时间：2023-03-30 11:36:02
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关键词：初中数学；漏根；漏值
一题多解问题是中学数学中的一种经典题型，是每次大考必出的题型。中学数学考试中没有多项选择题，而一题多解（根）问题其实就是多项选择题的变形，是多项选择题的有效补充。由于学生在分析一题多解（根）问题时对题目全局没有考虑透彻，导致“漏根”“漏值”。通过反思、总结，我认为在初中阶段主要有以下几个“点”会出现“漏根”“漏值”问题：
一、绝对值中的“漏根”“漏值”问题
此类问题关键点是某数绝对值为一个正数，则满足条件是解有两个，且互为相反数。即|x|=a则x=±a。
例1 若|x|=5，则x的值为：_______。
分析：这个题目有同学在做的过程中只考虑-5这个值，而漏了+5这个值，主要原因是对绝对值性质没有全面理解而造成的，我们在平时的教学和学习中只要对绝对值的性质全面理解该问题就能迎刃而解。
例2 在数轴上与表示“1”的点距离为3的点表示的数为：_______。
分析：本题型其实也是对绝对值的性质理解的问题，由于距离无方向，这样的点在1的左右两边各有一个，所以这样的点共有2个，而部分学生只考虑到1的右边这一点，而漏掉左边这一点，导致“漏根”“漏值”。如图可见，在1的左右各有一点分别为：-2和4。
二、圆中的“漏根”“漏值”问题
在圆中出现“漏根”“漏值”的情况比较多，主要是因为直线与圆、圆与圆的位置关系、圆周角等的多样性，导致“根”和“值”的多样性，如果对题目的把握没有总体观念，或总体观念不强，均会造成“漏根”、“漏值”。
1.同弦所对的圆周角中的“漏根”“漏值”情况。
同弦所对的圆周角分两种情况，在弦同侧及异侧（因为圆中一条弦把圆分成两段弧，每段弧都对着一个圆周角），它们是一组互补的角。
例3 在O中，弦AB所对的圆心角为120°，则弦AB所对的圆周角为：_______。
分析：如图，大多数时候考生在解此题时只考虑到∠C，而忽略了∠D，导致“漏根”“漏值”。
2.两圆相切求圆心距的“漏根”“漏值”问题。
由于两圆相切分两种情况：外切与内切。而考生经常只考虑到其中一种。
例4 已知O与O′相切，它们的半径分别为3和6，则的圆心距为：_______。
分析：如图两圆相切分外切和内切两种情况：
情况一：两圆外切时，圆心距为两圆半径之和，此时圆心距为3+6=9。
情况二：两圆内切时，圆心距为两圆半径之差，此时圆心距为：6-3=3。
综上所述，O与O′的圆心距为9或3。此类题主要注意两圆相切分为相内切和相外切，如果题目没有指明是相外切还是相内切，一定要将两种都考虑进去，否则就会出现“漏根”“漏值”。
3.在同圆中求两条平行弦间的距离时的“漏根”“漏值”问题。
此类题型其主要分两条平行弦是在圆心同侧还是在圆心异侧两种情况，而考生经常只考虑其中一种情况。
例5 已知O的两条平行弦长分别为6和8，圆的半径为5，求两弦的距离。
分析：圆中两条弦平行分两种情况：
情况一：当两平行弦在圆心同侧时过点O作AB弦与CD弦的垂线，通过垂径定理及勾股定理可求得两弦的距离为：1。
情况二：当两平行弦在圆心异侧时过点O作AB弦与CD弦的垂线，通过垂径定理及勾股定理可求得两弦的距离为：7。
此类型题在题目未给定两平行弦是否是在圆心的同侧或异侧，一定将两种情况均考虑进去，避免“漏根”、“漏值”。
4.圆中的其他“漏根”“漏值”情况。
已知一点到圆周的最长与最短距离求直径的“漏根”“漏值”情况。当已知点未给定在圆内还是圆外，需将两种情况均考虑进去。
例6 已知点A到的最长距离及最短距离分别为6和2，求的直径。
分析：由于点A未给定是在圆内还是在圆外，所以必须对点A分在圆内和圆外来考虑，否则将会出现“漏根”“漏值”情况。
对点A的位置进行分类后，易知O的直径为：4或8。
已知圆半径及公共弦长，求圆心距时的“漏根”、“漏值”情况，此类题型主要注意是否指明两圆心是在公共弦的同侧及异侧，否则必须分两种情况进行考虑，不然就会出现“漏根”、“漏值”情况。
例7 已知两圆半径分别为6和8，公共弦长为10，求两圆的圆心距。
分析：本题没有指明圆心是在公共弦的同侧还是异侧，必须将两种情况考虑进去，而考试常常只考虑一种情况导致“漏根”“漏值”情况的发生。
本题分类后利用勾股定理不难得出结果。
三、三角形中的“漏根”“漏值”情况。
三角形中会出现“漏根”“漏值”的题型常见的有两类：一是等腰三角形中已知两边长求周长或已知一角求其余两角；二是直角三角形中已知两边求第三边。
类型一：等腰三角形中的“漏根”“漏值”问题
1.已知等腰三角形两边求第三边。由于没有指定已知这两边哪一边是腰，哪一边是底。所以要分两种情况来考虑，同时要注意三边长是否满足三角形三边之间的关系。
例8 已知等腰三角形两边长分别为4和7，求三角形周长。
分析：由于没有指定4和7哪一边是腰，所以分两种情况考虑。
当4为腰时，三边长分别为4、4、7，满足三角形三边之间的关系，此时周长为15。
当7为腰时，三边长分别为7、7、4，满足三角形三边之间的关系，此时周长为18。
例9 已知等腰三角形一个内角为70°，求此三角形的另外两个内角的度数。
分析：由于没有指定已知角是顶角还是底角，所以分两种情况进行考虑，并利用三角形的内角和为180°来求出结果。
情况一：当已知角为顶角时，三个内角分别为：70°、55°、55°。
情况二：当已知角为底角时，三个内角分别为：70°、70°、40°。
注意：当已知角大于或等于90°时，不能做底角，只能做顶角。
类型二：直角三角形中已知两边长，求第三边长。
由于没有指定已知两边均为直角边还是一边为直角边一边为斜边，所以必须分两种情况考虑，否则将出现“漏根”“漏值”情况。
例10 已知直角三角形两边长分别为3和4，求第三边长。
分析：本题中考生经常将3和4当直角边（因3、4、5这组勾股数的思维定势）来考虑，导致“漏根”“漏值”情况。其实题目中并没有给定已知边均为直角边还是一边为斜边一边为直角边。所以必须分两种情况进行考虑。
情况一：当已知边3和4均为直角边时，此时要求的第三边为斜边，根据勾股定理易得出第三边为5。
情况二：当已知边3为直角边，4为斜边是，此时要求的第三边为直角边，根据勾股定理不难得出第三边长为。
【关键词】初中数学 以惑教学 方法 实验 反思
“以惑教学”是一种很好的教学模式，尤其能够在初中数学课程的教学中发挥积极的教学辅助功效。教师可以透过激发学生的疑惑来实现教学导入，并且以此为知识教学的有效铺垫。好的问题不仅能够让学生的好奇心与求知欲充分被调动起来，还能够很好的激发学生的思维，让学生们更为灵活的展开对于知识的有效应用。这才是高效的课堂教学中应当收获的教学成效。
一、教学情境的良好引入
以惑教学需要循序渐进的展开，首先，教师要有效的实现教学情境的导入，这是以惑教学能够很好的展开的基础。教师可以透过一个话题的创设或者是一个相关的生活场景的呈现来引入课堂教学的主题，并且在过程中有效的引发相关的问题让学生们思考，这也是将“惑”很好的提出的一个有效的方法。在进行以惑教学时一定要凸显学生的教学主体性，最好能够让学生们自己去发现问题，或者是帮学生们构建相关的认知冲突，这样的教学过程才能够更好的活跃学生的思维，让以惑教学能够进一步得到深入。只有在良好的教学情境下大家对于课堂教学的参与积极性才会更高，这样才能更好的展开后续的提出问题乃至解决问题的教学。
在以惑教学正式展开前，首先需要教师为学生创设出适合数学学习的场景，诱导学生们对数学问题产生疑问。例如，教师在向学生传授《三角形基本知识》的时候，可以这样进行导入：同学们，大家觉得生活中有什么样的物体是三角形的呢？这时候，同学们就开始分组讨论，大家透过平时对于生活中的观察纷纷列举了生活中的各种三角形的案例。大家对于三角形的认知程度在一点点积累，教学导入的效果已经很好的得以实现。
二、“疑惑”的有效提出
随后需要进行的便是以惑教学的核心环节，即问题的提出。以怎样的方式提出问题这一点非常重要，这也是以惑教学能否收获好的教学成效的一个重要决定因素。教师要在前面的教学铺垫的作用下很好的将学生的思维引发到课堂教学的核心问题上来，并且要保障问题提出的方式易于被学生们接受。同时，对于问题的引出也要注重方法，并且问题的难易程度要有合理的把控。问题最好能够激发学生的探究欲望，同时，在难度上也是学生们能够理解，并且可以很好的锻炼大家思维的问题类型。这样的导入环节才是好的教学开端，进而让以惑教学能够收获更好的教学成效。只有以最为合适的方式将问题提出才能够让大家更明确的对于问题进行思考与探究，进而更好的获知这部分教学重点。
仍然以上述内容的教学为例，在学生们纷纷列举了生活中常见的三角形后，教师可以进一步向学生发问，可以拿出事先准备好的教具来检验学生的认知情况：上面哪些是三角形？学生们就会回答指出哪些是三角形。教师要适时给予学生们一些肯定与鼓励，并且进一步引出核心问题：同学们很注意观察生活，那么有没有同学能解释一下，为什么其他的图形不是三角形呢？向学生提问的目的就是让学生对判断三角形条件的相关概念产生兴趣。教师在实际教学中要选择难度适中的“惑”，如果“惑”太难，学生思考起来就会相当吃力，也不利于教学目标的实现。如果“惑”太简单，学生觉得解决起来没有挑战性，也不利于教学目标的实现。只有让疑惑在充分激发学生的探究欲望的同时也很好的锻炼学生的思维能力，这样的问题才是以惑教学中好的问题范例，并且能够辅助学生们对于这部分知识有更好的理解与吸收。
三、问题的合理解答
以惑教学的最后一个部分便是在教师的辅助下学生们很好的找到问题的答案，这也是学生知识获取的环节所在。在个教学过程中教师要注重对于学生的引导，不能是教师将知识主动的传输或者灌输给大家，而是应当鼓励大家自己积极的去探索与发现。这样才能够更好的引发学生的自主学习，并且让大家的理解能力与分析能力都得到非常有效的锻炼。只有在自主获取的基础上学生们对于这部分知识的印象才会更深，对于这部分教学内容的掌握也会更为牢固。
问题的解答过程主要由以下环节所构成：研究→愤→启→研究→发现→解惑。环节中的“研究”指的是学生主动的去寻找解决问题的方式。“愤”指的是学生想要尽快解决问题但是还没有充分把问题弄明白的心里状态，学生产生这种心理的时候，教师就应当对学生进行及时的启发。鼓励学生遇到困难不要放弃思考，要对问题进行深入性的探究。经过教师的鼓励，学生能够在原有基础上对问题有了一定程度的了解，但却没有办法用具体的语言加以表达，这就说明学生进入到了“悱”的阶段。在这时候，教师再进一步的对学生进行引导。随着学生的思路逐渐开阔起来，并且辅以更有效的研究，学生们慢慢会发现其中的一些核心内容，对于这部分知识终于能够理解清楚，疑惑也就被解除，知识获取过程完整的得以实现。
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[1] 彭勇. 初中数学“问题解决”教学的实践与研究[D]. 广州大学，2012.
