时间：2023-06-22 09:24:26
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Abstract： In mathematics education, the research purposes of mathematical issues proposing are mainly in the following aspects: the solution of mathematical issues, the improvement of student's problem consciousness and self-study ability, students' mathematical thinking and reading, and the training method of mathematical issues proposing. This paper puts forward that mathematics educators and researchers should take the self-monitoring as research purposes of mathematical issues proposing through the commentary.
Key words： mathematical issues proposing; research purposes
中图分类号：G42文献标识码：A文章编号：1006-4311（2011）02-0249-01
1研究背景
在众多的数学教育杂志中，我们能顺手拈来研究者们的解题技巧和精心设计，可以说很多数学教育实践者及研究者都默认解题策略研究是主流和他们的本分，他们对“问题解决”的理解可能已经步入寻求解答问题的多样化阶段。而现在从某种意义上讲，做数学题仍是学生要被动完成的任务，而不是彰显创造成果的平台。在新课程改的大旗下，创新精神和实践能力成了学生培养的重点，创造不仅是困难问题的解决过程，更应该作为“问题解决”局限性的一种自觉批判和突破，是求取解答并继续前行的螺旋式上升的循环过程，也是提出问题和解决问题并存的数学思维过程。如果“问题解决”的现代研究是对波利亚“数学启发法”的超越[1]，那么，“提出问题”是“解决问题”在数学学习方法上的一次质的跨越式发展。数学问题提出指学生对意识到的情境进行加工和组织，然后用语言、图形或图像等可感的形式表达出来，并传递给自己或他人。
2数学问题提出目的的研究综述
2.1 以数学问题解决为目的的研究视“问题提出”为有效解决具体数学问题的手段。数学问题的解决包括对初始问题连续的再阐述，对一个复杂数学问题的解决过程。包括：提出一些关联的更精炼更经典的数学问题，这些问题更能体现已知信息与目标之间的关系，这一系列问题提出的同时，也将总的解决问题的目标分解为一层层的子目标，通过逐次对子目标的实现，达到对原问题的最终解决。
2.2 以提高学生问题意识为目的的研究视“问题提出”为强化学生问题意识的必要手段。俞国良等是这样认识问题意识的产生过程的：当主体遇到问题情境时，首先要检查自己的认知结构，并和当前认知情境进行比较，若已有认知结构可以解释或解决当前任务，认知很快处于平衡状态，这时问题意识不会形成；但如果已有认知结构不能解释或解决当前问题情境时，认知便处于不协调状态，个体思维便开始自我监控，等监测到问题的状态、类型、性质、目标和特征时，就进行思维和表征转换，以达到对问题属性的联系和记忆，然后调动认知资源和知识储备，联系问题情境产生问题意识[2]。因此，我们可以认为，问题意识是指学生在原有的知识结构上注意到一些难以利用已有知识解决的、疑惑的实际或理论问题时，在自觉思维的状态下产生的怀疑、困惑、焦虑、探究的心理状态，这种自觉思维的心理状态驱使学生积极思维，不断提出问题并解决问题。
2.3 以自主学习为目的的研究视“问题提出”为有效学习的手段。自主学习，是指学习者自觉确定目标、选择学习方法、监控学习过程、评价学习效果的过程[3]。在学生被鼓励成为自主者进入学习状态的那一刻，提出问题是自然而然并经常发生的。然而，学生在课堂上学到的在考试中得心应手的数学解题方法和解题规律便成了创造的大敌――思维定势，严重妨碍他们求异思维的发展，使得发现问题和提出问题受阻。我们认为，自主学习可以真正发展学生的求异思维，形成问题意识。
2.4 以提高学生数学思维为目的的研究视“问题提出”为优化学生思维方法、改善学生思维结构的重要途径。在普通教育中老师被要求“授之以渔”而非“授之以鱼”，学生在课堂上学到许多数学解题方法和解题规律，而学生一旦拥有了众多的解题方法和解题规律，定势思维便占据了思维的全过程，使得他们不能发现问题，提出问题。
2.5 以提高学生数学阅读为目的的研究视“问题提出”为提高学生数学阅读水平的必由之路。艾勒腾使用创造性写作作为一个窗口来探测学生的数学理解能力，他认为：“学生通过创造自己的问题来表达数学观念，不仅展示了他们对数学概念发展的理解水平，而且也反映了他们对数学本质的理解能力。”[4]
2.6 以培养数学问题提出方法为目的的研究国外学者对提出问题方法的研究有颇多著述，其中最重要的当属布朗和沃尔特出版的《提出问题的艺术》（The Art of Problem Posing）[5]。他们在对提出问题进行大量实证研究的基础上，得到一个很有用的方法――对原问题进行探究和有目的地改变其属性来产生新问题，即所谓的“what-if-not”法（如果它不是这样，那又可能是什么呢？）。
在国内，以贵州师范大学吕传汉为代表的数学教育跨文化研究所提出了“数学情境与提出问题”的教学模式[6]，其程序步骤可以总结为：教师精心创设数学情境――师生共同探索情境――学生的认知失调――发现并提出问题，在问题解决的活动中实现自主学习，达到应用数学知识解决问题的目的。
3本研究的展望
对于以上研究的数学问题提出目的，不管是通过对情境的探索产生新问题，还是在解决问题过程中对问题的再阐述，提出问题和解决问题都围绕一个个问题链，即就是：提出问题解决问题提出较高层次的问题解决较高层次的问题提出更高层次的问题……如此形成一个螺旋式上升的过程。事实上，对有能力的问题解决者来说，一个问题的解决往往意味着新问题的产生，而学生在平常学校生活中需要的能力是综合的，对于普遍存在的学生解题自我监控能力偏差问题，还有待于深入的研究。
参考文献：
[1]郑毓信.数学思维与数学方法论[M].城都：四川教育出版社，2001:24-26.
[2]俞国良，候瑞鹤.问题意识人格特征与教育创新中的创造力培养[J].复旦教育论坛.2003，1（4）：11-15.
[3]宋艳萍林芸论英语学习中的自我评价与自主学习[J].《教学与管理》2007，（3）：93-94.
[4]李兆祥.知识分类与提出数学问题[J].数学通报，2005，44（11）：25-27.
关键词：高中数学；探究；问题呈现
在新课程走过的这些年里，数学探究已经成为数学教学研究中的一个常用语，这说明了新课程的相关理念已经成为高中数学教师的一种自然意识. 但有意思的是，数学探究这一概念对于很多同行而言，可能还停留在探索研究的理解上，对于《普通高中数学课程标准》（实验稿）提出的“围绕某个数学问题，自主探究、学习的过程”的表述，以及其他关于数学探究的文献中的表述，却没有给予太多的重视与关注，因而导致了从课程改革到现在，数学探究还停留在相对较浅的层面，应当说这是数学课程改革的一点不足. 从这个角度看，我们有必要对数学探究本身进行探究.由于数学探究涉及多个层面，又由于篇幅所限，本文主要以数学探究中的问题呈现为例谈谈笔者的看法，对于其他层面则做附带性的简述.
[?] 数学探究中问题呈现新思考
要深入理解数学探究，还是离不开数学探究这一概念及其定义的，事实上对概念及定义缺少理解，也是产生对数学探究只有经验性解读的根本原因. 根据国内高中数学同行及有关专家的研究，基于课程标准且更具针对性、科学性的定义是，“数学探究”指的是“学生围绕某一个问题情境，通过观察分析数学事实，以提出有意义的数学问题并解决问题的过程”. 在这个过程中，“情境表述”即产生问题的情境，以及“问题表述”被提高到一个新的高度. 也就是说，高中数学教学中，固然要重视探究过程的完成，但对于所探究的问题如何得出，或者说怎样让学生提出有意义的探究问题，成为数学探究的一个重要施力点.
这一点与常规情况下对数学探究的观点是不一样的，一般情况下我们认为让学生探究的数学问题可以由教师提出（尽管实际教学中也是反对学生提出的，但总的来说真正由学生提出的可探究问题并不多），数学探究的重心在于探究过程. 而现在强调探究问题的提出，是对数学探究基础的重视与回归，某种程度上讲，具有爱因斯坦所说的“提出一个问题往往比解决一个问题更重要”的含义. 事实上，如果我们暂时不谈高考的要求（准确地说，是目前的高考中还没有出现考查学生提出问题能力的题型，因而没有出现这种性质的导向作用），我们就会更为客观地发现提出问题，对于高中学生的数学学习具有更为重要的作用. 曾经有很多高中数学同行在论文中都提出一个观点，就是当学生有了提出问题的意识之后，当学生在某个知识点的学习中有了问题并得到解决之后，他们对相应知识点的理解是超过单纯的听的效果的，这也打消了研究问题的提出会影响学习质量的担心.
那么，问题不是由教师或课本提出，学生怎样才能提出有意义的探究问题呢？关于这一点，我们的共识是：不是简单地在陈述句前面加一个为什么，而应该向学生提供合适的素材，让学生在一定的情境中去提出问题.
[?] 数学探究中问题呈现再实践
结合以上分析，我们在教学实践中进行了一些尝试，这些尝试有的是专题性质的，也有的是穿插在日常的数学知识教学中的. 现将实践所得到的一些认识形成文字，以与同行切磋.
首先，我们认为要想让学生提出有探究意义的问题，必须有合适的素材.
这里所说的“合适”，不完全是指合乎高中数学学习的需要，更指符合他们的兴趣与求知需要. 兴趣需要是不言而喻的，有了兴趣才会有探究的动力，而求知的需要则更多的是一种认知平衡的打破，亦即让学生去发现已有知识的体系是不能解决新问题的. 根据这一认识，我们进行了一些课例探究.
课例一：图象与函数. 在高中数学学习中，为了加强学生对函数的理解，必须让学生认识到函数可以描述具体的图形，认识到函数是一种数学语言. 除了课本上提供的三角函数、曲线函数外，我们还可以将其拓展到数学发展史上的其他事例.
笔者在课例中向学生提供的是“阿基米得螺线”. 阿基米得螺线在数学发展史上具有重要地位，在生活中也有类似的情形，因此容易激起学生的兴趣和求知欲.具体做法是，笔者首先让学生自己去想象出一个阿基米得螺线，具体方法如下：
第一步，想象生活中盘状蚊香；想象从螺丝的尖端看螺丝的螺纹. 教师也可以提供这些实物或投影片，以让学生直观感受，然后再让学生回忆，以在大脑中形成良好的表象，以建立一定程度的形象思维.
第二步，想象一根可以绕固定点转动的长杆在转动，然后一个小虫在杆上爬动，想象整个过程中小虫爬出的轨迹. 对于某些想象能力差的学生，可以用圆规作为教具绕点转动，用一个粉笔头比作小虫在圆规上由内向外爬，然后让学生去想象小虫的运动轨迹.
第三步，介绍生活中其他例子，如螺丝身上的螺纹等.
有了这样丰富的情境作为支撑，就可以引导学生去提出问题：这样美的曲线在生活中如此常见，引起了数学家的高度兴趣，面对阿基米得螺线，你们有什么探究的欲望呢？我们的教学目的自然是让学生想到用数学语言去描述数学事物，而这一问题只可能产生于学生具有良好的数学意识，进而我们又发现这种数学又来源于日常教学中的积累，因此每学习一个数学知识，都需要跟学生强化数学语言的认识. 事实上，本课例并不完全在于要求学生能够提出教师想要的问题，关键是培养学生一种提问的意识与能力，让他们自己生成数学问题来源于数学事例中的意识.
其次，要想让学生提出有意义的探究问题，教师应当向学生提供“原始问题”.
原始问题来源于首都师范大学邢教授的研究成果，数学作为物理的工具，与物理具有密不可分的关系. 在高中数学教学中，利用物理现象提生数学探究问题的土壤，可以让数学探究变得更为真实. 而且通过这种学科之间发生的联系，可以培养学生的数学视野与对数学的认识.
课例二：曲线方程. 曲线方程是高中数学的一个重要知识，新课学习中其都是在不同阶段呈现的，如何让学生对曲线方程形成一个完整、统一的认识呢？这是必须探究的一个问题. 而且我们注意到，类似于这种问题的探究，还有助于学生形成比较好的学习品质，让学生不仅得到一个良好的认知结构，更能够生成较好的学习方法.
我们向学生提供的原始问题是这样的：小明看到木匠师傅要得到一个特殊形状的木板，就在一个平面内确定了两个固定点A、B，其用一根线系住两个点，然后用铁钉将这根线向外拉直至绷直. 这个时候如果你是木匠师傅，你想得到的是什么形状的木板，你会怎么做？当学生对这个问题有了回答之后（预期答案是“画出一个图形”）；还可以引导学生生成“这个图形会是什么形状（预期答案是“椭圆”），可否用学过的知识来寻找曲线方程”等问题. 尤其是在此基础上，我们可以引导学生生成“今天研究图形所用的曲线方程与已经学过的哪些类似，有什么联系，又有什么区别”等问题. 这样就可以将椭圆与双曲线形成一个整体的认识，从而将双曲线和椭圆两知识组块合成一个，进而增大学生的记忆容量.
分析这一过程，我们可以看到最初提出的情境并没有明显的数学语言，有的只是一个生活情境，而这个情境中显然又包含着数学知识. 因此我们说这样的情境就是一个原始问题的情境，利用这个情境让学生生成问题，可以培养学生良好的数学探究意识. 事实上在教学实践中，我们看到起初在呈现这种原始问题时，学生往往无所适从，因为习惯了常规探究问题的学生不知道如何在这种原始事例中寻找数学知识，更加谈不上产生数学探究的问题了. 而经过了多次这样的训练之后，学生又很容易生成这样的数学问题与探究意识. 这说明通过原始问题来培养学生的数学探究问题呈现的能力是有效的.
[?] 数学探究中问题呈现再思考
作为数学探究的开端，问题的作用是不言而喻的，数学探究的价值在于探究环节本身，根据高中数学教学的国内外比较研究结果，数学探究所包含的五个因素中，有两个因素与问题相关. 因此从提高学生数学素养的角度来看，对于问题呈现的研究价值也是显而易见的. 我们要做的很大程度上是在应试的压力下，本着数学探究的本义去实施探究.
1995年高考数学命题中引入数学应用题，这一举动影响着全国的基础教育，尤其是高中数学教学. 处在教学第一线的数学教师开始参与数学应用题的编制与教学研究. 下面与同行谈谈我也被卷在其中的经历，以期共同探讨研究.
（一）第一阶段――课堂内外引领学生应用实践，教学之余编制数学应用问题
1995～1999年，由于数学应用问题教学的需要，在数学教育专家引领下，数学应用问题编制与研究开始在全国各地兴起. 许多中学数学杂志在此领域大量发表文章，尤其是《数学通讯》杂志集中报道数学应用方面的研究成果. 但是，在中学数学第一线，教师的数学应用意识与应用问题教学意识都不强，教师数学应用问题的知识储备也不足，再加上学生的社会实践知识欠缺，阅读理解力的薄弱，面对高考数学应用题时，学生的应试心理一般处于恐惧或放弃状态.
1.编制适合中学生的数学应用问题，研究中学数学建模问题
此时我开始潜心思考，从现实生活中寻找信息与资料，编制具有活生生现实背景的数学应用题，并发表在《数学通讯》等杂志上，还将编写的数学应用题分类汇集，编著《用数学眼光看世界》一书. 如下面例题，在当时起到较好的引导作用.
例1 为了提供更加优质的教育，增加大学生就业岗位，某地区准备逐步实现小班化教育，将学生人均教室面积由1 m2提升至x（m2），x≤2，调整教师人均办公室面积为
y=f（x）=4， 1≤x
ax+b，1.5≤x≤2.
如图1，
①确定a，b的值及函数f（x）值域；
②实行小班化，对教室改造投资中，投资额P（万元）与x之间的关系是P=exf（x），探求教室改造投资的最大值；
③对办公室进行改造的投资中，投资额Q（万元）与y之间的关系是Q=5y3-3cy2+180，c为正常数，探求办公室改造投资的最小值及相应c的范围.
2.利用周末时间带领学生开始数学应用实践和实习活动，增强学生应用意识
数学应用意识的培养不仅可以通过数学应用问题的教学，还突出地表现在数学应用实践中. 在周末组织学生开展数学应用实践活动，如利用简易工具测量鉴湖明珠电视塔高度以及与观测点距离问题. 学生不仅创造性实践（多种测量方式），而且撰写了2000字左右的实习报告，将实习过程、测量方法、测量所使用的数学原理、测量后所建立的数学模型，一一总结记录，并写下自己的实践感想.
（二）第二阶段――数学教学加大数学应用问题教学力度，探究数学应用题的教育功能
进入新世纪，新的课程改革措施出台，在以培养中学生的创新意识和实践能力为总目标形势下，中学的数学应用问题教学有所加强. 高考数学试卷中的数学应用题分值不断增大，数学应用题命题更加贴近学生的生活实际和认知水平. 学生面对数学应用题时开始充满自信，各地高考数学应用题的成绩不断提高. 在这一阶段全国的中学数学杂志上有关数学应用的文章层出不穷，为各地中学教师开展数学应用问题教学提供素材.
1.数学应用问题的教育功能开发
数学应用问题教学的目的是提升中学生的数学应用意识，培养中学生的数学应用实践能力.开发数学应用的教育功能除了它对数学思想方法的深入理解外，让学生通过一个个“活”的数学应用问题，体会问题背后所隐含的环境保护、再生资源利用、爱心感恩、资源利用最优化等.
2.开设数学应用问题讲座，普及中学数学建模方法
为了普及中学数学建模思想方法，除了课堂上的数学应用问题教学之外，利用课外活动或研究性学习活动时间开设数学应用问题讲座，使数学应用教学形成一个完整的体系，给中学生一个数学应用问题全貌.
3.挖掘课堂教学案例，提升中学生的实践能力与创新意识
在数学教学过程中，常常会遇到一些不可多得的智慧火花，开发它，会引发无限的创造力.
例2 利用正方体框图，请你构造一个面数大于6的多面体.画出你设计的多面体的直观图，数一数它们有多少棱、多少个面、多少个顶点.
这个开放性作业布置后的第二天上课时，有一位同学拿着一个正方体铁丝骨架模型，如图2，其中六条面对角线是用橡皮筋连接的，一位同学将一对面对角线橡皮筋向外拉，然后问其他同学，这是不是一个多面体？如图3，一位同学说这个多面体形成一个12面体. 接着，另一位同学伸出手将另一对面对角线橡皮筋向外拉，“认为”形成一个18面体.第三位同学将最后一对面对角线橡皮筋向外拉，“认为”形成一个24面体.在四位同学的共同合作下，一个生动的多面体诞生了.面对课堂教学中瞬间发生的信息，教师用敏锐的眼光发现其中的问题并加以开发，不仅与欧拉公式发生联系，而且总结其中的数学模型.
（三）第三阶段――开发数学应用题的数学本质与数学应用意识
2003年新课程改革起步，新课程标准制定并公布，2004年在广东、海南、山东、宁夏新课程教材进入高中课堂，各地编写的新课程教材纷纷出版，新课程数学教材中最明显的特点就是数学应用问题比原教材增加了许多，高考中许多数学应用题的情境来自于生活，深入挖掘出其数学本质，最有代表性的就是处在二期课改前线的上海，开发的数学应用题给人们呈现出的情境新颖，其数学内涵丰富.
1.关注数学应用建模能力，培养学生数学应用素质
中学所涉及的数学应用问题有二类：第一类，经过精加工后的贴近数学本质的“准”数学应用题；第二类，经过粗加工的贴近实际的“真”数学应用题. “好”的数学应用问题层出不穷，面对如此好的问题.把数学应用建模思想方法渗透在教学之中，充分挖掘问题的数学本质，把这一过程成为养育中学生数学应用素质的重要途径.
例3 以下是面点师一个工作环节的数学模型：如图4，在数轴上截取与闭区间[0，1]对应的线段，对折后（坐标1所对应的点与原点重合）再均匀地拉成1个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（例如在第一次操作完成后，原来的坐标，变成，原来的坐标变成1等）.那么原闭区间[0，1]上（除两个端点外）的点，在第二次操作完成后，恰好被拉到与 1重合的点所对应的坐标是 ；原闭区间[0，1]上（除两个端点外）的点，在第n次操作完成后（n≥1），恰好被拉到与1重合的点所对应的坐标为 .
理解突破：
“均匀地拉”――保证这是一个有规律的数学变换――伸缩变换；
“一次操作”―― 一次变换所呈现的结果：原来的变到1；原来的，变到；
第2次操作――第1次操作后由原来的，，变到第2次操作前的；第2次操作后的1；
第3次操作――第1次操作后由原来的，，，变到第2次操作前的，，第2次操作后变到；第3次操作后变到1；照此下去，……；
第n次操作――第1次操作后由原来的，，…，，变到第2次操作前的，…，，第2次操作后变到，…，；…，第n-1次操作前的，，第n-1操作后的；第n次操作后变到1；
因此第二次操作完成后，恰好被拉到与 1重合的点所对应的坐标是，；原闭区间[0，1]上（除两个端点外）的点，在第n次操作完成后（n≥1），恰好被拉到与1重合的点所对应的坐标为，，…，，，即，j为[1，2n]中的所有奇数.
看到此问题情境，不由联想起古人“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的精美概括；联想到精美的杨辉三角，那么此问题能否概括为“一尺之面，对折其拉，万丝不断”？生活中的“拉面”场景，抽象为一种数学伸缩变换过程，检测学生的对应、变换、数列知识以及逻辑思维能力，此问题给我们的一个重要启示是：在数学教学中，引导学生学会用数学眼光看世界，去发现生活中的司空见惯的现象背后的数学规律，去探索或总结其数学模型，去揭示实际应用问题的数学本质.
2.关注数学问题的数学本质，从实际问题中挖掘数学模型
例4 如图5，一位花布设计师在边长为3的正方形ABCD中设计图案，他分别以A，B，C，D为圆心，以b（0≤b≤3）为半径画圆，由正方形内的圆弧与正方形边上的线段构成了丰富多彩的图形，则这些图形中实线部分总长度的最大值为 ，最小值为 .
理解突破：L=2bπ+4（3-2b）， 0
≤，
2bπ+4（2b-3），
即L=2bπ-8b+12， 0
≤，
2bπ+8b-12，
当b=1.5时，L达到最小值3π，当b=3时，L达到最大值6π+12.
花布图案设计是一个复杂的工作，但抽象出来的数学模型是简洁而美丽的，由点的运动而产生许多丰富的图案：
学生面对如此问题时，一方面要学会从“数”角度思考，写出长度的分段函数，而后求出其最大值与最小值；另一方面也应学会从“形”角度思考，发现其最值点和最值. 但不论是哪一个思路，都需要学生在“运动”着的图案中发现其数学本质，为今后的创新意识和实践能力打下基础，这正是新课程改革的教育理念之一.
二、近20年来我国高中数学应用问题教学的反思
近20年来高中数学应用问题教学重视程度不同，特别在高考单独命题省份. 数学应用题一般都有一大一小或一大二小. 尤其是上海进行二期课改，关注数学研究性学习，数学应用问题教学的氛围比较浓. 高考数学命题中数学应用题情境新颖、充分挖掘实际问题中的数学本质. 但是许多省份的单独命题中，除了概率统计的应用题外，几乎不涉及数学应用问题.
（一）数学教学中实际应用意识不强，对数学应用问题的教学目标不明确
不论是数学课程标准还是考试要求对应用意识都有明确的说明：“能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决在相关学科、生产、生活中简单的数学问题，能理解对问题陈述的材料，并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题，应用相关的数学方法解决问题并加以验证，并能用数学语言正确地表达和说明，主要过程是依据现实的生活背景，提炼相关的数量关系，将现实问题转化为数学问题，构造数学模型，并加以解决.”实事求是地说，这一目标要求是比较高的.它至少包括了下列目标：
一是“用”数学的意识与能力，即通过教学培养学生数学应用意识，学会用数学眼光看世界的方法，求解数学应用题的能力，探究数学概念与方法的来龙去脉与实际背景的能力；
二是数学建模能力，为相关学科中涉及数学建模或进一步学习中涉及数学建模奠定基础；
三是数学语言表达与交流能力，即通过数学研究性学习方式来培养这一能力；
四是数据处理能力，在学习概率、统计、算法、金融数学相关知识中所训练的能力.
（二）数学教学中的功利意识太强，对数学应用问题教学冷热不均，反复无常
1995年以来，数学应用问题教学意识经历了一个由冷加热，热中保温，温度下降的过程. 教师在不同教学思潮的影响下，缺乏从整体上认识它的功能与素质教育要求. 因此一会儿重视，一会儿放弃，表现在对数学教材处理上，有关“实习作业”“章引言与章头图”“探究与发现”“阅读思考”等内容都忽略不去涉及，截头去尾只讲一些与“高考应试”有关的数学内容.课堂上对数学概念的来龙去脉不加研究，不介绍，导致学生只能了解一些数学解题方法，不理解数学概念.由于社会文化中功利意识的影响，在数学教学时对应用问题的教学中，如果与高考数学应用题型相关，就花大量时间或精力去训练学生的应试能力；如果与高考数学应用题型无关，就一带而过，或者是避而不讲.这样导致中学生数学应用意识与实践能力仍是一个盲点.
（三）新的课程改革促使数学应用再掀
2012年起，浙江省在全省范围内进行大规模的课程改革，增大选修课程的学分，以数学建模为核心的数学应用教学研究在浙江大地展开，2014年浙江高考数学中，一道闪亮的应用题诞生，可以预见数学应用问题的教与学会再掀！
笔者对我校八年级学生作了一次抽样调查，经分析发现，89.3%的学生只会模仿教师的方法，而不善于反思。76.4%的学生认为自己没有质问、思考和探索的习惯。这反映大部分学生没有形成良好的数学思维方式，学生的思维品质不利于提出数学问题。
课程改革的核心之一是培养学生的创新和实践能力，创新源于问题，因而，关注学生提出问题的能力是十分重要的。在初中数学教学中，教师如何做到有效设问，培养学生的问题意识，是值得研究的课题。
二、研究方法
（一）研究对象
研究对象为我校八年级两个班的学生。这两个班学生各条件平均，属于平行班。实验前，对实验班与对比班进行数学试题的测试，并对数据进行分析（表1）。
从表1可以看出，实验班与对比班平均分相差1.2分，计算Z=-1.48
（二）统计工具
用SPSS12.0进行数据统计分析。
（三）实验过程
1. 实验自变量：数学问题的情境设计；数学问题的多层次分解；数学问题的媒体辅助讲解；数学问题的变式。
2. 实验因变量：学生成绩的变化。
3. 问题式教学的几个过程
（1）数学问题的多层次分解
依据初中学生的数学基础，从学生具备的知识开始，设置一连串的问题，带领一连串的思考，达到对未知的认识。 “问题串”可以有“串联”和“并联”两种模式，如下图。
（2）数学问题的媒体辅助讲解
在传统数学教学中，由于较难提供生动、丰富的真实情境，造成学生对知识意义建构存在一定的困难。而信息技术在教学中的运用，为情境创设提供了有效工具。以计算机为中心的信息传输手段，利用生动的画面、声像、视听等，充分调动学生的多种感官，为学生创设了良好的问题情境。
运用信息技术创设情境，不是简单的根据数学问题增添一个生活化的情境，而是“要建立能揭示知识的起源、形成的经历及其发展逻辑的问题情境”。因此，教师在运用信息技术创设情境时，要尽可能减少一些干扰元素，增加能突出数学本质的东西，以促进学生数学探究。
（3）数学问题的变式
在进行数学问题变式教学过程中，通过对数学问题进行弱化变式、结构变式、类比变式、逆向变式等，将数学知识串成一条线，使得杂乱无章的知识形成一个体系，整个过程是逐渐增加学生的认知负荷、逐步提高学生的数学能力的过程。不要为了追求新颖题型、难题的教学而忽视数学知识的连续性和学生能力的递进性，不能只是让学生感受“眼花缭乱”的变化，应该要在学生已有认知水平的基础上，使学生的数学知识结构和数学能力都能循序渐进，呈螺旋上升式的发展。
4. 学生提出问题的能力评价
通过问题式教学，学生的问题意识有所增长，但如何评价学生“提出问题”的能力，是值得研究的问题。事实上，研究者已从托伦斯创造性思维测验中得到启发，对提出问题能力有新的认识，即用以表征提出问题能力的三要素：（1）问题的数量，体现学生思维的流畅性；（2）问题的种类，体现学生思维的灵活性；（3）问题的新颖性，体现学生思维的创造性。
一个学生所提出的问题数量较多，表明他在收集和处理问题信息时能产生大量有价值和意义的联想。当然，关注学生能否从不同角度提出不问题，对提高学生思维的灵活性是十分必要的。对问题的新颖性判断，要注重问题的原创性和合理性，作为检测学生的思维创造性的依据。
三、数据分析
在实验过程中,对学生提问题的能力进行中测和后测,并进行平均数显著性水平检验分析,结果如表2、表3所示。
由表2、表3可以看出：从总体上看，在实验中期，实验班学生的数学测试成绩高于对比班，且在?琢=0.05的水平上有显著性的差异。
四、结论
（一）多媒体辅助，有利于问题的解决
传统教学中，由于受到教学媒体的限制，教学内容只能静态地传授，缺乏运动变化思想的渗透，这不利于学生对问题的理解和记忆。在问题式教学时，运用信息技术有利于问题的解决。教师应该结合信息技术，充分挖掘问题的动态元素，对学生进行问题式教学。
信息技术在图形变换、动画等方面有很大的优势，教师如果能充分利用这一点，在解题教学中，让问题中某些变量动起来，将会使学生触及问题的实质，解决问题时，体会到数学蕴含的精神、思想和方法。例如，探索点的运动规律，既是几何教学的重点，又是中考考查的热点。传统的“粉笔+黑板”的教学手段，难于进行“动态处理”，“动点”只能用黑板上的一个静态的“定点”演示，导致学生难于形成运动观。而运用信息技术，能使动点真正运动起来。
（二）问题情境化，激发学生兴趣
问题的提出是人们基于一定的情境，通过对情境中已有数学信息的观察、分析，产生质问、困惑，进而发现和产生新的数学任务或数学问题的过程。国内有贵州师范大学吕传汉教授在问题情境设置方面做了大量研究，情境是问题的根，问题是情境的心。学生的探究学习中的情境与问题是相辅相成的，是一个因果联系的有机体。创设情境的目的是为了让学生提出问题，情境是手段，问题是目的。
情境创设要联系的是“生活现实”。创设日常生活情景进行教学，已经形成一种风气，这对提高学生学习数学的兴趣，掌握数学的来源，理解数学抽象模型，很有好处。但是，过度强调数学的生活化，以为一切数学都是从日常生活来的，则是一种片面认识，因为情境创设还包含一种纯数学情境创设。
（三）问题的变式，培养思维的灵活性
变式教学是我国数学教育的一个特色。“变式”是在保持一事物本质属性不变的前提下，通过变换它的非本质属性，来突出它的本质属性的一种思维方式。问题变式教学的特征是：通过问题各种变式之间，或改条件，或改结论等方式，掌握问题之间的差异与联系，来认识问题的内涵与外延，实现对问题多角度的理解。在数学活动过程中，通过多层次的推进，使学生渐进形成解决问题的能力，从而形成多层次的活动经验系统。
教学中常常运用反例或辨析题制造认识冲突，以帮助学生把握数学本质属性，利用反例、辨析题和变式题进行教学属于变式教学的范畴，反例的特点是改变对象的本质属性而保持非本质属性不变，辨析题的特点是改变对象的非本质属性而保持本质属性不变。
（四）问题的分解，注重启发教学
关键词：高等数学；高中数学；衔接问题
目前，通过相关的教学实践调查，高等数学与高中数学的衔接问题，在高等数学教学质量及学生的学习效率方面发挥着很大的影响。从大学生学习的角度分析，高等数学的理论知识相对枯燥，并且其中涉及的计算和一些抽象的推理难度，都超过了学生自身的能力范围，导致许多学生在高等数学学习方面感到很大的压力。因此，为了进一步提高高等数学的教学质量以及培养学生的数学应用能力，深入探究高等数学与高中数学的衔接问题非常关键。
一、高等数学与高中数学衔接上的现状及存在的问题
1.高等数学与高中数学教学内容衔接不上
自高中课程改革后，高等数学的教学内容就发生了很大的改变。由于部分高校与高中的改革进度不同，且高校的教学改革进度往往落后于高中的教学改革，这直接导致高等数学与高中数学在教学内容上出现脱节的问题。加上新课程改革的影响，在数学教学中数学教师关注的教学重点不同，使学生在学习的过程中没有全面地学习到相关的知识理论。
2.高等数学与高中数学学习方式衔接不上
在实际的教学活动中，学生在高中阶段的数学学习，通常是按照数学老师教给的方法进行学习，直接按照老师教给的解题思路和方法做题。相对而言，学生在学习高中数学方面的主动意愿不强，只是按照数学老师的教导进行学习。
而大学高等数学的学习，则需要大学生发挥主观能动性进行学习，需要学生在课前进行认真的预习、课上认真地听讲以及独自查阅相关的学习资料，才能熟练地运用数学知识。
二、加强高等数学与高中数学的衔接的策略
1.加强师生之间的沟通，做好教学内容的衔接
一方面，在实际的数学教学活动中，数学教师应在仔细研读教材的基础上，对涉及高中数学的教学内容有所了解，在进行高等数学知识的讲解过程中，注意知识点的查漏补缺，避免学生由于数学知识点的断层，无法跟上学习的进度。另一方面，数学教师还应多与学生进行沟通、交流，及时了解学生在高等数学学习方面存在的问题，并积极进行教学方案的研究，使学生可以更好地学习高等数学知识。
2.与时俱进，积极改进教学方法
在高等数学的教学活动中，数学教师应与时俱进，积极改进教学方法，尝试营造良好的学习氛围，激发大学生学习高等数学的积极性。同时，在高等数学知识原理的讲解环节，可以适当讲解一些数学发展史以及数学家的故事，吸引学生的注意力，使学生可以积极参与到高等数学课堂教学的活动中。
3.重视培养学生的自学能力，促进学习方式变通
为了进一步培养学生的数学知识应用能力以及提高高等数学的教学质量，重视培养学生的自学能力，促进学习方式变通，在一定程度上可以有效改善大学生在学习高等数学方面存在的问题。重视培养学生的自学能力，促进学习方式变通，可以使大学生在发挥自身能力的基础上，独立完成部分数学知识原理的学习，在数学教师的科学指导下，有效规划学习计划，降低学习高等数学的难度。
综上所述，随着我国社会经济的快速发展，教育改革事业的发展也取得了一定的成就。在高等教育阶段，高等数学的课程对于提高学生的综合素质非常重要，培养大学生具备高等数学知识及原理的应用能力，是促使其将来适应社会生活的重要策略之一。结合高等数学教学的实际情况，深入研究高等数学与高中数学的衔接问题的相关内容，能够更好地促进高等数学教学质量的提高，使学生更好地学习高等数学知识。因此，在高等数学教学的活动中，数学教师应在注意观察学生学习状态的基础上，积极总结高等数学与高中数学方面存在的衔接问题。
参考文献：
[1]南定一.高等数学与高中数学的衔接问题及改进对策[J].课程教育研究（新教师教学），2014（25）：146.
关键词:海盗问题 数学 研究性学习
数学不好学,更不好教。很多学生感叹:“数学太难了!”不论是在职教还是普教,数学教学面临的挑战都很大。笔者认为研究性学习不失为一种教学方法,它与发现法类似,但更具可操作性。在研究性学习中,学生是研究学习的主体,教师是以平等参与者的身份介入,是组织者、参与者和指导者,教师“指导不指令,参谋不代谋”,体现学生学习的自主性。开学初,笔者和学生谈到数学的研究性学习,有学生说:“数学有什么好研究的,不就是死记硬背一大堆复杂的公式定理,永远是做不完的练习题,只要懂简单计算就够用了,什么数学思维和数学素养一点用都没有。”在这种情况下,一时半会很难改变学生对数学的误解。
于是,笔者采取了围魏救赵的策略。笔者问学生:“据说在美国有一道关于海盗的问题,如果能在20分钟内得出正确答案的人,平均年薪在8万美金以上,大家是否有兴趣试看看?”
5个海盗劫得100颗钻石,这100颗钻石大小与价值相等。现在他们准备瓜分这100颗钻石,5个人抽签为A、B、C、D、E。先由A来提出分配方案,然后投票表决,半数或半数以上同意则分配方案通过,并按此分配;如没有通过,他将被丢下大海喂鲨鱼!然后再由B来提出方案,依此类推。问题如下:如果你是A,你将如何分配,既让自己财富尽可能最大,又能保证不被丢下大海!注意海盗们都是绝顶聪敏且理智抉择的人。
学生果然来了兴趣,对于这个看似简单的问题争相发言,20分钟很快过去了,没人能给出正确答案。下课的铃声响了,学生还不肯罢休,于是笔者提出让学生在课外继续思考这个问题,下次派代表解答,不过到时笔者也会多问一个与此相关的问题。当笔者走出教室时,心里暗喜,学生们或许还没想到,其实他们已经开始了数学的研究性学习了。
两天后,当笔者再次走进教室,就看到班上学生都面带笑容,最前面的学生告诉笔者:“老师,钻石分好了!”
笔者就等学生这句话,于是说:“请派代表来回答,不过按约定,等代表把方案拿出来,我要多问一个相关的问题。”学生兴奋不已,他们把数学科代表推选上来,科代表在黑板上写下:
A B C D E
98 0 1 0 1
笔者拿起红粉笔,打了个大大的勾,全班鼓掌,科代表更是一脸得意。科代表正要走下讲台时,笔者叫住他:“稍等,还有一个相关的问题。”全班一下子安静下来,几十双眼睛都看着笔者,科代表显得更紧张。笔者不紧不慢:“请问,这个方案的正确性怎么解释?”这下全班鸦雀无声,科代表愣了神,最后他忐忑地说:“老师,我们回家上网用百度找到这个方案的,不过,我说不清楚为什么,我错了。”泄气的表情写在所有学生脸上,笔者笑了笑:“懂得用互联网在信息资源中找答案,很好啊,希望大家以后课外继续用计算机来研究问题。但光知道答案,不认真钻研,浅尝辄止,讲不出道理还是不够的,这样吧,回去再看看资料,讨论一下,看看下次能否解释清楚,不过有言在先,下次要多问一个相关的问题。”学生的劲头又起来了。
在后面的几次课,笔者课前都先安排几分钟时间,点到为止,陆续提出了下面的问题:
如果其他条件不变,海盗数逐个增加,方案如何改变?
从这个方案,你能分别归纳出奇数个海盗和偶数个海盗分配方案的规律吗?
如果其他条件不变,海盗数按班上的同学数来算,那最先提出正确方案的海盗能拿到多少颗钻石?
如果其他条件不变,钻石数达到多少颗会迫使拥有最先提出方案的海盗弃权?
其他条件不变,假设海盗有n名,钻石有m颗,那么n与m要满足怎样的关系才不会迫使拥有最先提出方案权的海盗弃权?
一个个问题让学生在纠结与兴奋之间反复了好一段时间,学生最后发现,他们哪里是在帮海盗分钻石,他们是在自己研究数学,对数学的反感淡化了,开始愿意用心听,能够用心想,上数学课居然几乎没人趴着睡。这让笔者感到意外,聊天时问学生为什么改变,学生说:“数学似乎有点用,学点数学不会OUT了。”其实,最重要的是数学研究性学习让他们都获得了成就感。
笔者把这个海盗问题和普通高中的数学教师进行教研交流,他们也在普高的课堂上进行了实验,普高学生还写出了详细的研究报告,效果很不错。于是,笔者把这个案例整理出来,希望对大家的数学研究性教学有所助益。
参考文献:
[1]韦斯特伯里.科学、课程与通识教育——施瓦布选集.中国轻工业出版社,2008.
[2]韩昌洙.千万别恨数学.中信出版社,2004.
【关键词】中学生；发现数学问题的能力；培养方法
在中学数学的知识结构中，各个知识点之间有着紧密的联系，且作为基础知识，与物理、化学等其他学科也有着密切的关系，在现实生活中的应用也非常广泛.然而在当前的一些数学教学过程中，存在只注重解题和应付考试能力培养的现象，造成学生对数学知识点之间、数学与其他学科之间以及数学与现实生活之间存在的联系思考很少，导致发现和提出问题的能力不足.本文结合多年的教学实践，研究了如何在教学中培养中学生发现数学问题的能力.
1.发现数学问题能力的概念与意义
所谓发现数学问题的能力是指：学生在学习和生活中，能够根据自身已有数学知识，通过主动思考，去发现、体会数学知识的能力.比如：学生学习过一次函数后，能够将一次函数的知识与之前学习过的一元一次方程联系起来，从函数的角度去看待方程；又如，在逛公园时看到草坪中踩出的“小路”，能够联想到原因可能是两点之间直线最短，大家在找捷径才踩出来的路.
在学习数学的过程中，发现问题的能力对数学成绩的提高、数学能力的培养以及创新精神的培养都非常重要，著名数学家丁石孙说过：“没有问题的学生不是好学生，保护学生发现问题和提出问题的积极性就像保护学生的好奇心一样重要”.2011年版的《义务教育数学课程标准》中新增“发现问题的能力”，并指出发现和提出问题是创新的基础.所以，在教学过程中老师应该积极培养学生发现数学问题的能力.
2.中学数学教学中存在的问题
（1）对发现数学问题能力的重视不够
尽管新课标中明确提出培养学生发现和提出问题的能力，但是这项指标很难量化考核，短期内对数学考试成绩的影响也没那么明显，导致一部分老师在教学中对学生发现数学问题的能力重视不够.另外，受到教学时间的限制，老师在短短的40分钟课堂时间，既要讲授知识点，又要放手让学生发现问题，似乎很难实现.
（2）教学方式单一，对学生的启发不够
对于初中数学知识，抽象程度不高，基本都可以在生活中找到相似的问题[2].但是在现实的课堂中，老师则更注重知识点的讲解，对学生发现数学问题方法的指导有限，对“归纳”、“类比”等一些重要的数学思维培养不够，教学中的情境多数也是教材上的一两幅画面，情境过于单调，不足以引发学生的联想；当学生提出问题时，老师更愿意解答那些符合自己预期的问题，对于学生发散思维想到的个性化问题，往往不予重视.
（3）对学生鼓励不够，造成其提问时自信心不强
中学生的年龄还小，在课堂上自己提出问题还有些害羞或者胆怯，对于同学中提出的问题，若其认为比较“简单”或“幼稚” 则会嘲笑，如果老师不及时制止嘲笑的同学和肯定提问的同学，则会给提问的学生留下不愉快的记忆，导致其提问积极性不高；此外，一些同学提出的个性化或偏僻些的问题，未得到老师积极的回应，也会造成其以后再提问时自信心不强.
3.培养中学生发现数学问题能力的方法
（1）更新教学理念，重视发现数学问题的能力
老师首先要从思想上重视学生发现数学问题的能力培养，数学课堂上，把“问题”当做教学的出发点和中心，在讲解新的知识点前，要结合学生已有的知识或生活经验，让学生能够主动提出问题，而后再根据学生们提出的问题进行展开，引入新的知识点，学生再利用新知识去解决问题.每个情境都精心设计，对学生提出的问题有一定的预期，对预期之外的问题也要积极鼓励，从而循序渐进的引导学生去主动发现和思考数学问题.
（2）改进教学方法，倡导启发式教学
《论语》中“不愤不启，不徘不发”揭示了教育规律，在数学教学中也是同样的道理，老师不要急于向学生灌输知识，而是要积极引导学生独立思考.王梓坤院士曾指出：“数学教师的职责之一就在于培养学生对数学的兴趣”，在教学时，对待学生提出的问题，老师不要完全包办，要多留些学生思考的空间，不管学生发现和思考的问题对或者错、重要或者次要，都积极引导其主动思考，让数学学习从被灌输状态转变到在老师的启发下主动思考的状态.
（3）培养学生提出问题的自信心
现代中学生是个性突出、思维活跃的主体，他们有自己的知识背景、生活经历、兴趣爱好和思维方式，在教学中往往会提出一些老师始料未及的问题，使课堂变得多样化和随机化，此时老师不能全盘否定，而是要思考学生提出问题的合理性，对其合理的一面要积极肯定，对于不合理的一面要积极引导，从而使学生树立好发现数学问题的自信心.
4.结束语
发现数学问题的能力对培养学生的学习兴趣、数学思维、创新能力以及数学成绩都有着重要作用.老师在讲课过程中，要重视发现问题能力的培养，改进教学方式，积极地将数学知识与生活情境结合起来，让数学学习变成能够感触得到的生活片段，鼓励学生积极发现数学知识点间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，切实提高其数学素养，从而实现真正的素质教育.
【参考文献】
[1]何世峰，黄静涛，贺加来.我国数学教育中培养学生提出问题能力研究：现状与前瞻[J].安庆师范学院学报（自然科学版），2012，18（2）：119-121.
[关键词] 小学数学；问题场；设计
传统的教学模式比较单一，而且比较容易模块化，一般都以讲授为主、练习为辅，很少并且很难去激发学生的学习兴趣. 并且很多课堂的提问都比较松散与随意，学生缺少创造性的答题机会. 而“问题场”的设计研究是以教师为主导，要求在教学过程中提出一定数量的、高质量的问题，营造一种能唤醒学生探索热情的学习氛围. 针对不同的授课内容和类型，创造不同的教学情境和不同的数学提问策略. 教师在设计问题场时，最关键的地方在于问题的设计要具有浓厚的生活气息，难度适合大部分学生，学生能够利用所学知识去解决问题，这几个方面的内容也是能够引起学生主动参与、探究问题的关键.
新课标环境下有效“问题场”的优越性
“问题场”是指在数学教学活动中，教师能够为学生创设各种各样的教学情境，从而引导学生进行独立思考，促使学生提出一些与数学相关的高质量问题，达到启发学生思维，展现学生的疑问和创造力等精彩瞬间.
数学“问题场”的创设，研究的是一种不同的数学方式. 以往的数学学习方式是简单的教师“讲授”，学生“接受”，而“问题场”的创设是在教师的指导下，通过学生小组收集问题，分析问题，处理问题，合作交流，最终探索出解决问题方法的新型教学方式. 受传统教学观念的影响，目前我国很大部分的课堂仍然处在灌输知识的填鸭式教学阶段. 众所周知，学生需要学习的是智慧，在学习知识的过程中掌握智慧，但是传统课堂远远不能满足这种需求. “问题场”的创设，无论是对于学生问题意识的培养，还是将学生从“知识人”转变成“智慧人”都有着良好的促进作用.
数学问题场区别于数学问题，它是具有特定的数学情境的. 数学问题场包含了数学文化、数学问题、学生、教师、问题解决程序五个部分. 这里重点需要介绍的是数学文化，即现代社会、文化传统在长期的教学活动中形成的与数学生活、行为方式相关的知识、行为、观念、精神等，或者可以称之为特定的数学传统. 比如在教授圆周率的时候，不得不提的是我国南北朝时期的数学家祖冲之利用割圆术，将π值精确到小数点后面的第7位，教师可以由此激发学生的爱国热情，并将这种热情转化为学习的动力，这就是数学文化所带给学生的巨大财富.
数学问题场的教学模式不仅有利于激发学生的学习动力，更有利于培养学生分析、概括、表达的能力. 与传统的“填鸭式”教学模式相比，学生能够更加主动地进行学习，同时由于问题情境的开放性、层次性，使得学生都能够有所收获.另外数学问题场的教学模式也可以帮助学生养成追求真理、互助合作、积极竞争等优秀的个人品格.
新课标环境下有效“问题场”的设计
1. 矛盾式问题场的设计
矛盾式问题场的设计可以运用在新旧知识点的衔接. 由于新旧知识点之间存在共性和异性，所以学生可以根据自己的理解先进行探索，发现存在的差异性，由此展开讨论，并且尝试着解决问题.这里其实是运用了知识的迁移，并通过比较、对比，建立了“矛盾式问题场”.
以“小数的加减法”为例，教师可以在一开始上课的时候带着大家复习一下整数加减法的相关计算规律，由此引出小数的加减法. 可以先给学生部分的计算题，让学生自由解答，然后可以用计算机找出自己的错误，让大家一起来说说为什么我的答案是正确的、说一说自己的正确算法以及错误答案的错误算法. 教师在学生发言的时候，逐步对学生进行引导，教师可以提问是不是“只要把小数点对齐，每个位上的数也就对齐了？”然后让学生进行进一步的验证，引导学生利用单位转化的方法进行解释和验证.
只有在这种不断的质疑、释疑的过程中，学生才能在旧知识点的基础上，逐步清晰新知识的网络，将新旧知识有效地进行整合，从而形成协调性的记忆.
2. 生活化问题场的设计
生活化问题场是指让学生在创设的情境中回忆已有的知识，将抽象的数学联系生活实际，从而使得教学效果事半功倍. 在教学活动中，统计和概率的计算常常与学生的生活密不可分，揭示了一些生活规律和现象.根据这一特点，教师可采用“生活情境和回忆策略”的教学模式，通过让学生回忆、整理已有的生活经验、知识基础来构建新知，通过创设生活化问题场激发学生的思维. 以“统计”教学为例，可以让学生统计班级学生的身高、体重，以具体的数字进行比较，更容易让学生掌握平均数、众数、中位数的相关概念以及在日常生活中的运用和题目的求解；又如在“小数性质”的教学中，教师可以先叫学生用十块钱去超市购物，将购物商品的价格罗列下来，发现商品的价格有：1.21元、0.81元、2.10元、3.09元等，教师可以提问：为什么有些商品的价格是两位数，有的是一位数？有的商品在去掉“0”之后（如2.10），还是同样的价钱，有的在去掉“0”之后（如3.09），却是不一样的价钱了？在今天我们学习了小数的性质之后，同学们就会明白了. 通过这样与实际生活相关的问题设计，学生肯定会很感兴趣，也一定会积极参与到问题的解决之中.
3. 形象化问题场的设计
形象化问题场是指通过直观的演示或者操作活动，让学生能够在观察的过程中进行比较，归纳出事物的具体特征. 由于小学生的空间感官比较差，所以很难进行空间想象，这就增加了教学的难度. 针对这一现象，教师必须站在学生的角度去思考问题，并且尽量将数学问题形象生动地展示给学生. 例如在教授学生时空知识时，时间单位不同于长度单位、重量单位，对于钟表上的时针从一格走到下一格表示一个小时，分针从一格走到下一格表示一分钟，秒针走一小格表示一秒，这些学生都不是很了解，很多学生甚至还以为钟表的进制是100而不是60. 因此，教师在课上应该首先教会学生认识“时”“分”“秒”，如教师可以在上课之前事先运用多媒体给学生展示一下钟表的运行，在动态、可以控制的情况下，给学生展示时、分、秒的概念，从而在感官上给学生以刺激. 还比如讲解周长的计算的课程中，教师可以有效地利用铁丝这个工具，在课堂上亲手为学生展示一些小物品的周长是如何计算的，让学生自己也能够动手测量. 再如轴对称图案的教学中，教师可以通过教学生剪纸，了解轴对称图形的特性，这样既提高了学生的动手实践能力，又能够让学生在实践中感受到具体的数学知识.
教师在小学数学有效“问题场”
设计时应遵循的基本原则
有效设计小学数学“问题场”是数学课堂教学艺术的重要组成部分，也是数学教学反馈的一个重要手段. 在设计“问题场”时，从设计问题的方向上来说，首先必须要遵守的是设计问题的明确性. 教师要给学生明确的思考问题的方向，让学生能够有的放矢.其次就是设计的问题要难度适中，这样的问题才有提问的价值，才能激起学生的兴趣，正如赞科夫所说：“对于学生来说，教学内容应具有适中的复杂程序和难度.” 最后就是教师设计的问题必须要有灵活性，问题的内容必须要灵活多样，不能机械死板，如果学生回答问题有错误也属于正常情况，此时教师就要及时发现学生出错的根源，再通过一些类似的问题帮助学生加以巩固.
从设计问题的内容上来看，“问题场”设计一方面要有一个好的问题情境与之相对应的数学问题，并且问题的提出要紧扣教材内容，充分结合学生的实际情况. 一个好的问题情境，应该是具有数学思考价值的，它能调动经验，产生意向，激发创造，因此，它必须是开放的，使得各层次学生都能参与并产生自己的想法，通过不同的想法挑战学生的思维，经过实践验证等活动，让学生发现知识规律. 另一方面，设置问题一定要留有悬念，这样才能激发学生的学习兴趣. “兴趣是最好的老师”，一个人只有对探究的问题有浓厚的兴趣，才能获得创造成果. 设置的数学问题有悬念，才能引起学生学习数学的兴趣，才能激发学生的求知欲，才能唤起学生的创新意识，从而达到提高学生数学思维能力的目的.
【关键词】初中数学 问题链 设计研究
在一堂课的教学中，教师的“提问”环节往往是很重要的，它既保证学生对已有知识的探究心，又能激发他们对未知知识的求知欲，有趣的问题能引导他们主动投入学习，有针对性的问题能让他们向学习中的弱项努力，教师通过一环又一环的“提问”来引导学生从研究的角度进入知识的学习，这个时候，因为“问题”已经连成了串，“问题链”概念就应运而生。
一、利用知识的多角度性设计“问题链”
教学中，“提问”环节，自有其多角度性，提问的切入点不同，则同一个问题问法也不同，每一个学生对新鲜的事物都保持有一定的好奇心，而新鲜的知识则更能让产生了好奇心的学生，更加投入到对问题的学习，而好的“问题链”需要做到的是，在整个提问过程中，将这一点从开始有效的保持到最后，要做到这一点，找准提问角度是很重要的。
现以“一元二次方程的解法”举例：一元二次方程是一种同时拥有多种解法的方程。教师从顶点展开问题链：
师：我们都知道一元二次方程是二次函数的一个部分，利用它的顶点式，可以求出所有的一元二次方程的解，那么，我们还能不能用其他方法来求一元二次方程的解呢？
此时学生通过教师的问题进入探究，教师继续展开问题链。
师：已知完全平方公式，我们能不能从这个角度切入？
生：理论上，如果能将一元二次方程中的二次项系数转为1，常数移到等号右边。最后两边同时加上1次项系数一半的平方。让方程达到左边为完全平方式，右边为常数。就可以用完全平方公式进入解法。
师：如果以“配方法”继续进入推导？能不能再切入其他角度？
在这个“问题链”中，教师通过引导学生对“一元二次方程解法”的多角度解法切入，会带给学生一种新鲜感，原来不同角度看方程会出现不同解法，他们自然觉得有趣，也会愿意继续探究。这样就保证了问题链的有效。
二、利用知识的可持续性设计“问题链”
在数学知识的教学中，学生学到的知识一般都具有可持续性，数学的大纲本身就是一个由易到难的计算过程，而这也正是“问题链”概念的特征之一，我国古代有句俗话叫“温故而知新”利用知识的持续性，从旧的知识引入第一个“提问”，再在后续“提问”中不断引出新的知识，这样的过程不仅能降低学生对新知识的畏惧感，还能让他们对新知识产生亲切感。而亲切感的产生会让学生的学习态度更自然，可见，做好新旧知识的“问题链”衔接，也是保证问题链有效性的关键。
以“有理数”的教学为例，教师通过旧知识的引入展开“问题链”。
师：我们都学过有理数的基础概念。同学们还记得么？
生：以0为分界，正整数大于所有负整数，所有正整数都可以成为分数的分母。此时，学生复习完成，教师图片引入新知识
根据上图，教师继续展开“问题链”。
师：通过上图我们观察到了什么？
生1：线条有箭头，它是从左到右而画，它像一把尺。
生2：线条上的数是依据“整数概念”而标。左负右正，左右对应且相同。
生3：这条线上数字与点对应，且什么数字都有，正数，负数，分数。
师：以1举例，在这个数字线条上，左边是-1，右边是1，左右之间，互为什么？
生：相反
师：所有不同类型的数字都能和点对应，要如何概括？
生：说明原点对所有类型的数都可以进行表达。
由这个“问题链”可以看出，教师提问旧知识，学生马上就在教师出示的新知识中带入旧的知识，教师从学生的观察结论中不断深入提问，学生每一步的回答都获得了新知识的延伸，他们获得了想要的知识和乐趣。“问题链”的有效性就得到了保证。
三、利用知识的可探究性设计“问题链”
数学教师都知道，“数”这个概念虽然是单一性理解，但是它却有无限变化的排列组合特征，这也就是知识的可探究性。通过知识的“可探究性”来设计“问题链”是利用学生在“不断发现”中获得的乐趣，来保证他们在“问题链”的教学模式中，全过程主动投入，学生一旦投入主动，则对所有知识的学习都会事半功倍。所以，利用好知识的可探究性，也是很重要的。
以“角”为例，教师首先以生活中常见的物体，以举例模式展开引入。
师：我们的生活中都离不开各种各样的图形，比如黑板是长方形，你们的凳子是正方形，教师的装饰是三角形，那么他们有什么共同特征？
生：都有角。
师：观察发现，所有的角都由两条线构成，过往学习中，两条线交叉会形成什么？
生：点。
师：那么角由什么构成？
生：经过同一点的两条直线交叉。
师：通过两条直线交叉都可以形成怎样的角呢？同学们可以运用自己手中的尺子和笔来画一画，量一量？
在这个问题链中，教师由举例引入“角”的概念，同时引导学生实践动笔，课堂知识围绕“角”的形成展开讨论，通过学生的手动实践，他们会发现一些共同点，此时教师继续展开问题链引导学生观察，所有组成正方形的角都是90°组成三角形的角都小于90°学生由此发现，虽然线可以组成许多种角，但是角度确有共通之处，他们会觉得有趣，由此可见问题链中探究性的重要。
总结
