时间：2023-03-07 15:20:25
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学生 具有我校本学年正式学籍，学籍号 ，国籍为(请在打√)：中国籍(港澳台籍除外)港澳台籍外国籍，证件号码： (中国籍请填写中国居民身份证号码，港澳台籍请分别填写港澳居民往来内地通行证号码、台湾居民往来大陆通行证号码，外国籍请填写护照号码)。该学生下一学年(请在打√)将继续具有我校正式学籍因升转学等原因将不具有我校正式学籍。
特此证明。
(学校盖章)
年 月 日
1.两全等三角形中对应边相等。
2.同一三角形中等角对等边。
3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。
4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。
5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。
6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。
7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。
8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。
9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。
10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。
11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。
*12.两圆的内（外）公切线的长相等。
13.等于同一线段的两条线段相等。
2、证明两个角相等
1.两全等三角形的对应角相等。
2.同一三角形中等边对等角。
3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。
4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。
5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。
6.同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。
7.圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
8.相似三角形的对应角相等。
9.圆的内接四边形的外角等于内对角。
10.等于同一角的两个角相等。
3、证明两条直线互相垂直
1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。
2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。
3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。
4.邻补角的平分线互相垂直。
5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。
6.两条直线相交成直角则两直线垂直。
7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。
8.利用勾股定理的逆定理。
9.利用菱形的对角线互相垂直。
10.在圆中平分弦（或弧）的直径垂直于弦。
11.利用半圆上的圆周角是直角。
4、证明两直线平行
1.垂直于同一直线的各直线平行。
2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。
3.平行四边形的对边平行。
4.三角形的中位线平行于第三边。
5.梯形的中位线平行于两底。
6.平行于同一直线的两直线平行。
7.一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的线段对应成比例，则这条直线平行于第三边。
5、证明线段的和差倍分
1.作两条线段的和，证明与第三条线段相等。
2.在第三条线段上截取一段等于第一条线段，证明余下部分等于第二条线段。
3.延长短线段为其二倍，再证明它与较长的线段相等。
4.取长线段的中点，再证其一半等于短线段。
5.利用一些定理（三角形的中位线、含30度的直角三角形、直角三角形斜边上的中线、三角形的重心、相似三角形的性质等）。
6、证明 角的和差倍分
1.与证明线段的和、差、倍、分思路相同。
2.利用角平分线的定义。
3.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
7、证明线段不等
1.同一三角形中，大角对大边。
2.垂线段最短。
3.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
4.在两个三角形中有两边分别相等而夹角不等，则夹角大的第三边大。
5.同圆或等圆中，弧大弦大，弦心距小。
6.全量大于它的任何一部分。
8、证明两角的不等
1.同一三角形中，大边对大角。
2.三角形的外角大于和它不相邻的任一内角。
3.在两个三角形中有两边分别相等，第三边不等，第三边大的，两边的夹角也大。
*4.同圆或等圆中，弧大则圆周角、圆心角大。
5.全量大于它的任何一部分。
9、证明比例式或等积式
1.利用相似三角形对应线段成比例。
2.利用内外角平分线定理。
3.平行线截线段成比例。
4.直角三角形中的比例中项定理即射影定理。
5.与圆有关的比例定理---相交弦定理、切割线定理及其推论。
6.利用比利式或等积式化得。
10、证明四点共圆
1.对角互补的四边形的顶点共圆。
2.外角等于内对角的四边形内接于圆。
3.同底边等顶角的三角形的顶点共圆（顶角在底边的同侧）。
4.同斜边的直角三角形的顶点共圆。
那么,如何学好这类几何证明呢?本人认为应做到以下12个字:“见什么想什么,要什么写什么”.
要做到“见什么想什么,要什么写什么”,则要求学生要有一个比较扎实的几何系统知识,即几何中的相关概念、命题,相关性质、公理与定理等基础知识,并对这些知识熟练记忆.因此,我们在记忆的时候要将相关知识联系记忆,并进行比较,从中找出该知识间的必然联系.
那么如何理解“见什么想什么,要什么写什么”这12个字的学习方法呢?
1 “见什么想什么”
1.1 想相关的性质(即可以用得到的东西)
①见到垂直,即要想到:(1)所成的角为90°;(2)线段的垂直平分线(其上的点到线段两端的距离相等);(3)有可能是三角形的高.
②见到线段的中点或角平分线,即要想相关的三个表达式子:(1)两个小者的相等关系(较短两条线段或较小两个角);(2)小者等于大者的一半的关系(较短两条线段或较小两个角与最长线段与最大角);(3)大者等于小者的2倍的关系(最长线段与最大角与较短两条线段或较小两个角).
③见到两直线平行,马上要想到有关的角的性质:(1)内错角相等;(2)同位角相等;(3)同旁内角互补.
④见到直角三角形,即要想到:(1)有一角为90°;(2)勾股定理;(3)斜边上的中线等于斜边的一半;(4)30度角所对的直角边等于斜边的一半.[注:(3)与(4)都有这样的关系:等于斜边的一半];(5)全等时的HL.
⑤见到等腰三角形,即要想到:(1)两腰相等;(2)两(底)角相等;(3)三线合一.
⑥见到有关解多边形的题目,我们必须想到与多边形相关的内角和、外角和知识:即内角和为:(n-2)×180 °、外角和为:360°.
⑦见到平行四边形,马上要想到平行四边形具有如下可用到的东西:(1)对边平行;(2)对边相等;(3)对角相等;(4)对角线互相平分.
⑧见到矩形,马上想到矩形具有如下可用到的东西:(1)角相等,且为90°;(2)对边平行;(3)对边相等;(4)对角线互相平分,且相等.
⑨见到菱形,马上想到菱形具有如下可用到的东西:(1)对边平行;(2)四边相等;(3)对角相等;(4)对角线互相平分,垂直,且平分每一组对角.
⑩见到正方形,马上想到正方形具有如下可用到的东西:(1)对边平行;(2)四边相等;(3) 四角相等,且都为90°;(4)对角线互相平分,相等,垂直,且平分每一组对角.
1.2 想相关的方法(即怎样见题想方法)
①见要求有关的角相等,马上想到可以用如下方法去解答:(1)看角的情况,证两直线平行;(2)最常用的利用三角形全等;(3)角在同一三角形中,可证其是等腰三角形;(4)借助第三个量,找其等量关系.
②见要求有关的线段相等,马上想到可以用如下方法去解答:(1)最常用的利用三角形全等;(2)线段在同一三角形中,证其是等腰三角形;(3)看是否有线段的垂直平分性质,想线段垂直平分线上的点到两端的距离相等;(4)线段是四边形的两条对边,则可证其是特殊的四边形(平行四边形、菱形、矩形、正方形等)
③见要证线段的大小关系,则要想到把相关的线段转变到三角形中,进而用三角形的三边关系以及直角三角形中的勾股定理来解决.
④见要证线段之间的和差关系,一般来说是要把较长的线段进行拆分,构造出一些相等的线段,然后进行转化.
⑤见到要证两个三角形全等,即要想到证全等的三个条件(HL两个条件除外):SAS、ASA、AAS、SSS,然这三个条件则需看题目去找,注意条件不能乱套,乱用.
[三角形的全等,是初中几何的一个重要知识点;对三角形全等的条件要灵活运用,灵活去找出其隐藏的条件:比如说对顶角、公共角(或公共边)相等、垂直隐含直角的关系、中点隐含线段相等的关系、角平分线隐含角相等或角平分线上的点的一些关系(到两边距离相等)以及三角形内角和为180°、角的互余互补关系等等]
1.3 想相关的思路
①证两条直线平行:
观察题目中的 “两线”被第三“线”所截所成的角而想相关的方法,如出现同位角则可用“同位角相等,两直线平行”,如还出现内错角或同旁同角,则也可以用相应的方法来证明.
②证三角形全等或相似:
观察题目中所给出的边与角的条件对应SAS、ASA、AAS、SSS进行比较进而想思路,如题目告之的是:一角一边,则可选取SAS、ASA、AAS,再看角与边哪个好找就用相应的方法;如题目告之的是两边或两角,则选用SAS、SSS(ASA、AAS),这样一来,思路就比较明确啦.证相似也是一样,且更加简单,条件只需要两个,题目告之的是一角,则选取AA来证最为简单;如题目告之的是:一角一边,则可选取SAS、如题目告之的是两边,则选用SAS、SSS.但请记住:证明相似最常用常考的方法是:AA.
③证明平行四边形:
(1)见题目中告诉与边有关的内容,想到用“两组对边平行”、“两组对边相等”、“有一组对边平行且相等”来证明;(2)见题目中告诉与角有关的内容,想到用“两组对角相等”、“两组对边平行(因角相等可想到两直线平行)”;(3)见到题目中告诉与对角线有关的内容,想到用对角线来证明,即“对角线互相平分”.
④证明矩形:
(1)见题目中告诉的是与平行四边形有关的,则马上想到:a.利用定义(有一个角是直角)来证;b.证明两条对角线相等[注:见到题目中是与对角线有关,则马上想到是用b来证];(2)见题目中告诉的是与四边形有关,则想到证角为90度(三个角都是直角),或是看题目中的边、角、对角线的关系,先把其转化为平行四边形,再利用(1)的方法来证.
⑤证明菱形:
(1)见题目中告诉的是与平行四边形有关的,则马上想到:a.利用定义(有一组邻边相等)来证;b.证明两条对角线垂直[注:见到题目中是与对角线有关,则马上想到是用b来证];(2)见题目中告诉的是与四边形有关,则想到证边相等(四条边都相等),或是看题目中的边、角、对角线的关系,先把其转化为平行四边形,再利用(1)的方法来证.
⑥证明正方形:
证明正方形的主要的方法都是利用正方形的不同定义以及正方形的双重性(既是矩形又是菱形):即是看题目中的边、角、对角线的关系,证出是矩形(或菱形)[这些证明方法同上②、③.相同],然后再证一组邻边相等(或是有一个角是直角)就行了.
⑦证明等腰梯形:
(1)见到题目中告诉与角有关的梯形,则想到证两底相等;(2)见到题目中告诉与对角线有关的梯形,则想到证两条对角线相等就行.
以上谈到的见什么想什么,在今后的学习中还可能遇到与其有关的知识内容,那么到时自己进行小结,把相关的内容加到相应的知识点中去.
2 “要什么写什么”
我们在证明的过程中,由一个知识点可能得到很多相关的性质、结论,但并不是所有的结论我们都要在证明过程中写上,如果这样反而使证明过程不清不楚,适得其反.所以在写证明过程中要做到“要什么写什么”:即题目要怎样的结论我们就写叫哪些的结论,这样我们的证明过程就简捷、明确,推理具有逻辑性.
比如,1.常用的三角形全等,则会得出有六个相应的结论:三组边、三组角对应相等,那么,我们在证明的过程中就要看清楚:是要用线段(即是边)的关系,还是用角的关系,进而写出相应的结论,这样才能使证明过程简洁、明确,推理具有逻辑性.2.比如平行四边形、矩形、菱形、正方形等都有很多的性质结论:边的关系(汲及到线段时还可能用到对角线的一些内容:平分,交点为线段的中点等)、角的关系(也可能用到对角线平分每一组对角的这一重要性质)以及对角线的关系(其又有不同的关系:平分、相等、垂直、平分每一组对角,因而要适当选择来解题).
总之,在解题的过程中,要认真观察题目的每一句话,进而去想到相关的知识去解决问题.
下面以2009年中考题为例介绍如何用“12字”法:
例1 (2009年广西钦州)(1)已知:如图1,在矩形ABCD中,AF=BE.
求证:DE=CF;
分析 ①想解题方法:本题一见要证明DE=CF,而这两条线段分别在不同的三角形中,所以我们想到的方法与思路就是用证明三角形全等的方法来证明两条线段相等,②想相关性质:题目知之是在矩形ABCD中,所以想到矩形相关的边(对边相等与平行)、角(四个角相等且都等于90°)的关系;③想相关解题思路:本题想到是用证明三角形全等的方法来证,但用全等条件的哪一个呢?这两三角形是直角三角形,而斜边DE、CF为所求,所以不可能用HL来证,要求证边,也不可能用SSS来证,题目告之有相关的边加上矩形相关性质而想到正确的方法应该用SAS来证.
证明 因为AF=BE,所以AF+EF=BE+EF ,即:AE=BF. 因为四边形ABCD为矩形,所以AD=BC,∠A=∠B=90° (注:这里用什么写什么,比如AD∥BC,AB=BC这些条件是不用的,所以就算是正确也不用写下去),所以ADE≌BCF,所以DE=CF.
例2(2009年娄底)如图2,在ABC中,AB=AC,D是BC的中点,连结AD,在AD的延长线上取一点E,连结BE,CE.
(1)求证:ABE≌ACE;
(2)当AE与AD满足什么数量关系时,四边形ABEC是菱形?并说明理由.
分析 ①想解题方法与思路:
本题一见要证明ABE≌ACE,马上想到证明一般三角形全等的四种方法:SAS、ASA、AAS、SSS,而通过观察题目与对应要证的三角形比较,知一边且有一公共边,所以想到SAS与SSS,而另一边也无法求故想到SAS.②想相关性质:由题目中的“AB=AC,D是BC的中点”想到“三线合一”,③ “要什么写什么”:而本题证明全等只需用到角,所以在写的过程中,只写两小角相等即可.
委屈总算那么地折磨人，把我的喜悦一扫而空；把爸爸妈妈对我的信任抛在九霄云外。让我独自在黑暗的角落里哭泣，我必须证明自己，得到相信的爱。
小时候，我在家里是一个不听话的孩子，在学校是个成绩差的学生，在亲人的眼里是个“淘气包”。他们都在议论我，玩笑的话中透露我的没用。我很生气，决定发奋读书，变得有礼貌，让他们对我刮目相看。
经过一年的努力，我在期末考试中获得了第一名。我欣喜地跑回家给爸爸妈妈看，爸爸看了试卷脸上却没有洋溢着快乐的表情，而是严厉地批评我：“考不好没关系，但也不能抄啊！真是把我的脸面丢尽了！”我坚决地说：“我没有抄！”我抢了试卷跑到了屋里，屋子里传出“呜呜”的哭声，爸爸理都不理。我在屋里拿着试卷发誓：我要证明自己。
关键词：延时评价；及时评价；思维
1.学生有怪问时，延时评价可提供一个敢于释疑的环境
课堂教学中，当学生提出某些古怪、幼稚、甚至是荒诞的“怪论”时，常引来教师迫不及待的否定，无形中扑灭了学生创造的火花，挫伤学生的积极性.因此，教师千万不要及时评价，而应通过延时评价的方法，鼓励学生敢于思考、敢于与众不同、敢于发现和挑战，然后及时转换角色、转换角度，走进学生的内心世界来解决问题.
22
xy
例1.1在学习“双曲线的几何性质”时，总有学生提出这样的问题：“当x=0时，方程-=1
22
ab
没有实根，为什么还要将点B1（0，-b）,B2(0,b)在y轴上表示出来，并称B1B2为虚轴？”等等。
这些似是而非的问题是多么富有创意！从教学实践看，怪问就是一颗创造的种子，它埋在学生的心里。这颗珍贵而娇嫩的种子，只有在教师的精心呵护和培育下才会生根发芽。
2.问题有多解时，延时评价可提供一个敢于质疑的环境
在数学学习中，我们经常会碰到可以从不同角度、不同侧面来解决的问题.解决这样的问题时，教师对课堂上学生提出的解决问题的方案要采用延时评价，不能过早地给予及时的终结性的评价，否则会扼杀其他学生创新思维的火花.
2222
例2.1已知实数a，b，x，y满足a+b=4，x+y=9，求ax+by的最大值.
生：令a=2cosα，b=2sinα，x=3cosβ，y=3sinβ，则ax+by=6(cosαcosβ+
sinαsinβ)=6cos(α-β)。故当cos(α-β)=1时，ax+by的最大值为6
教师一听，答案完全正确，情不自禁地说：“非常正确！和老师想得一模一样.其他同学呢？”哪知道
刚才举起的那些手“唰”地不见了！顿时，教师不知所措，不知道自己到底做错了什么……
正常情况下，由于受思维定势的影响，新颖、独特的见解常常出现在思维过程的后半段，也就是我们常说的“顿悟”和“灵感”.因此，在教学中，教师不能过早地给予评价以对其他学生的思维形成定势，而应该灵活地运用延时评价，让学生在和谐的气氛中驰骋想象，使学生的个性思维得到充分发展.
3.思维受挫时，延时评价可提供一个敢于析疑的环境
案例3.1在利用不等式求最值时，有这样一个思维受挫的教学片段：
sinx2
求函数y=+〔0＜x＜π〕的最小值.
2sinx
sinx2
生：利用平均不等式，y≥2.=2
2sinx师：以上不等式能取到“=”吗？
生：因为sinx≠2，所以等号取不到，这样解错了.
师：说明用不等式不能解决此问题，可以用什么方法呢？……
一、理清思路，先学会将解析过程“说”出来。
1.爱因斯坦说过：一个人的智力发展和他形成的概念的方法在很大程度上是取决于语言的。而我们知道语言也是思维的工具，通过学生先口头表达对于几何解析过程的演示，能够暴露出思考问题时的“先天不足”，有利于教师和同学们一起发现问题并共同解决问题，特别是有些学生概念模糊，那么他在口头表达的时候也不会思路清晰，而教师可以在此时加以积极引导，帮助学生学会顺藤摸瓜。
2. 学生学会先口头表达解析过程能够有助于学生从单一封闭的思维模式中走出来，集众人所长，相互之间得到有益的启发和从别人身上获得更大的借鉴，从而真正能够实现一题多解和一题多证。在同一环境下学生之间的这种口头阐述，可以使较为简单的解法浮出水面，帮助学生们共同受益。
3. 通过先口头阐述几何解析过程能够激发学生在课堂上的参与热情，因为初中生单一的童真不会考虑更多的内容，而是极力在课堂上展示自己，演示自己，希望得到别人的尊重与认可，这是客观的生长规律，一旦调动他们参与的热情，学生学习的兴趣自然就会被激发，效果当然就很明显。当然班上也存在有部分同学会而不说的情况，这个时候教师可以激励他通过朗读的形式，或者小组加分推着他一起参与到口头讲述的过程中来，尤其是班上的后进生，对于他们的学习倦怠或者一窍不通，我觉得教师有必要先对他们进行单独辅导，特别是学生的准备环节，我们可以对他们开小灶，让他们先有所知，然后故意让他们也表达自己的观点，一旦说出了基本步骤，教师就大力表扬，在一次次的认可中，学生的参与指数必然会得到提升。
4.与其说，是让学生自己说，其实，更多的是教师在背后推，如果失去教师在课堂上有力的指导并对学生的阐述内容进行客观而系统的分析，那么这种将解析过程说出来也只是一片散沙，所以教师依然是解析过程中的组织者，主导者。领路人，这需要教师必须对解题思路有足够的分析，有充足的备课，不然课上也会出现掉链子的现象。
二、强化书写，把握内容的准确性，形成烂熟于心的书面习惯。
书写几何证明题，就要使用科学准确的几何语言，只有正确的书写内容才能培养正确的证明习惯。
1.强化几何语言的规范性，让学生掌握一些规范性的几何语句。例如：“
在ABC中，∠A=120°，K、L分别是AB、AC上的点，且BK=CL，以BK，CL为边向ABC的形外作正三角形BKP和CLQ。证明：PQ=BC 。
证明 ：延长直线PK与QL交于O，
根据正三角形BPK，正三角形CQL及∠A=120°，
显然可证：四边形OLAK为平行四边形，
所以AK=LO，AL=KO。
又因为BK=CL，
故
PO=PK+KO=BK+AL=CL+AL=AC；
QO=QL+LO=CL+AK=BK+AK=AB。
而∠POQ=120°，
所以ABC≌PQO。
故PQ=BC。？ 通过上课的教学和课后的辅导，教师先在黑板上反复演示，科学地表达几何语言；表然后让学生到黑板板书，再逐一检查下面学生的语言表达情况，通过学生两两之间，小组之间，和教师逐一批改的层层推进的模式，加深学生对规范语言的运用和理解，使学生学会使用几何语句。
三、积累解题思路，学会举一反三。
1. 在几何题中，我们发现有很多几何题 只是内容上的差异而解题步骤是基本上差不多的，所以建议学生学会整理解题思路，学会举一反三，建议学生们自己准备一本题集，先将自己平常见到的题型进行归类，例如证明角相等的，证明边相等的，证明需要加辅助线的，证明需要加延长线的，这个时候，我们可以帮助学生进行一一编辑，将它们分门别类，然后一旦遇到类似的问题，先进行比较，基本上差不多的则一笔带过，如果还有一些不同，或略有拔高，我们可以在同一题型后面再附加，使这类题型更加的完善，更加的充实。
2. 学会举一反三，还可以建议学生自己造题目，让学生造题目就是让学生对自己熟知的题目进行简单的编辑，造出的题目可以让学生间或者同组间进行交流证明例如：
如图，AD平分∠BAC，点E在BC上，点G在CA的延长线上，EG∥AD，EG交AB于点F，求证： AF=AG。学生可以将字母顺序进行颠倒，也可以取消BEF让学生学会延长CF到B点，在此基础上加辅助线，另一种拓展是在GEC中，在GE上取一点使AF=AG，求证EG∥AD，这样，似曾相识的两条题目都出炉了，学生的训练思维得到了巩固，也拓展了学生的发散性思维，利用这样的巩固训练，可以达到一题多练的效果，往往将条件转化为求证结果，或者将求证结果转化为条件，利用这种反复论证，使映象得意进一步的加深。
关键词：高校；教学名师；特征
中图分类号：G451 文献标识码：A 文章编号：1671-0568(2012)41-0015-03
一、高校教学名师的内涵界定及评选标准
1.基本内涵
“名师”，是指有名望的、在学校和社会上有一定影响的教师。王毓殉给名师下了一个规范的定义：“名师，是指在一定时空范围内自然而然形成的，具有一定的知名度、认可度、美誉度、影响度和突出成就的专业素养较高的富有创造性的优秀教师。”高校教学名师强调两个关键要素：高校、教学名师。高校包括高职高专和本科院校；教学名师不仅是名师，而且以教学为限定条件，即教学名师不仅要学识渊博、学术造诣高深、道德高尚及受人敬仰，而且要立足于教育和教学，尤其强调教书育人的品质和成就。教学名师既是著名的学者，也是著名的教师，只有在三尺讲台上才能真正展现名师的教学风采。结合王毓殉先生的名师观和已评选出的名师特点，笔者认为高校教学名师即立足于教育和教学的、知识渊博、学术造诣高深、教学成就突出且有一定知名度、广泛的认可度(包括学生、学校、家长、社会和行政部门的认可)、美誉度和影响度的高校教师。
2.名师标准
从评选国家教学名师始，相关部门就制定了完备的教学名师评选条件和考察指标。本科部分和高职高专部分采用了两套独立的体系，本科部分从教师风范、教学能力与水平、教学梯队建设与贡献、科学研究与学术水平以及外语水平等五个一级指标展开遴选；高职高专部分从教师风范与教学经历、企业经历与行业影响力、教学能力与水平、社会服务能力、教学团队建设等五个一级指标展开评价。不管这些指标体系是否科学，可以看出不管是在本科部分还是在高职高专部分，都非常强调教学能力与水平，这一块的分值最高、要求最详细。最新一届的评选条件明确规定：“‘教学名师奖’评选优先考虑长期承担教学任务并作出突出贡献的一线优秀教师，特别是为低年级学生讲授基础课的优秀教师”，这说明了教学名师的评选立足于教学、侧重于教学。
二、教学名师的统计学特征
根据第四届、第五届高等学校教学名师的评选结果，除了第五届有3位来自总参的获选者没有具体信息外，本文对此两届其余获选的总共194位高等学校教学名师的基本背景资料做了整理和统计，其基本特征情况概括如下：
1.域分布情况
从表1可以看出，来自东部的教学名师为111位，所占比例达到57.2％，占全部总数的一半以上；但来自中部和西部的比例则要小得多，分别为28.9％和13.9％。从这一统计比例可以看出，我国高等学校的教学名师在地域分布上存在着较大的差异，来自东部的教学名师要远远多于中部和西部，西部的比例最小，这也从一定程度上说明了我国高校教师资源的地域分配不均衡。
2.分布情况
年龄信息是以这些教学名师获奖的当年为节点计算出来的，统计的是第四届、第五届高等学校教学名师获奖时的年龄，情况如下：
统计发现，第四届获奖教师最高年龄为71岁、最低年龄为40岁；第五届获奖教师最高年龄为92岁、最低年龄为39岁，两届获奖教师的平均年龄都为53岁。由表2可以看出，高等学校教学名师在年龄分布上具有较为明显的阶段性特征，40岁以下和71岁以上的比例较小，主要的集中在41到60岁之间，总和比例达到了79.9％。这说明了高等学校教学名师的成功是经过长期积累、沉淀和奋斗的结果，不是一蹴而就的。
3.教龄分布情况
在2011年第六届高等学校教学名师的评选条件中，明确限定本科院校候选人原则上须具有20年以上(含20年)高等教育教学经历，高职高专院校候选人原则上须具有10年(含10年)以上高职高专教学经历，这表明教龄对教师成为教学名师有直接的影响。从表3可以看出，教龄在20～30年的名师比例占到了63.9％，其次30年以上的为20.1％，lO年以下的仅占3.1％，说明成为教学名师需要教师在教学岗位上的长期坚持和钻研，教龄的时间积淀是必不可少的。
4.性别分布情况
由表4可以看出，在194名高等学校教学名师中，有158位为男性，占到总数比例的81.4％，这一绝对的比例说明性别因素对于高等学校教学名师的成长有一定的影响，男教师成为名师的概率要比女性的大很多。但我们也可以看到这样一种趋势，第五届女性教学名师的比例相对第四届而言呈明显上升趋势，也许这存在一定偶然性，男女机会均等应该成为一种追求。
5.学历分布情况
从表5可以看出，高等学校教学名师中，硕士、博士等高学历者占绝大部分，部分大学本科学历的主要都是教龄长、教学与科研贡献突出的年长的教师，稍年轻一些的教师学历基本都在硕士以上。教师自身所受的教育程度会影响到高等学校教学名师的发展，现代高等学校教育的发展对教师综合素质和能力的挑战越来越大、要求越来越高，教师也需要不断加强学习和专业能力的发展。
6.任职的学校情况
由表6可以看出，任职于本科院校的教学名师为152名，占到总数的78.4％，这说明高等学校教学名师还是以本科院校的教师为主要发展对象。但与第一、二届高职高专院校名师名额极少、评选指标体系沿用本科院校的情况相比，已经有很大的改观，不仅有了独立的针对高职高专院校名师评选的指标体系，而且名额分配上也有较大的变化，这充分体现了国家和社会对高职高专教育的重视和对其学校教师的认可。
7.担任行政职务情况
从表7可以看出，在194位教学名师中，担任校长、院长、主任等各种行政职务的有178位，占到了91.8％，有的教师还身兼数职；而从表7也可以看出历届教学名师当中，担任副系主任及其以上行政职务者的比例呈明显的上升趋势。从这些统计结果可以看出高校教学名师与行政职务高度关联，为官与为师能否兼顾?这二者是兼容还是彼此剥离?这值得大众思考。
三、教学名师的“教学”
教学是学校教育最关键的环节，教学名师之所以为名师，是其立足于教学，创造性地实施了教学基本环节，并卓有成效。
1.积极促进教学内容更新
纵观近几届的高等学校教学名师，他们在教学内容这一块往往有所更新和创造，他们大多注重教学内容的基础性、系统性和科学性，善于研究和追踪国内外相关领域的最新理论成果，并把新概念、新原理、新方法等带入课
堂，从而丰富课堂教学内容，开拓学生的眼界。同时，会重组课程内容，摒弃某些陈旧重复的课本知识，提炼课程的基础性内容。有的为促进教学内容的更新，会积极地组织参与编写或修改相关教材，使教材的内容更加灵活生动、更加贴近学生的生活。
可以看出，多数教学名师不仅仅向学生传输固有的课本知识，而且能将各相关学科的知识加以整合，并根据学生的特点和原有的知识水平，重新编排和创设出有针对性的教学内容，使得所教授的内容更加符合学生的需要。
2.不断改革教学方法
教学名师在长期的教学工作实践中，往往都积累了丰富的教学经验、掌握了高超的教学技巧和一套科学而又富有个性的教学方法，在教学方法改革方面做出了突出贡献。
在研究第四、第五届高等学校教学名师的参选资料时，笔者发现，这些名师都比较注重发挥学生在教学活动过程中的主体作用，发现他们主要采用启发式、讨论互动式、发现式、探究性学习、结构化、开放式等各种教学方法，目的在于激发和培养学生的学习兴趣，发展学生的基本学习能力和研究能力。在此基础上，培养学生发现问题和解决问题的实际能力，从而培养学生的创新精神。这些教学名师的教学方法大多含有授之以鱼、不如授之以渔的思想。
3.积极地开发与应用各种教学手段
在网络信息技术日益发达的现代社会，教学也不只仅限于实体教室的平面教学，从实体课堂走向网络课堂教学是现代教学发展的一个基本趋势。在这种情况下，充分利用现代教育技术手段、利用网络和现代多媒体等先进设备来辅助传统的课堂教学显得尤为重要。
在教学手段的开发与应用方面，这些教学名师也往往走在前沿。他们除了熟练运用多媒体教学外，还积极地建设和开发包括教材、电子教案和网络教学软件等在内的立体化教学资源，搭建网络教学平台，使得各种教学资源自成体系又相互关联、互为补充又各显优势。网络教学资源的共享可以满足不同专业层次类型学习者的需求。这些现代教学手段的开发和应用，极大地扩充了课堂的信息量，拓宽了学生的知识面，也提高了学生的学习兴趣和热情，为学生自主学习、个性化学习提供了便利，同时也有助于课程建设成果的应用、共享和推广。
4.一流的科研为教学提供支撑
教学和科研是相互依托的。虽然现实中由于教师的个人精力及其他主客观条件有限，教学和科研难以均衡发展，但科研对教学名师的成长和成熟起着不可或缺的作用，学术研究的广度和深度影响着教师的教学水平和教学质量。
教学名师评选考核的指标也包含了科学研究与学术水平，历届教学名师都积极地主持或承担多项高级别的科研项目，并取得了显著的科研成果，撰写相关的专著或论文，及时地向学生传播最优秀、最先进的科研成果，积极地参与教学改革项目，让自己的课堂更能吸引学生。
5.教学获得学生高度认可
1 概述
迄今为止，许多学者对赋权无向图中的最小生成树问题已经进行了研究，提出了很多有效地求解算法，例如破圈法、避圈法等。其实最小生成树问题也可以用整数规划来表示，谢金星教授已给出了最小生成树问题的数学表达式[1]，但其中的无圈等价条件没有证明，并且无圈的等价条件还有许多种表示方法[2-9]，这些表示方法虽然数学表达式不同，但本质上是相同的。因此，该文将对无圈的等价条件给出证明，并给出赋权有向图中最小生成树问题的数学模型。
2 赋权无向图中最小生成树问题的数学模型
对一赋权无向图G，我们假定G无重边和环，即G为简单图，事实上，若G不是简单图，则有以下引理保证也可以求G的最小生成树。
引理：给定赋权无向图G，若G有重边和环，则去掉后结果不会比原来的差。
证明：若G有环，直接去掉，若G有重边，则将重边按权从大到小排列，只留下边权最小的边，其余的重边全去掉，得到新图G*。由于最小生成树问题是要求权最小的生成树，故由G*的生成方式知，G*的最小生成树就是G的最小生成树。
我们用有向图的思想来解决无向图的最小生成树问题。事实上，我们把无向图中的边加倍，看成是不同方向的双弧，这样，就把无向图转化成了有向图。我们首先给出有向树及其相关概念。
定义1 如果有向图在不考虑边的方向时，是一棵树，那么这个有向图称为有向树。进一步，如果有一颗有向树T，恰有一个顶点的入度为0，其余顶点的入度都为1，则称T为根树。
定义2 在有向树T=（V，A）中，当（u，v）∈A时，称u是v的父亲，v是u的儿子。
给定赋权无向图G（V，E），我们将它变成有向图，用[dij]表示两顶点[vi]与[vj]之间的距离，即边的权值；用决策变量[xij]表示顶点vi与vj之间的父子关系，xij=1表示顶点vi是vj的父辈，xij=0表示vi不是vj的父亲。在赋权无向图的最小生成树中，我们可以指定任一个分枝点为树的根，故不妨设顶点[v1]为生成树的根。则该问题的数学模型为：
[minD=（vi，vj）∈Edijxij；s.t.vj∈Vx1j≥1，vj∈Vxji=1， i≠1，xij=0或1.各边不构成圈.]
其中第一组约束表示根[v1]至少有一条边连接到其它的顶点；第二组约束表示除根外，每个顶点只能有一条边进入；同时注意到，各条边均不构成圈.目标函数表示总距离最小。
对于数学模型（1.1）中的“各边不构成圈”的条件，从模型应用和实现的角度，我们给出各边不构成圈的充要条件：
定理1 设T（V， A）是有向图，且存在一点v1∈V，满足d-（v1）=0，而对任意的vi（i≠1）有d-（vi）=1，则T无圈当且仅当存在一组[l（vi）∈1，…，n-1]，[i=2，…，n，]使得
[lvj≥l（vi）+xij-（n-2）?1-xij+n-3?xji，i，j=2，3，…，n，i≠j，]
其中xij=1表示（vi，vj）∈A； xij=0表示（vi，vj）[?]A.
证明：
1） 必要性
假设T（V， A）无圈，则由根树的定义，T为一根树，v1为根，现将T的顶点从根开始按下标从小到大排列，则排列后的顶点满足：若[vi]是[vj]的父亲，则i
下证不等式[lvj≥l（vi）+xij-（n-2）?1-xij+n-3?xji，i，j=2，3，…，n，i≠j]成立。
若xij=0，①xji=0，此时
[l（vi）+xij-（n-2）?1-xij+n-3?xji=l（vi）-n-2≤n-1-n-2≤lvj，]
②xji=1，表明vj是vi的父亲，此时
[l（vi）+xij-（n-2）?1-xij+n-3?xji=l（vi）-1=lvj.]
不等式成立。
若xij=1， 表明vi是vj的父辈，此时xji=0，则有
[l（vi）+xij-（n-2）?1-xij+n-3?xji=l（vi）+1=lvj，]
不等式成立。
2） 充分性
由于T（V， A）是有向图，且存在一点v1∈V，满足d-（v1）=0，而对任意的vi（i≠1）有d-（vi）=1，故假定T中有圈[（vi1，vi2，...，vim，vi1），]则有[xi1xi2=xi2xi3=…=xim-1xim=ximxi1=1，]故有
[l（i2）-l（i1）≥1，l（i3）-l（i2）≥1，…，l（im-1）-l（im）≥1，l（i1）-l（im）≥1，]相加得0≥n，矛盾，所以T无圈。
定理2 赋权无向图的最小生成树问题的数学模型为：
[minD=（vi，vj）∈Edijxij；s.t.vj∈Vx1j≥1，vj∈Vxji=1， i≠1，xij=0或1.lvj≥lvi+xij-n-2?1-xij+n-3?xjilvi=0，1，2，…，n-1.]
3 赋权有向图最小生成树问题的数学模型
设T（V，A）是一棵根树，vk（k=1，2，…，n）为树根，则有以下定理：
定理3 当G（V，A）为赋权有向图时，G的最小生成树问题的数学模型为：
[minD=i=1nj=1j≠indijxij；s.t.vj∈Vj≠kxkj≥1，vj∈Vj≠ixji=1， i≠k，xij=0或1.lvj≥lvi+xij-n-2?1-xij+n-3?xjilvi=0，1，2，…，n-1.]
其中第一组约束表示根[vk]至少有一条边连接到其它的顶点；第二组约束表示除根外，每个顶点只能有一条边进入；同时注意到，各条边均不构成圈.目标函数表示总距离最小.模型（1.4）可以利用lingo、matlab数学软件等求解。
4 实例验证
例：考虑具有8个顶点v1，v2，…，v8的赋权无向图，定义在边上的权重如表1所示，求该图的最小生成树。
从教学艺术的角度分析，霍老师教学的“聪明”之处在于以下几个方面。
其一，善于营造教学氛围。霍老师用一句富有鼓动性的提问“你们愿意做聪明的孩子吗”，获得学生积极的响应：都争先恐后地举起了手。一般说来，如果没有学生的积极响应，单靠教师是很难形成积极的教学氛围的。霍老师深深懂得并准确地抓住小学生争强好胜的心理，才能一句话说到学生的心坎上。教学有了学生积极参与的热烈氛围，便奠定了走向成功的基调。
其二，巧妙设置教学悬念。霍老师说“每个人都有四件宝”，这已经让学生急于了解答案了：“如果学会了运用这四件宝，人就会聪明起来”，这样的宝贝谁不想要啊；“这四件宝是什么呢？”这简直就是所有学生都想问的问题。但霍老师就是能沉住气，偏偏卖个关子：“我暂时不讲。”真让人着急呀！“先让你们猜几则有关人体器官的谜语。”这让学生特别期待猜谜语之后能够揭晓答案。
其三，引导体验思维乐趣。猜谜语是学生喜闻乐见的活动，因为一方面谜语的特点是“不说破”，需要猜谜者积极思考，是有益思维发展的智力活动；另一方面，学生经过自己的独立思考猜出正确答案，会体验到思维活动的乐趣，这样就能促使他们更加喜欢思维活动。所以，霍老师要学生猜谜语，正是要让思维成为课堂教学的主旋律，使学生在思维活动中发展思维能力。
其四，注重良好习惯养成。小学教育担负着养成习惯的任务。学生一旦养成良好习惯，便会终生受益。每当学生猜中一则谜语后，霍老师就让学生讲讲这个人体器官的作用。同时，霍老师联系学生实际，适时引导学生养成良好习惯：“在上课时，要仔细看，但不要东张西望；要认真说，但不要随意说话。总之，要多听、多看、多想、多说。”
其五，形成师生教学默契。课后第二天，霍老师再次发挥教学机智，问了一句让学生回顾昨天上课情景的问题：“四件宝，都带来了吗？”学生心领神会：“带来了！”
