时间：2023-03-10 15:05:27
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第21章 二次根式
1．二次根式：一般地，式子 叫做二次根式.
注意：（1）若 这个条件不成立，则 不是二次根式；
（2） 是一个重要的非负数，即； ≥0.
2．重要公式：（1） ,（2） ；
3．积的算术平方根：
积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积；
4．二次根式的乘法法则： .
5．二次根式比较大小的方法：
（1）利用近似值比大小；
（2）把二次根式的系数移入二次根号内，然后比大小；
（3）分别平方，然后比大小.
6．商的算术平方根： ，
商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.
7．二次根式的除法法则：
（1） ；（2） ；
（3）分母有理化的方法是：分式的分子与分母同乘分母的有理化因式，使分母变为整式.
8．最简二次根式：
（1）满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，① 被开方数的因数是整数，因式是整式，② 被开方数中不含能开的尽的因数或因式；
（2）最简二次根式中，被开方数不能含有小数、分数，字母因式次数低于2，且不含分母；
（3）化简二次根式时，往往需要把被开方数先分解因数或分解因式；
（4）二次根式计算的最后结果必须化为最简二次根式.
10．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.
12．二次根式的混合运算：
（1）二次根式的混合运算包括加、减、乘、除、乘方、开方六种代数运算，以前学过的，在有理数范围内的一切公式和运算律在二次根式的混合运算中都适用；
（2）二次根式的运算一般要先把二次根式进行适当化简，例如：化为同类二次根式才能合并；除法运算有时转化为分母有理化或约分更为简便；使用乘法公式等.
第22章 一元二次方程
1. 一元二次方程的一般形式: a≠0时，ax2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a、 b、 c； 其中a 、 b,、c可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式.
2. 一元二次方程的解法: 一元二次方程的四种解法要求灵活运用， 其中直接开平方法虽然简单，但是适用范围较小；公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误；因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法；配方法使用较少.
3. 一元二次方程根的判别式: 当ax2+bx+c=0 (a≠0)时，Δ=b2-4ac 叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题：
Δ＞0 <=> 有两个不等的实根； Δ=0 <=> 有两个相等的实根；Δ＜0 <=> 无实根；
4．平均增长率问题--------应用题的类型题之一 （设增长率为x）：
(1) 第一年为 a , 第二年为a(1+x) , 第三年为a(1+x)2.
（2）常利用以下相等关系列方程： 第三年=第三年 或 第一年+第二年+第三年=总和.
第23章 旋转
1、概念：
把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角．
旋转三要素：旋转中心、旋转方面、旋转角
2、旋转的性质：
（1） 旋转前后的两个图形是全等形；
（2） 两个对应点到旋转中心的距离相等
（3） 两个对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角
3、中心对称：
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．
这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．
4、中心对称的性质：
（1）关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分．
（2）关于中心对称的两个图形是全等图形．
5、中心对称图形：
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
6、坐标系中的中心对称
两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，
即点P（x，y）关于原点O的对称点P′（-x，-y）．
第24章 圆
1、（要求深刻理解、熟练运用）
1.垂径定理及推论:
如图：有五个元素，“知二可推三”；需记忆其中四个定理，
即“垂径定理”“中径定理” “弧径定理”“中垂定理”.
几何表达式举例：
CD过圆心
CDAB
3.“角、弦、弧、距”定理：（同圆或等圆中）
“等角对等弦”； “等弦对等角”；
“等角对等弧”； “等弧对等角”；
“等弧对等弦”；“等弦对等(优，劣)弧”；
“等弦对等弦心距”；“等弦心距对等弦”.
几何表达式举例：
(1) ∠AOB=∠COD
AB = CD
(2) AB = CD
∠AOB=∠COD
（3）……………
4．圆周角定理及推论:
（1）圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半；
（2）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；(如图)
（3）“等弧对等角”“等角对等弧”；
（4）“直径对直角”“直角对直径”；(如图)
（5）如三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.(如图)
（1） （2）（3） （4）
几何表达式举例：
（1） ∠ACB= ∠AOB
……………
（2） AB是直径
∠ACB=90°
（3） ∠ACB=90°
AB是直径
（4） CD=AD=BD
ΔABC是RtΔ
5．圆内接四边形性质定理:
圆内接四边形的对角互补，
并且任何一个外角都等于它的内对角.
几何表达式举例：
ABCD是圆内接四边形
∠CDE =∠ABC
∠C+∠A =180°
6．切线的判定与性质定理:
如图：有三个元素，“知二可推一”；
需记忆其中四个定理.
（1）经过半径的外端并且垂直于这条
半径的直线是圆的切线；
（2）圆的切线垂直于经过切点的半径；
几何表达式举例：
（1） OC是半径
OCAB
AB是切线
（2） OC是半径
AB是切线
OCAB
9．相交弦定理及其推论:
（1）圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的乘积相等；
（2）如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段长的比例中项.
（1） （2）
几何表达式举例：
（1） PA·PB=PC·PD
………
（2） AB是直径
PCAB
PC2=PA·PB
11．关于两圆的性质定理:
（1）相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦；
（2）如果两圆相切，那么切点一定在连心线上.
（1） （2）
几何表达式举例：
（1） O1，O2是圆心
O1O2垂直平分AB
（2） 1 、2相切
O1 、A、O2三点一线
12．正多边形的有关计算:
（1）中心角an ，半径RN ，边心距rn ，
边长an ，内角bn ，边数n；
（2）有关计算在RtΔAOC中进行.
公式举例：
(1) an = ；
(2)
二 定理：
1．不在一直线上的三个点确定一个圆.
2．任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.
3．正n边形的半径和边心距把正n边形分为2n个全等的直角三角形.
三 公式：
1.有关的计算：
（1）圆的周长C=2πR；（2）弧长L= ；（3）圆的面积S=πR2.
（4）扇形面积S扇形 = ；
（5）弓形面积S弓形 =扇形面积SAOB±ΔAOB的面积.（如图）
2.圆柱与圆锥的侧面展开图：
（1）圆柱的侧面积：S圆柱侧 =2πrh； (r:底面半径；h:圆柱高)
（2）圆锥的侧面积：S圆锥侧 = =πrR. （L=2πr，R是圆锥母线长；r是底面半径）
四 常识：
1． 圆是轴对称和中心对称图形.
2． 圆心角的度数等于它所对弧的度数.
3． 三角形的外心 Û 两边中垂线的交点 Û 三角形的外接圆的圆心；
三角形的内心 Û 两内角平分线的交点 Û 三角形的内切圆的圆心.
4． 直线与圆的位置关系：（其中d表示圆心到直线的距离；其中r表示圆的半径）
直线与圆相交 Û d＜r ； 直线与圆相切 Û d=r ； 直线与圆相离 Û d＞r.
5． 圆与圆的位置关系：（其中d表示圆心到圆心的距离，其中R、r表示两个圆的半径且R≥r）
两圆外离 Û d＞R+r； 两圆外切 Û d=R+r； 两圆相交 Û R-r＜d＜R+r；
两圆内切 Û d=R-r； 两圆内含 Û d＜R-r.
6．证直线与圆相切，常利用：“已知交点连半径证垂直”和“不知交点作垂直证半径” 的方法加辅助线.
第25章 概率
1、 必然事件、不可能事件、随机事件的区别
2、概率
一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率 会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率（probability）, 记作P（A）= p.
注意：（1）概率是随机事件发生的可能性的大小的数量反映.
（2）概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复试验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同.
3、求概率的方法
现就七年级伊始教学的《绝对值和相反数》谈谈笔者的看法.
1.什么叫绝对值呀？学生不能理解.绝对值这个定义可不是能随意篡改的，我们就按照书上说的：“数轴上表示一个数的点与原点的距离叫做这个数的绝对值.”还要再多追问：如果不看数轴，我们可以怎么写出绝对值？学生会总结出一些适合他们自己记忆的方法.最多的是，纯数字部分（就是正数）不涉及正负.再问，为什么都是正的呢？学生们会七嘴八舌的说一些，最具合理性的就是，因为距离没有负的.绝对的数字，此乃歪解，但是很好记.
2.为什么绝对值的符号是“| |”？怎么能记得住.学生说这多容易呀.一写起来就不知道绝对值的概念飞到哪里去了.尤其是正负数混杂在一起的时候：有人写出|+9|=-9；也有求-3的绝对值，写成-|3|=3.我仔细研究后发现，前一种错误，是学生在写了一些负数的绝对值之后，以为，“| |”要把一个数写在符号里，就是把符号变一下，所以写|2.3|=2.3 没有问题，一上符号就不知所云了；第二种是完全没有理解| |的含义，内容听一半，自己脑补一半.
可怎么记住符号呢？我们在数轴上是这样演示的：
点A在原点O左侧且到原点O的距离为3个单位长度，点B在原点O右侧且到原点O的距离为2个单位长度.表示-3的点A与原点的距离是3，因此-3的绝对值是3；表示2的点B与原点的距离是2，因此2的绝对值是2；表示0的点O与原点的距离是0，因此0的绝对值是0.
你看，在数轴上OA间的距离我们用“| |”表示这段距离，所以我们选用| |表示绝对值符号.因为是距离，就绝没有负数的出现.
3.谈到|a|=-a（a < 0）， 学生就问了为什么是负的呀？我问a是什么数？一定是正数么？-a一定是负数么？说清楚a没有条件的情况下可以表示任何数，究其原因学生还不能很好地理解用字母表示数，以及相反数的符号.
那么，导致上述问题的根本原因是什么，数学教学应该注意什么呢？ 学生缺乏获取数学语言的能力，无法从数学符号中获得必要的数学信息，无法正确转化信息是根本原因.一方面，学生不能从数学符号中获得数学符号意义，也就失去了与教师对话的前提条件，就没有与教师互动的动机，只能被动地接受、记忆教师的观点；另一方面，学生不能从数学符号中获得数学符号意义，就无法向教师表达自己的理解，教师就无法准确把握学生的真实水平，容易造成数学教与学的脱节，导致学不会、做不对现象的发生.那么，是什么原因导致了学生缺乏数学符号意义获得能力呢？
1.数学教师忽视了数学知识与数学符号的差异，认为只要让学生记住了教师所讲的话语和教材中的符号，掌握了所练的数学题，就完成了教学任务.当数学教师将自己的经验性知识转换为陌生的、抽象的、枯燥的数学符号讲授给学生时，学生感受到的只是符号的写法和自己对符号意义的理解.这些言语意义只描述了知识的一个侧面或部分，如果学生不能进行认真的反思和体味，很难将数学符号的意义整合为有意义的数学形象.不理解成为必然，学生似懂非懂.
2. 数学教师忽视数学语言与自然语言的差异，不注重学生数学阅读能力的培养.很多教师认为数学书中的数学符号非常简单、数量有限，没有必要进行专门的数学语言教学，学生记住这几个简单的数学符号应该没有问题；也没有想过将文字语言、符号语言、图表语言三类在数学意义的表达上是各有特点和优势的.数学语言符号与自然语言符号有不同的意义表达方式.正是由于数学语言不同于自然语言，而数学教师又忽视数学语言的教学，使学生得不能正确理解数学语言，不能从数学符号中获得所需要的数学信息，成为很多学生学习数学的最大障碍.
3.数学教师忽视数学知识的结构性，使学生只掌握了一些孤立的知识点，没有形成系统的认知结构，不利于学生对数学知识的记忆和转换.数学符号一般有文字、符号、图表三种表征形式，而数学教师在讲课时往往只重视一种形式，导致了学生所学数学知识形式上的“孤立”，无法实现不同符号之间的相互转换；而教师却没有讲授这种转换的方法，更没有专门培养学生的这种符号结构意识和转换能力；最后，学生虽然能够当时听懂、记住孤立的数学知识和解题方法，但这些知识和方法更多是存储在短时记忆中，并没有通过精细加工程序进入到长时记忆中，所以学生会很快忘记所学的知识和所做过的题目.教师不仅没有指挥学生对所学知识进行精细加工，还给学生布置大量的作业，使得学生把主要精力都用到完成作业上，没有时间进行反思和自我总结.即使下次遇到的是同样的题目，学生常常只是保留一点模糊的印象，很难联想到更多的细节.因此，教师注重知识点的传授和掌握，忽视新知识点与原有知识点的联系，是导致做不对的一个重要原因.
一、创设数学问题情境
对数学知识的归纳与推理，往往是以一定的知识经验为基础来进行的，通常情况下，根据特殊、具象化的案例进行切入，通过仔细的分析、探究以及思考，归纳出这些经验的共同点，构成一种理论的猜测，并且对这一猜想进行有效的验证，使其变成真正的结论，并且能够对这一知识点进行活学活用。初中生刚刚步入青春期，思维能力较为发达，逐渐具备了一定的形象思维能力，但是其抽象思维能力仍然有待提高。所以，教师在实际教学的过程中，应当结合具体的教学内容与学生的认知能力，创设数学问题教学情境。并且保证这些问题情境能够贴近于生活，具备一定的趣味性，这样才能有效的提升学生的学习热情。学生在问题情境之中学习数学知识，能够帮助学生有效的归纳出知识点中的共同规律，使学生逐渐具备一定的归纳意识。
例如，在学习北师大版初中数学七年级上册《有理数极其运算》这一单元时，针对于其中正数与负数的概念问题，教师可以结合学生熟悉度比较高的天气问题进行问题情境的创设：同学们，今天的我们这一地区天气预报的气温是-4℃至6℃之间，请问同学们，6℃表示什么？-3℃又表示什么呢？我们这一地区的温差为多少摄氏度呢？这种和天气相关的问题学生们往往非常熟悉，因此能够提高课堂学习的专注度。教师也可以将家庭中某个月的收入与花销表展示给学生，因到学生分析自己家里花销与收入的情况。在初中数学课堂教学的过程中创设问题情境，能够使学生感悟生活中存在的数学知识，通过形象思维的形式来归纳正负数的概念，这样对提升学生的归纳意识具有很大的推动作用。
二、对数学知识的形成过程进行分析
通过前人不断的归纳与总结，从而总结出了各种各样的数学定义、公式与概念。初中数学课堂教学的过程中，教师应当为学生提供丰富的学习资源，使学生在归纳总结与思考的过程中具备有效的发挥空间。学生通过对数学知识的形成过程进行深入的分析，这样才能使学生的归纳意识得到大幅度的提升。
例如，在学习北师大版初中数学八年级上册《勾股定理》这一部分内容的过程中，教师应当向学生渗透勾股定理的形成过程。上古时期，人们在进行房屋建筑工作的过程中，初步认识到了直角三角形，发展到西周的时候，当时有名的算学宗师商高总结古人的经验，对勾股定理进行了归纳，也就是勾三股四弦五。通过向学生渗透古人的典故，使学生充分认识到所有的数学公式、定义都是各个时期的人们在生产实践的过程中归纳总结得出的，是人们智慧的结晶，也是人们对客观事物的理性、抽象性的理解。教师还可以运用多媒体设备，使学生了解现实生活中需要运用勾股定理的案例，这样不仅能够培养学生对知识的应用意识，并且能够有效的提升学生对数学知识的归纳意识。
三、鼓励学生自主学习
一、由生活问题趣味引入数学教学
数学与生活有着密切的联系，生活中到处可见数学问题，学习数学的根本目的是为了解决生活实际问题。在数学课堂上，应用生活问题引入数学问题会让数学课堂变的有趣起来。以前，老师在课堂上引入数学问题的时候，往往是由枯燥的数学理论引入的，这种陈旧的教学方式不能够提起学生的兴趣，还可能导致整堂数学课的失败。因此， 在课堂开始的阶段，老师应当首先列举一些生活中的案例，然后向学生提问案例中出现数学问题的地方，并对这个数学问题进行分析，最终将其解决，引入本堂课的教学内容。
以苏教版初中数学七年级下册第十章“二元一次方程”为例：课堂刚开的时候，我根据生活中看电影的情景向学生提出一个问题：小王说：“昨天，我们8个人去看电影，买电影票花了34元，每张成人票5元，每张儿童票3元。”问：他们究竟去了几个成人，几个儿童？如果学生用以前的方法来计算，只能靠猜的方式来得出答案。然后，我立即向学生引出了二元一次方法来解决这个生活问题。首先，设有成人x个，儿童y个，由题意得x + y = 8， 5x + 3y = 34，将两个方程联立，可解得x = 5， y = 3.
利用这种生活趣味问题引入教学内容的方式，学生的思维可以从生活顺利过度到数学问题，更容易增加学生的学习动力，让课堂呈现生机。
二、增加数学游戏，让课堂活跃起来
学生普遍具有喜欢做游戏的特点，因为游戏具有很强的趣味性。在数学教学中，如果能够将教学内容以游戏的方式展现出来，可以使本身枯燥无味的数学课堂变的充满趣味，在做数学游戏的过程中，掌握数学知识，练习数学技能。因此，老师在数学课堂中，应该适当增加数学游戏的部分，这样不仅不会耽误学生的课堂时间，也不会延误正常的教学进度，反而会让学生感觉到数学是有趣的，更能够提高学生对于数学教学的参与度，让课堂真正活跃起来。
以苏教版初中数学七年级上册“走进图形世界”为例：在课堂上，我提出了一个数学的游戏的想法，游戏规则为利用形状相同或形状不同的正多变形组合起来镶嵌成一个固定大小平面的游戏。如，将正三角形整齐排列在一起可以组成一个平面，将正方形排列在一起也能组成一个平面。学生听到这个想法之后，通过准备剪刀与纸张，立即展开了游戏，所有的学生都积极参与到这种有趣的游戏中来，课堂气氛异常高涨。这样的数学游戏操作简单，且具有十足的灵活性，学生容易产生兴趣。在拼凑的过程中，学生需要进行整个平面布置的思考与设计，通过计算分析，再将这些三角形、四边形或者多边形拼凑在一起，同时也增强了学生的探索、实践能力，让课堂在趣味游戏中焕发生机。
三、角色互换，让学生变成学习的主人
数学课堂的主体是学生。目前，在数学课堂教学过程中，老师一人演讲的教学方式几乎占到数学课堂的全部。通过这样被动的方式被动学习的学生，对于知识的掌握难以难以到达孰能生巧的程度。并且，很多学生似懂非懂，似会非会，表面上听的头头是道，实际上对于老师所讲的数学内容一知半解。因此，在课堂教学过程中，对于一些学生容易出错的内容，老师应该让学生走上讲台，向全体学生讲解这类数学问题。通过学生演讲的方式，增加课堂趣味，带动课堂气氛的提高。
以苏教版初中数学八年级下册第七章第七节“一元一次不等式与一元一次方程”为例：由于学生已经掌握了关于一元一次不等式的基本知识，对于一元一次方程也有了熟练的掌握，因此，我让学生自己对这两个知识点之间的联系进行自我总结，可以与其他学生进行探讨交流。学生总结之后，我让一名学生走上讲台，向其他学生讲解这部分知识。该学生讲解过程中，其他学生都在认真的听讲，他们对于学生讲课这种新颖而富有趣味的上课方式产生了很大的兴趣，数学课堂变的生机十足。
四、开设数学知识课堂竞赛
以往数学的考核方式是通过学生做大量的试卷练习，在试卷练习中巩固数学知识，提升应用数学问题的能力。然而，如果在课堂上采用这样的考核方式，本来就珍贵的课堂时间就会大量的被浪费掉，课堂气氛也会变得沉闷、毫无生机。并且，这样的考核方式形式单一，容易使学生产生厌烦的心理，不利于学生对于数学的学习。为了让数学变得更加有趣，课堂变的更具生机与活力。老师可以在班级里定期举办数学知识课堂竞赛活动。通过比赛，一个人学习数学变成了全体学习数学，更容易发挥学生的能动性。
一、注重科学探究，培养学生的探究能力
数学新课程标准提出了必须以科学探究为主要的学习方式，学生从事探究的过程中会对自然界有所认识，其目的是培养学生的科学素养和一定的科学探究能力、探究意识，作为新课程下的数学教学，教师要明确探究活动是新课程的主线之一。
一方面：要不失时机的对学生进行探究和实践指导，使其形成良好的探究习惯和意识。例如，“函数的单调性”一课中，教师要注意有意识地进行探究活动步骤和方法的指导。
二、使抽象的数学知识形象化
职中数学知识抽象化程度很高，有很多知识与生活脱离比较远，职中学生从初中的简单形象数学到复杂抽象的数学往往难以适应，如在职中数学教学中设置一些情境使知识形象化来进行学习，教学效果将会明显提高。德国教育家第斯多德曾指出：“教学的艺术，不在于教授的本领，而在于激励、唤醒、鼓励”。情境创设有着其重要的作用，不仅可以让学生更加容易地掌握所学过的知识，更能加深对这些知识点的认识，而且可以通过师生互动使原本枯燥、抽象的数学知识变成学生所希望了解的、生动的知识。因此，如何更有效地创设情境就显得尤其重要了。
三、进一步转变教学观念，充分认识数学交流的重要性
基于数学学习理论的考查，使我们认识到数学学习的目的是促进个体获得对数学知识的理解，形成解决问题的能力，促进包括情感、实践能力和创新意识在内的全面发展与个性发展。
四、合理使用多媒体辅助教学，优化数学课堂教学
随着科学技术的不断发展，教学手段也要不断更新。多媒体辅助教学作为现代化教学手段之一，已越来越为人们重视。其优势在于它能把文字、声音、图形、图像、动画等融为一体，活化教材，使教学内容形象化。更加符合学生的年龄特征和思维特点。在职中数学课堂教学中。根据实际需要，正确合理地使用多媒体辅助教学，可显著地提高教学效率，以达到课堂教学最优化的目的。
五、在例题教学中揭示数学思想方法
解题的过程实质上是在化归恩想的指导下，合理联想提取相关知识，调用一定数学思想方法加工、处理题设条件和知识，逐步缩小已知条件与所求结论间的差异过程。运用数学思想方法分析、解决问题，可开拓学生的思维空间；优化解题策略。
六、在复习归纳总结中概括数学思想方法
数学思想方法贯穿在整个数学教材的知识点中，以内隐的方式融于数学知识体系。要使学生把这种思想内化成自己的观点，应用它去解决问题，就要把备种知识所表现出来的数学思想适时地作出归纳概括。概括数学思想方法要纳入教学计划，要有目的、有步骤地引导参与数学思想的提炼概括过程，特别是章节复习时在对知识复习的同时，将统领知识的数学思想方法概括出来，以增强学生对数学思想的应用意识，从而有利于学生更透彻地理解所学的知识，提高独立分析、解决问题的能力。
七、在概念、定理、公式、法则教学中渗透数学思想方法
关键词：培养；高中数学；教学；创新意识
一、培养高中生创新意识的关键性
随着社会的发展，充分展现了“创新意识是国家和民族的发展动力和源泉”这句话的深刻性。所以在高中数学教学的方式上，老师应该从实际出发，充分掌握学生的年龄阶段和他们对知识的理解能力，从而激发学生的积极性和对知识的创造意识，提出适合学生年龄阶段的数学问题，引导学生独立解决问题。老师可以通过对学生的情况表现，不断地将教学问题进行延伸，从而达到数学知识和日常生活实际相互联系。所以，数学教师在日常的教学生活中，应该培养学生的创新意识，以至于达到自觉学习数学的能力，并可以充分利用所学知识。
二、培养高中生创新意识的主要途径
在高中数学学习中，增强学生的创新意识极其重要。顾名思义，创新意识就是指在一定的思维程度上能够加强思维的开发和延伸，能够通过实践得出真知，高中阶段学生的创新思维能力有限，不善于总结找出结论，在考虑问题时不够全面。所以在高中数学教学中，我们应该在三个方面着手培养学生的创新意识：（1）加强创新意识的渗透。（2）加强学生对于数学的总结能力，使学生能够充分掌握知识点，然后对知识进行概括。（3）使学生具有最基本的推理能力。在解决问题的过程中，要具备逻辑推理的过程，使学生能够掌握数学推理能力。（4）如何增强实际应用的能力，对所学的知识进行创新。例如，在讲人教版高中数学第二册（上）第七章第七节“圆的一般方程”授课过程中，高中数学老师应该帮助学生树立创新的意识，通过学习圆的一般方程，引导学生进行总结，可以得到什么样的学习技巧和方法，又该怎样去创新所学的知识。
综上所述，当今高中数学教学的关键所在就是对学生综合创新意识的培养。在老师的带领下，让学生自觉主动地参与到数学学习中来，结合实践充分理解数学知识的来源及其和日常生活的联系，在展现自我能力的同时对数学学习有更深层次的理解。综合提高学生的创新意识，才能达到新课标的要求，才能推动数学学科不断向前发展，创造一个新的数学领域。
一、预习方法的指导
七年级学生往往不善于预习，也不知道预习起什么作用。预习仅仅是流于形式，草草看一遍，看不出问题和疑点。在指导学生预习时应要求学生做到：一粗读，先粗略浏览教材的有关内容，掌握本节知识的概貌。二细读，对重要概念、公式、法则、定理反复阅读、体会、思考，注意知识的形成过程，对难以理解的概念作出记号，以便带着疑问听课。方法上可采用随课预习或单元预习。预习前教师先布置预习提纲，使学生有的放矢。实践证明，养成良好的预习习惯，能使学生变被动学习为主动学习，同时能逐渐培养学生的自学能力。
二、指导学生学会读数学书
1.阅读引言
（1）章节标题，因为它标出了课文主题；（2）注意理解段落大意，弄明白引入新知识的直观素材；（3）抓住关键字、词、句和重要结论，这对于理解新知识非常重要。
2.阅读概念
（1）要正确理解概念中的字、词、句，能正确进行文字语言、图形语言和符号语言的互译；（2）要注意联系实际找出正反例子或实物；（3）要弄明白概念的内涵和外延，也就是说既能区分相近的概念，又能知道其适用范围。
3.阅读定理
（1）要注意分清定理的条件和结论；（2）要探讨定理的证明途径和方法，通过与课本对照，分析证法的正误、优劣；（3）要注意联系类似定理，进行分析比较，掌握其应用；（4）要思考定理可否逆用，推广及引申。
4.阅读公式
（1）要弄明白公式的来龙去脉，会推导公式；（2）要明白公式的特征并能想法子记住；（3）要注意公式的应用条件，弄明白有关公式的内在联系，了解公式的运用、逆用、合用、变用和巧用。
5.阅读例题
教材中的例题，是学习如何运用概念定理公式最一般的示范，阅读时要作为重点。（1）分析解题过程的关键所在，尝试解题。（2）要和课本比较解法的优劣，并使解题过程的表达既简捷又符合书写格式。（3）要注意总结解题规律并努力探求新的解题途径。这对提高解题能力大有益处。
三、听课方法
听课是学生学习数学的主要形式。在教师的指导、启发、帮助下学习，就可以少走弯路，减少困难，能在较短的时间内获得大量系统的数学知识，否则事倍功半，难以提高效率。所以听课是学好数学的关键。
学生除在预习中明确任务，做到有针对性地解决符合自己实际的问题外，还要集中注意力，使自己的思维活动紧紧跟上教师的讲课，开动脑筋，思考教师怎样提出问题、分析问题、解决问题。特别要从中学习数学思维的方法，如观察、比较、分析、综合、归纳、演绎、一般化、特殊化等，就是如何运用公式、定理，其中也隐含着思想方法。
在听课时，一方面要理解教师讲的内容，思考或回答教师提出的问题，另一方面要独立思考，鉴别哪些知识已经听懂，哪些还有疑问或有新的问题，勇于提出自己的看法。如果课内一时不能解决，就应把疑问或问题记下，留待课后自己思考或请教老师。专心听老师讲课，切勿因一处没有听懂，思维就停留在这里，而影响后面的听课。听课时要把老师讲课的要点、补充的内容与方法记下，以备复习之用。
四、课后复习巩固及完成作业方法的指导
学生课后往往容易急于完成书面作业，忽视必要的巩固、记忆、复习，以致出现照例题模仿、套公式解题的现象，造成为交作业而做作业，起不到作业的练习巩固、深化理解知识的应有作用。为此，在这个环节的学法指导上要求学生每天先阅读教材，结合笔记记录的重点、难点，回顾课堂讲授的知识、方法，同时记忆公式、定理（记忆方法有类比记忆、联想记忆、直观记忆等）。然后独立完成作业，解题后再反思。在作业书写方面也应注意“写法”指导，要求学生书写格式要规范、条理要清楚。七年级学生要做到这几点很困难。指导时应教会学生：1.如何将文字语言转化为符号语言；2.如何将推理思考过程用文字书写表达；3.由条件画出图形。这里教师的示范作用极为重要，开始可有意让学生模仿、训练，逐步使学生养成良好的书写习惯，这对今后的学习和工作都十分重要。
五、小结或总结方法的指导
在进行单元小结或学期总结时，学生总是习惯于依赖教师。因此，从七年级开始就应该在教师的指导下培养学生学会自我总结的方法。在具体指导时可以给出一些复结的方法和途径。要做到：一看：看书、看笔记、看习题，通过看，回忆、熟悉所学的知识内容；二列：列出相关的知识点，标出重点、难点，列出各知识点之间的关系，进行分类、归纳，使所学的知识系统化、结构化、网络化；三做：在此基础上有目的、有重点、有选择地解一些各种档次、类型的习题，通过解题再反馈，发现问题、解决问题，最后归纳出解题方法。学生总结与教师总结相结合，教师总结要达到精炼和升华知识、突出数学思想方法的目的，使学生的学习水平向更高层次发展。
六、数学学习方法的指导形式
1.讲授式。包括课程式和讲座式。课程式是在七年级新生入学时安排几次课向学生介绍学习中学数学的方法，提出数学学习常规要求，作为七年级新生数学课的入学教育。讲座式可分专题进行，可每月搞一至二次。如介绍怎样听课、如何记课堂笔记内容等。
2.交流式。让学生互相交谈，介绍各自的学习方法。可请本班、本年级或高年级的学生介绍数学学习的方法、体会和经验。这种方式学生易于接受，气氛活跃，不求大而全，只求有所得，使交流真正起到相互促进作用。
学习这件事不在乎有没有人教你，最重要的是在于你自己有没有觉悟和恒心。任何科目学习方法其实都是一样的，不断的记忆与练习，使知识刻在脑海里。下面是小编给大家整理的一些初一数学的知识点，希望对大家有所帮助。
七年级数学知识点三角形
1、三角形由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形。
2、判断三条线段能否组成三角形。
①a+b>c(ab为最短的两条线段)
②a-b
3、第三边取值范围：a-b
4、对应周长取值范围
若两边分别为a,b则周长的取值范围是2a
如两边分别为5和7则周长的取值范围是14
5、三角形中三角的关系
(1)、三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于1800。
n边行内角和公式(n-2)
(2)、三角形按内角的大小可分为三类：
(1)锐角三角形，即三角形的三个内角都是锐角的三角形;
(2)直角三角形，即有一个内角是直角的三角形，我们通常用“RtΔ”表示“直角三角形”,其中直角∠C所对的边AB称为直角三角表的斜边，夹直角的两边称为直角三角形的直角边。
注：直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余。
(3)钝角三角形，即有一个内角是钝角的三角形。
(3)、判定一个三角形的形状主要看三角形中角的度数。
(4)、直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半。
6、三角形的三条重要线段
(1)、三角形的角平分线：
1、三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
2、任意三角形都有三条角平分线，并且它们相交于三角形内一点。
(内心)
(2)、三角形的中线：
1、在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线。
2、三角形有三条中线，它们相交于三角形内一点。
(重心)
3、三角形的中线把这个三角形分成面积相等的两个三角形
(3)、三角形的高线：
1、从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称为三角形的高。
2、任意三角形都有三条高线，它们所在的直线相交于一点。
(垂心)
3、注意等底等高知识的考试
7、相关命题：
1)三角形中最多有1个直角或钝角，最多有3个锐角，最少有2个锐角。
2)锐角三角形中的锐角的取值范围是60≤X
3)任意一个三角形两角平分线的夹角=90+第三角的一半。
初一下册数学《三角形》知识点一、目标与要求
1.认识三角形，了解三角形的意义，认识三角形的边、内角、顶点，能用符号语言表示三角形。
2.经历度量三角形边长的实践活动中，理解三角形三边不等的关系。
3.懂得判断三条线段可否构成一个三角形的方法，并能运用它解决有关的问题。
4.三角形的内角和定理，能用平行线的性质推出这一定理。
5.能应用三角形内角和定理解决一些简单的实际问题。
二、重点
三角形内角和定理;
对三角形有关概念的了解，能用符号语言表示三条形。
三、难点
三角形内角和定理的推理的过程;
在具体的图形中不重复，且不遗漏地识别所有三角形;
用三角形三边不等关系判定三条线段可否组成三角形。
四、知识框架
五、知识点、概念总结
1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
2.三角形的分类
3.三角形的三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。
4.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。
5.中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。
6.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
7.高线、中线、角平分线的意义和做法
8.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。
9.三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°
推论1直角三角形的两个锐角互余;
推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和;
推论3三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角;
三角形的内角和是外角和的一半。
初一数学学习方法一预习
对于理科学习，预习是必不可少的。我们在预习中,应该把书上的内容看一遍，尽力去理解，对解决不了的问题适当作出标记，请教老师或课上听讲解决，并试着做一做书后的习题检验预习效果。
二听讲
这一环节最为重要，因为老师把知识的精华都浓缩在课堂上，听数学课时应做到抓住老师讲题的思路，方法。有问题记下来，课下整理，解决，数学课上一定要积极思考，跟着老师的思路走。
三复习
体会老师课上的例题，整理思维，想想自己是怎么想的，与老师的思路有何异同，想想每一道题的考点，并试着一题多解，做到举一反三。
四作业
认真完成老师留的习题，适当挑选一些课外习题作为练习，但切忌一味追求偏题，怪题，更不要打“题海战术”。
五总结
【关键词】兴趣教学 初中数学 应用方法
中图分类号：G4 文献标识码：A DOI：10.3969/j.issn.1672-0407.2017.03.004
教育学专家在长期研究过程中发现，兴趣是学生学习的重要的积极因素。只要学生在学习过程中，对某一科目或者某一问题产生兴趣，那么这一兴趣就会促使学生动用更多精力想方设法的解决这一问题，而且在解决的过程中，学生的态度也是坚持不懈的。兴趣成为帮助学生增加认知的重要动力因素，也是帮助学生继续探索活动的推动力。在数学教学中，教师应该发挥自身的引导作用，帮助学生形成良好的学习习惯和积极的学习心态，培养学生的兴趣，让学生在欢快的氛围中学习数学。
一、教师应以积极情感状态面对学生
教学过程既是教师教导学生的过程，也是引导学生情感的过程。学生是富含感情的主体，每个学生因为成长环境和家庭因素和个人性格等，内心世界也各有不同，需要老师的鼓励和教导。并且教师应该从内心出发，给予学生真正的信任和尊重。数学教师教导学生，除了要有丰富的数学知识、融会贯通的解题思路和技巧以及严谨的态度之外，还要有爱护学生、教育学生的思想情感。教师讲课的时候，应该用饱满的情感和柔和的声调感染学生。学生做题或者有不懂的问题时，教师应该用正面的话语帮助他们恢复自信，用正确的方法引导学生学习。
二、设置有趣的课堂学习环境
众所周知，数学知识比较难理解，尤其初中数学知识，是由小学数学向高中数学过渡的重要连接阶段。如果学生对数学课程的内容没有兴趣的话，学生可能掌握不了知识，更别说学习技巧的解题方法了，有些学生对数学课程甚至产生了抵触情绪。所以，教师在安排课程内容和设置讲课模块时，应该将刺激学生的学习兴趣放在重要位置上，不断引导学生，让学生在自由、有趣的环境中挖掘知识的内涵。在开始一个新的模块时，用贴切的事例向学生介绍主要内容显得非常关键。比如，课程进行到平面几何这一章节时，数学教师应该在该章节的开头，用有趣味性的语言向学生介绍。可以将故宫建筑的对称设计作为例子，利用多媒体手段将与故宫有关的图像或照片展示给学生，让学生对几何基础概念等有所了解，再在接下来的时间内提出问题，让学生总结几何的定义，以确保学生对几何的了解。学生在有趣的课堂环境中，更容易掌握知识。
三、重视课堂所提问题的趣味性
学生在课堂环境中，因为比较正式所以容易紧张。有趣味性的问题能让学生轻松的融入到课堂环境中，促使学生在课堂上积极思考，加大了解决数学问题的可能性。初中数学知识章节中，涉及到的方程组计算是整个初中阶段所占比重不小的知识模块。教师应该在讲课中，以趣味性语言向学生发问。比如，让班里的学生分别扮演店员和买家，店员向买家介绍物品的信息，并告诉买家该物品的现价为240元，这一物品在原成本的基础上曾经上调过40%，又在目前的基础上进行八折销售。这个时候老师发问，如果设原价为X，那么根据已知条件，请计算出原价是多少。学生在老师设置的课堂情境中，能够融入其中。老师的发问方式也比较有趣，不同于往日提问那么生硬。老师的趣味性发问调动了课堂的气氛，学生愿意参与其中，并积极解答老师的发问。
四、“卖关子”加重学生的好奇心
数学教师在教学过程中，可以适当设置悬念，给学生留下一定的好奇心，能够让学生在上课过程中集中精力听课，学生能在短短的40多分钟内，快速掌握课程的知识点。这一过程也加强了教师的教学成果。比如，在教学过程中，数学教师利用发达网络搜索贴合课程内容的素材，并通过教学用的多媒体器材将素材呈现在学生眼前。这种素材既包括符合教学重点内容的图像等，也包括适当的生活实例等。学生看到教师准备的材料，肯定会提出问题，有些没有提出的问题可能已经在学生脑海中变成重点解决对象。教师在这个时候可以设置问题，让学生带着疑惑和问题走进数学课程内容中。比如，在课堂的最初几分钟时，老师问学生：“8减去1，结果为7，没错吧？”学生回答：“没错”。老师接着说：“那1减去8，结果是多少呢？”学生这个时候都露出了一副“老师，你搞错了”的表情。学生心里已经产生了很大的疑问，成功的引出了学生的好奇。接着老师就可以将问题过渡到之后要讲的内容上，让学生带着问题去听课。
五、不断引申已经掌握的知识点
数学知识本身具备灵活、多变的特性。数学教学过程中，教师应该在课程之前就对要讲的知识点进行研究。要在现有问题的难易程度上进行探索，要在浅显易懂的问题的基础上，将问题继续延伸，让学生在现有的思考范围中解放出来，让思考发射到更远的问题上去。帮助学生们了解更多的新知识，扩展了他们的解题思路和技巧。比如，涉及到“SAS”知识点时，教师可以通过观察学生的学习情况和课堂的解题速度，了解学生对知识点的掌握情况。并根据课后题的难易程度和提问方式方法，在原题的基础上做出些许改变，让初学这些知识的学生能够在已经了解公式和理论的基础上，灵活运用这些知识点。
六、向学生介绍数学发展历程中的真人真事
数学这一人类历史上的重要学科，在发展过程中一定包含了非常多的人民的智慧。无数个数学家的不停钻研和思考，才有了今天的数学。在教学过程中，应该多展示这个学科的历史背景，引用数学史中有趣的资料内容，刺激学生学习的热情，帮助学生掌握更多的有关数学的知识。在讲解“有理数”时，可以从原始社会“计数”开始。原始社会计数时，依靠绳子上的绳结数量计算，也有通过计算石头的堆积数量来分配食物的情况。后来，又在这一基础上产生了自然数的概念。在计量土地等的过程中出现了正分数的概念，有了正分数又产生了与之对应的负数，逐渐的又形成有理数的概念。而我国的数学家对数学这一学科的发展也作出了非常大的贡献。比如，祖冲之在前人的基础上，将圆周率的精确度提高到另一个档次。学生在这些事实中能够了解到许多故事，激发本身学习数学的热情。同时，在这种“为了数学，不怕挫折”的精神引领下，学生们也受到该精神的引领，对学习数学产生了极大的兴趣。
