们自主建构数学概念。
例如，教学“圆锥的体积”一课时，根据以往的教学经验，学生计算圆锥的体积时往往容易忽略公式中的■，原因何在？我从教材入手，发现其研究模式如下：先直接出示问题并引导学生围绕问题形成初步猜想（圆柱体积=底面积×高，那么圆锥体积是它的几分之几呢），再让学生通过实验验证的方法，发现圆柱和圆锥体积之间存在■的关系，最终推导出圆锥体积的计算公式，即V=■Sh。根据教材的安排，我发现了问题所在，很显然，学生对■这个倍数关系的理解存在难度。那么，能否将教材中呈现与圆锥等底等高的圆柱的思路重新梳理，先让学生自主发现这个特殊的圆锥是从同一个圆柱中得到的唯一一个与之同底等高的圆锥后，再进行两者关系的猜测和推导呢？
由此，我设计了两个教学活动：活动（1），让学生通过学具进行动手操作和画草图，思考圆柱和圆锥体积之间的关系――将一块圆柱形木材削成圆锥形，可以削成什么样的圆锥？学生得到以下四种答案（如下图），并得出结论：与圆柱同底等高的圆锥只有唯一的一个。
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活动（2），让学生观察图，并对等底等高的圆柱和圆锥体积之间的关系进行猜想。学生提出等底等高的圆柱和圆锥的体积之间存在倍数关系，有的认为是2倍，有的认为是3倍。此时，我进行追问：“是不是所有等底等高的圆柱和圆锥体积之间都有这样的关系呢？”学生进行验证操作，将圆锥中的水倒入圆柱后，发现圆柱中的水只有刻度的三分之一。这验证了学生的猜测，并由此推导出了圆锥的体积计算公式，即V=■Sh。在随后的练习环节中，我发现学生计算圆锥体积时没有一人忽略公式中的■，并且很多学生根据自己的理解，知道Sh（即圆柱的体积）除以3的由来。上述教学，我从教材入手，把握学生的学习难点所在，并掌握其中的两个关键：一是让学生认识圆柱和圆锥在同底等高的条件下具有唯一性；二是让学生建立圆锥和圆柱体积之间关系的猜想验证模式，然后设计有效的活动来激活学生的思维，促进他们对概念的理解。
三、整合教材，促进思维发展
教材就好比是一个压缩的范例，而教师的教学则是一个解压缩的过程，不仅要将不同版本的教材进行整合，而且要根据学生的实际情况，在尊重文本的前提下超越文本，使学生获得丰富的体验和感悟，从而促进学生思维的发展。
例如，教学“正比例”一课时，学生的学习难点是如何通过数量的变化体验，理解并确定变量之间存在的正比例关系。苏教版教材并没有针对两种变化的量进行专门的内容过渡安排，但在北师大版教材中则有一个过渡课时。为此，我根据班级学生的实际情况，将北师大版教材中针对生活情境中的变量关系进行整合，作为帮助学生积累基本数学活动经验的素材，唤醒学生看图找关系的相关经验，引导学生学会用联系、变与不变的思维方式来表征变化的量。于是，我设计三个层次的活动丰富学生的思维表象：（1）出示生活中小明体重的变化图（如下），让学生学会用不同的观察角度审视表格中的数据，培养学生的数学思维能力。
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（2）出示骆驼的体温随时间变化的图（如下），让学生感受变化量的特点，并与第（1）个活动进行关联，培养学生的比较思维。
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（3）运用关系式理解并确定数量之间的关系（如下图），使学生经历语言文字叙述变量关系转变为数学符号的过程。
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通过以上教学，学生对两个变量之间的关系有了丰富的表征积累，使学生的观察能力、分析能力得到发展，为进一步过渡到数学抽象思维做好铺垫。
一、有效的氛围
“知之者，不如好之者；好之者，不如乐之者”。学生的学习情感直接制约着学习的有效性。课堂中营造教学的和谐性，建构师生之间良好的情感关系，对于维持学生的学习兴趣和注意力至关重要。根据皮亚杰与维果茨基建构主义学习理论的精髓：学习过程是一个学习者主动探究受刺激、积极参与意义建构和积极思维的过程。学习受学习者原有知识结构的影响，新的信息只有被原有知识结构所容纳，也就是只有学习者感兴趣的才能被学习者所学习。这种教育思想体现了对学习主体学生的尊重，要求教师适应学生来构建有效的学习气氛，使教学活动成为解决学生学习中的各种困难和问题的过程。
在课堂教学中应突出学生的主体地位，最重要的是体现在学生“自主”基础上的“互动”，小组合作时要营造“无威胁”的课堂氛围。当发现学生注意力分散时，用微小的动作去暗示、提醒；当学生回答问题胆怯、畏缩时，用目光去鼓励、支持，使他们产生被重视、被关注感。同样好心情和丰富的面部表情缩短了师生间心灵的距离。创设有效的氛围能让每个学生有发表见解的均等机会，既能发挥集体的智慧，又能拓展思维的广度和深度，增强学生获取知识、自主探究的能力，还有利于培养学生的团结协作精神和交往能力，使活泼的学生更自信，令内向的学生更大胆。美国心理学家罗杰斯指出：课堂气氛主要是教师行为的产物。所以，教师在创设教学情境时一定要考虑到情境氛围创设的有效性。
在教学圆锥的体积时，一开始营造要解决现实生活中一堆黄沙的体积氛围，让学生有了进行探究的意愿，进而提出对圆锥体积的计算方法的研究，让自己学生想出各种方法，这时学生会在自主的氛围中提出各种方法，进而启发学生：学过的物体有长方体、正方体、圆柱，究竟用哪个更合适呢？让学生自己去商讨解决的方法进而会想到在推导圆柱体积公式时，是将圆柱转化成同底等高的长方体，那么什么样的圆柱与圆锥联系更紧密呢？此时再让学生动手实验，那么推导出圆锥体积公式也就水到渠成了。教师在活动中尽量与每一位学生进行积极的个人交流，认真倾听和接受每一位学生对教学的正确想法。同时，师生双方情感的沟通和协调、相互信任和合作关系的建立，需要教师以自身积极情感来感染和唤起学生的学习情感。
二、有效的时间
解放学生的学习的自和自由度，使学生有属于自己的学习的时空。允许并鼓励他们有不同的算法，尊重他们的想法，哪怕是不合理的，甚至是错误的，让他们在相互交流、碰撞、讨论中进一步明确算理。这个过程不可能一帆风顺，教师必须为学生提供充分的时间作保证。也许让学生自主探究虽然在时间上要比教师讲解花费得多，也许做练习的数量会减少，也许有时甚至会来不及完成教学任务。因为这样使得有些教师往往会在学生自主探究前，给学生进行铺垫，看似明确了思维指向，提高了课堂教学效率，实质上是为学生设置了思维通道，缩小了探究的空间。实践证明，没有亲身的体验，没有积极的活动，很多知识便如同“过眼云烟”，很难扎根在学生的脑海之中。“听过的，忘记了；看过的，记住了；做过的，掌握了”。因此，我们要引导学生在充足、合理的时间中运用多种方法开展有效学习活动，就要能根据实际情况创设属于学生的探索空间和时间。
在教学“圆锥的体积”时，让学生分组做实验，在空圆锥里装满沙子，然后倒入空圆柱里，看看几次正好倒满，并思考：从倒的次数看，两者体积之间有怎样的关系?各小组代表在学具箱中取实验用的空圆锥、圆柱各一个，分头操作。实验后各小组汇报：有会出现三次正好倒满，有四次正好倒满，有不到三次就将圆柱装满了……学生议论纷纷，后来在学生的“指导”下重新选择一对等底等高的圆锥和圆柱继续实验，三次正好倒满。学生调换学具再试。追问：什么情况下，圆锥的体积是圆柱的三分之一?这时学生都明白了：等底等高，圆锥的体积是圆柱的三分之一。从一开始就没有用传统的方法：准备好等底等高的圆柱形和圆锥形容器来做装沙实验（以缩小学生探究的空间来节省教学的时间）。通过从不同学具选择开始，为学生设置了一个真实的探索情境，让学生通过对不同实验情况的对比，主动观察、思考，虽然实验探究会浪费一定时间，但学生在探究的“等底等高”条件下，建构圆锥体积的计算方法的知识点应该是完整的。
三、有效的流程
课堂教学的核心是调动全体学生主动参与到学习全过程，使学生自主地学习、和谐地发展。学习过程是否有效，则是课堂教学是否有效的关键。教师应在教学设计时考虑好整堂课的流程。要遵循构建“问题―探究―解答―结论―问题―探究……”的开放式过程。在活动中学生是学习的主体，但我们也不得不承认，处于成长发展中的小学生，是不成熟的学习主体。由于受年龄、经验、知识、能力的限制，他们提出问题、分析问题、解决问题的能力毕竟是有限的。
在圆锥体积教学设计时：整个过程首先由从现实的的问题一堆黄沙的大小计算引出，继而提出圆锥的体积的计算方法解决，再通过各种器材的操作对比不同和结果得出计算的公式，最后应用计算方法来解决实际问题，这样教师遵循了“现实题材――数学问题――数学模型――数学方法――解决问题”的过程来设计教学，引导学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型，并进行探索与应用的过程，使学生逐步学会用数学知识和方法解决生活中的实际问题。
四、有效的引导
有效的教学组织可以促使学生积极主动地、自发地（而非迫于外界压力）去想象、思考、探索，去解决问题或发现规律，并伴随着一种积极的情感体验。这种情感表现为对于知识的渴求，对于客观世界的探索欲望和激情，发现规律的兴奋以及对教师的热爱等等。这就要求教师来引导学生怎样去有效地学习。
“圆锥体积的计算”一课，教材是让学生用一组等底等高的圆柱和圆锥形容器，通过倒水或倒沙子实验，发现圆锥体积等于和它等底等高的圆柱的1/3。这里必然要涉及两个问题：怎么想到要用圆锥装东西往圆柱里倒呢？为什么非要用一组等底等高的圆柱和圆锥形容器呢？如果这两个问题没有解决，那么学生的操作显然缺乏思维含量，操作活动就只是为了发现一个数学结论。我在教学这部分内容时是这样处理的：先举起空的圆柱形容器，复习圆柱体积的计算方法。然后举起装满水的不规则茶杯，提出问题：怎样知道这杯水的体积？引导学生想到把水倒入空的圆柱形容器中，此时揭示“转化”的解决问题的策略。接着举起圆锥形容器，提出问题：怎样知道这个圆锥的体积？学生自然想到将容器中装满水，倒入圆柱，再计算体积。第一个问题顺利解决了。接下来进一步启发学生：刚才我们用转化的方法得到了这个圆锥的体积，但是有点遗憾，因为计算的数据全是圆柱的数据，能否用圆锥自己的数据呢？想一想有什么办法？这样的教学，就使操作活动与数学思考有机结合在一起了。
因此，在充分发挥学生主体性、主动性，重视让学生学会学习、发展学生学习能力的今天，我们也应重视并充分发挥教师作为组织者、引导者、点拨者的作用。我们要在学生疑难处、意见分歧处，在知识、方法归纳概括时，充分发挥教师的引导作用，及时加以点拨指导。
五、有效的评价
学生学习的态度、情绪、心境与教师对学生的评价有着密切的联系。数学课程标准指出：对学生数学学习的评价，既要关注学生知识技能的理解和掌握，更要关注他们的情感与态度的形成与发展；既要关注学生学习的结果，更要关注他们在学习过程中的变化和发展，帮助学生认识自我，建立信心。有效的评价，有助于学生认识自我、建立自信，有助于教师改进教学。
在课堂教学中，教师要善于捕捉学生身上随时闪现的闪光点，给予及时、恰当的肯定与激励，让学生扬起自信的风帆，获得良好的情感体验。评价的首要原则应该是“客观公正”，在这个基础上，再坚持鼓励为主，才是富有魅力有价值的评价。对每个问题、每个学生的评价不可轻易否定，不随便说“错”，否则就会挫伤学生的学习积极性。教学中教师还要承认学生数学学习的个体差异，积极地鼓励和肯定每个学生的每一进步。
