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三角函数与解三角形
第九讲
三角函数的概念、诱导公式与三角恒等变换
2019年
1.（2019北京文8）如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，
是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为
（A）4β+4cosβ
（B）4β+4sinβ
（C）2β+2cosβ
（D）2β+2sinβ
2.（全国Ⅱ文11）已知a∈（0，），2sin2α=cos2α+1，则sinα=
A．
B．
C．
D．
3.（2019江苏13）已知，则的值是
.
2010-2018年
一、选择题
1．(2018全国卷Ⅰ)已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，则
A．
B．
C．
D．
2．(2018全国卷Ⅲ)若，则
A．
B．
C．
D．
3．(2018北京)在平面坐标系中，，，，是圆上的四段弧（如图），点在其中一段上，角以为始边，为终边，若，则所在的圆弧是
A．
B．
C．
D．
4．（2017新课标Ⅲ）已知，则=
A．
B．
C．
D．
5．（2017山东）已知，则
A．
B．
C．
D．
6．（2016年全国III卷）若，则=
A．
B．
C．
D．
7．（2015重庆）若，，则
A．
B．
C．
D．
8．（2015福建）若，且为第四象限角，则的值等于
A．
B．
C．
D．
9．（2014新课标1）若，则
A．
B．
C．
D．
10．（2014新课标1）设，，且，则
A．
B．
C．
D．
11．（2014江西）在中，内角A，B，C所对应的边分别为若，则的值为
A．
B．
C．
D．
12．(2013新课标2)已知，则
A．
B．
C．
D．
13．（2013浙江）已知，则
A．
B．
C．
D．
14．（2012山东）若，，则
A．
B．
C．
D．
15．(2012江西)若，则tan2α=
A．−
B．
C．−
D．
16．（2011新课标）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则=
A．
B．
C．
D．
17．（2011浙江）若，，，，则
A．
B．
C．
D．
18．（2010新课标）若，是第三象限的角，则
A．
B．
C．2
D．2
二、填空题
19．（2017新课标Ⅰ）已知，，则
=__________．
20．（2017北京）在平面直角坐标系中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若sin=，则sin=_________．
21．（2017江苏）若，则=
．
22．（2016年全国Ⅰ卷）已知是第四象限角，且，则
.
23．（2015四川）已知，则的值是________．
24．（2015江苏）已知，，则的值为_______．
25．（2014新课标2）函数的最大值为_______．
26．（2013新课标2）设为第二象限角，若
，则=_____.
27．（2013四川）设，，则的值是____________．
28．（2012江苏）设为锐角，若，则的值为
．
三、解答题
29．（2018浙江）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点．
(1)求的值；
(2)若角满足，求的值．
30．（2018江苏）已知为锐角，，．
(1)求的值；
(2)求的值．
31．（2015广东）已知．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值．
32．(2014江苏)已知，．
(1)求的值；
(2)求的值．
33．（2014江西）已知函数为奇函数，且，其中．
（1）求的值；
（2）若，求的值．
34．（2013广东）已知函数．
(1)
求的值；
(2)
若，求．
35．（2013北京）已知函数
（1）求的最小正周期及最大值．
（2）若，且，求的值．
36．（2012广东）已知函数，（其中，）的最小正周期为10．
(1)求的值；
(2)设，，，求的值．
专题四
三角函数与解三角形
第九讲
三角函数的概念、诱导公式与三角恒等变换
答案部分
2019年
1.解析
由题意和题图可知，当为优弧的中点时，阴影部分的面积取最大值，如图所示，设圆心为，，.
此时阴影部分面积.故选B.
2.解析
由，得.
因为，所以.
由，得.故选B.
3.解析
由，得，
所以，解得或．
当时，，，
.
当时，，，
所以.
综上，的值是．
2010-2018年
1．B【解析】由题意知，因为，所以，
，得，由题意知，所以．故选B．
2．B【解析】．故选B．
3．C【解析】设点的坐标为，利用三角函数可得，所以，．所以所在的圆弧是，故选C．
4．A【解析】由，两边平方得，所以，选A．
5．D【解析】由得，故选D．
6．D【解析】由，得，或，
，所以，故选D．
7．A【解析】．
8．D【解析】由，且为第四象限角，则，
则，故选D．
9．C【解析】知的终边在第一象限或第三象限，此时与同号，
故，选C．
10．B【解析】由条件得，即，
得，又因为，，
所以，所以．
11．D【解析】=，，上式=．
12．A【解析】因为，
所以，选A.
13．C【解析】由，可得，进一步整理可得，解得或，
于是．
14．D【解析】由可得，
，，答案应选D。
另解：由及可得
，
而当时，结合选项即可得.答案应选D．
15．B【解析】分子分母同除得：，
16．B【解析】由角的终边在直线上可得，，
．
17．C【解析】
，而，，
因此，，
则．
18．A【解析】，且是第三象限，，
．
19．【解析】由得
又，所以
因为，所以
因为．
20．【解析】与关于轴对称，则
，
所以．
21．【解析】．
22．【解析】因为，所以
，因为为第四象限角，所以，
所以，
所以，
所以．
23．【解析】由已知可得，
＝．
24．3【解析】．
25．1【解析】
．，所以的最大值为1．
26．【解析】,可得，
，=．
27．【解析】，则，又，
则，．
28．【解析】因为为锐角，cos(=,sin(=，
sin2(
cos2(，所以sin(．
29．【解析】(1)由角的终边过点得，
所以．
(2)由角的终边过点得，
由得．
由得，
所以或．
30．【解析】(1)因为，，所以．
因为，所以，
因此，．
(2)因为为锐角，所以．
又因为，所以，
因此．
因为，所以，
因此，．
31．【解析】（Ⅰ）．
（Ⅱ）
．
32．【解析】（1），
；
（2）
．
33．【解析】（1）因为是奇函数，而为偶函数，所以为奇函数，又得
所以，由，得，即
（2）由（1）得：因为，得又，所以因此
34．【解析】（1）
（2）
所以，
因此
35．【解析】：（1）
所以，最小正周期
当（），即（）时，
（2）因为，所以
因为，所以
所以，即
36．【解析】（1）．
（2）
关键词：函数的极限 高职数学 教学
极限概念是微积分学最基本的概念之一，连续、导数、定积分等的定义都建立在极限概念的基础上。极限的思想和方法贯穿在整个高等数学的始终，是人们研究许多问题的工具，是从学习初等数学顺利过渡到学习高等数学所必须牢固掌握的内容。正确理解和掌握极限的概念和极限的思想方法是学好高等数学的关键，也是教学中的重点和难点。对高职学生来说，这一部分内容也是较难掌握的。若极限学得不扎实，必然会影响到整个高等数学的学习，因此准确地掌握极限概念，对于进一步研究函数导数、积分等具有非常重要的意义。笔者在高职数学函数和极限一章教学实践中做了如下思考和探索。
一、做好与初等数学的衔接
初等数学研究对象基本上是不变量，而高等数学的微积分以函数、变量为主要研究对象。初等函数是连接初等数学与高等数学的纽带，现行的高中数学课本采用新课程标准，函数的有些内容被删去了，如反函数、三角函数中的余切、正割、余割及反三角函数。这些知识在高等数学中是必要的，因此在教学中笔者加入了这些知识的讲授。
大多数高职学生对中学数学知识掌握并不牢固，所以笔者在教学中重视复习函数概念、基本初等函数及其性质，及时复习求函数极限中用到的数学公式、方法，如根式的有理化、因式分解、三角恒等变换常用公式等，为后续的极限教学做好铺垫。
二、创设情境引入极限概念
学生由初等数学转入高等数学的学习，学习方法、思维习惯、认知理解上会出现诸多不适应。因此，笔者在引入极限概念时，利用AutoCAD软件绘制正多边形的功能来演示随着圆内（外）接正多边形边数的不断增加，正多边形会越来越接近圆这一动态效果，使学生在具体情境中体会到这种无限的过程，使学生能够深刻地理解极限思想的内涵。让学生体会从“量变”到“质变”，从而真正理解极限这个概念。在教学上，我们用多媒体课件动态展示有关函数的图形，帮助学生理解和观察函数的左右逼近值，从而建立左右极限的概念。通过实践“情境—问题—探究”这一教学方式，学生在学习过程中逐步体会常量与变量、有限与无限、近似与准确、动与静，培养学生的辩证思维能力。学生只有真正掌握了“极限”的动态实质，才能更好地理解和掌握导数和积分的概念。
三、精讲极限概念中的关键词
刻画极限的语言高度概括抽象，复杂又逻辑结构严密。高职学生难以理解和接受。所以高职数学无需讲解极限的定义，采用极限的描述性定义更符合高职学生的实际。在极限的描述性定义中有两个关键词，“无限接近”的含义就是“要多接近就有多接近”，“定义”就是对“要多接近就有多接近”的定量化。笔者在教学中利用多媒体课件展示函数动态图形，分析一些典型变化趋势，通过比较数值的变化及函数图形解释“要多接近就有多接近”，引导学生进一步探讨自变量x“无限接近”x0的各种不同形式，使学生在图形上对“无限接近”这种“动态”变化有一较清晰的认识，从而强化对极限概念的理解。
四、针对学生易犯的错误重点讲解
学生在高中阶段已初步学习过极限概念，但缺乏深入的理解，特别是对“无穷小”和“无穷大”更感难以理解。例如对“无穷大”的概念，很多学生认为它是一个无限大的常数，思想还停留在常量数学阶段，而缺乏运动和变化的思想；相应地，将无限小的数就理解为“无穷小”。这样学生就会出现把“无穷小”和“无穷大”当成一个数进行四则运算，极限的四则运算法则成立的前提是两个函数的极限都存在，部分学生往往忽略这一点而造成错误。学生还经常忽视自变量的变化趋势对函数极限的影响，分段函数在分界点的连续性是教学中的一个难点，学生对为什么要计算左右极限感到不解。分析其原因，问题往往出在对极限概念的理解上，对自变量的变化趋势的理解不够。对此，纠正以上错误对具体求函数极限的习题也会有很大帮助。
五、及时总结求极限的各种方法
学生学习函数极限这一章内容感觉较难的原因还在于极限的求法众多，且灵活性强，不是每一种方法都适用于求任意函数的极限，面对各种题型学生往往束手无策。因此，在教学中我们很有必要对函数极限的各种求法加以归纳总结分类。在本章教学结束时，笔者针对求极限的各种方法集中上一次习题课，详细总结各种求极限的方法，取得了较好的效果。
论文摘 要 高等数学与初等数学教材内容的有效衔接问题，是切实提高高等院校高等数学课程教学质量的关键问题之一。本文对高等数学与初等数学教材中有关“函数与极限”、“导数与微分”等内容及教学要求进行了比对，并给出了解决这些问题的一些建议。
经过调研了解到，2003年3月教育部颁发的《普通高级中学数学课程标准》出台之后，新出版的高中教材与以前的教材相比，一个重要的特点是新教材进一步加强了高中数学与大学数学的联系，高中教材中安排了大学数学课程里的一些基本概念、基础知识和思维方法。试图从教学内容方面解决高中数学与大学数学的衔接问题。但是，大学数学与高中数学教材内容的衔接上还存在不少问题。这些问题影响了大学数学课程的教学质量，对大学新生尽快适应大学数学学习形成了障碍。高等数学与初等数学教材内容的有效衔接亟待解决。
1 “函数与极限”的衔接
函数，是高中数学的重点内容，高考要求较高，学生掌握也比较牢固。高等数学教材中的这部分内容基本相同，但内涵更丰富，难度也提高了。
（1）函数概念：在原有内容中，增加了几个在高等数学中经常用到的实例，如取整函数、狄利克雷函数、黎曼函数、符号函数等。因此，在学习中，函数概念部分可以简略，重点学习这几个特殊函数即可。
（2）初等函数：反三角函数要求提高，新增加了“双曲函数”和“反双曲函数”等内容。反三角函数的概念在高中已学过，但高中对此内容要求较低，只要求学生会用反三角函数表示“非特殊角”即可。而高等函数中要求较高，此处在学习中应补充有关内容：在复习概念的基础上，要求学生熟悉其图像和性质，以达到灵活应用的目的。新增加的“双曲函数”和“反双曲函数”在高等数学中经常用到，故应特别注意。
（3）函数极限：“数列极限的定义”，高中教材用的是描述性定义，而高等数学重用的是“”定义，此处是学生在高等数学的学习中遇到的第一个比较难理解的概念，因此在教学中应注意加强引导，避免影响函数极限后面内容的学习。新增内容“收敛数列的性质”虽是新增内容，但比较容易理解和掌握，教学正常安排即可。“极限四则运算”处增加了“两个重要极限”，要加强有关内容的学习。
2 “导数与微分” 的衔接
高中新教材中的一元函数微积分的部分内容，是根据高等数学内容学习需要所添加，目的是加强高中数学与高等数学的联系，让中学生初步了解微积分的思想。
（1）导数的定义：高中数学和高等数学教材中，这一内容是相同的，不同的是学习要求。高中数学要求：了解导数概念的某些实际背景（例如瞬时速度，加速度，光滑曲线的切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的概念和导数的几何意义；理解导函数的概念。也就是说，尽管极限与导数在高中已经学过，但主要是介绍概念和求法，对概念的深入理解不作要求。到了大学，概念上似懂非懂、不会灵活运用，成了夹生饭。但高等数学要求学生掌握并熟练应用，这是高等数学的一个重要内容，在此处应用举例增加了利用“两个重要极限”解题的例题，在教学中应给与足够的重视。
（2）导数的运算：高中新课标教材要求较低：根据导数的定义会求简单函数的导数；能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，会求简单的复合函数导数。重点考察利用导数的几何意义分析问题、解决问题的综合能力。
高等数学教学大纲对这部分内容要求：掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法；掌握初等函数的一、二阶导数的求法，会求分段函数、隐函数、参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数；了解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数；了解微分的概念与四则运算。
建议：高中学过的仅仅是该内容的基础，因此需重新学习已学过的内容，为本节后面更深更难的内容打好基础。
（3）导数的应用：高中新教材中仅是借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系，并通过实际的背景和具体应用事例引导学生经历由函数增长到函数减少的过程，使学生了解函数的单调性，极值与导数的关系，要求结合函数图像，知道函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，会用导数求不超过三次的多项式函数的最大最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性；通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的应用。
高等数学对这部分内容的处理是：先介绍三个微分中值定理、洛必达法则、泰勒公式，然后严格证明函数的单调性和曲线的凹凸性，给出函数的极值、最值的严格定义，及函数在一点取得极值的必要条件和充分条件。在此基础上，讨论求最大最小值的应用问题，以及用导数描绘函数图形的方法步骤。
建议：由以上分析比较可知，高中数学所涉及的一元微分学虽然内容差别不大，但内容体系框架有很大差异，高等数学知识更系统，逻辑更严谨。学习要求上，对于导数的几何意义，导数的四则运算法则及简单函数的一阶导数，利用导数判断函数单调性和求函数极值都是高中数学课程标准中要求的重点，是重点强化训练的知识点。而在高等数学教学中建议一点而过，教学重点应放在用微分中值定理证明函数单调性的判定定理、函数极值点的第一、二充分条件定理以及曲线的凹凸性、拐点等内容上。
以上主要分析比较了高中数学与高等数学的重复知识点。除此之外，二者之间以及高等数学与后继课程之间还存在着知识“断裂带”。
3 高中数学与高等数学知识的“断裂带”
高考对平面解析几何中的极坐标内容不做要求，鉴于此这部分知识在高中大多是不讲的；而在大学教材中，极坐标知识是作为已知知识直接应用的，如在一元函数微分学的应用中求曲率，以及定积分的应用中求平面图形的面积等。建议在相应的地方补充讲解极坐标知识。
初等数学与高等数学除了在教材内容上的衔接外，在学习思想和方法等方面的衔接也都是值得研究的课题。学生刚开始学习高等数学，不能很好地衔接，教师在教学中要注意放慢速度，帮助学生熟悉高等数学教与学的方法，搞好接轨。首先要正确处理新与旧的关系，在备课时，了解中学有关知识的地位与作用及与高等数学知识内在的密切联系，对教材做恰当的处理；上课时教师要经常注意联旧引新，运用类比，使学生在旧知识的基础上获得新知识。
总之，努力探索搞好初等数学和高等数学学习衔接问题，是学好高等数学的关键之一。
参考文献
Qin Yufang；Zheng Xiaoqi
（①上海海洋大学信息学院，上海 201306；②上海师范大学数理学院，上海 200234）
（①College of Information Technology，Shanghai Ocean University，Shanghai 201306，China；
②Department of Mathematics，Shanghai Normal University，Shanghai 200234，China）
摘要：复变函数主要研究复数域上的函数，是高等数学课程的延伸。本文阐述了复变函数和高等数学在理论体系上的异同，并强调其差异性。在复变函数的授课中，采用对比教学法，以加深学生对知识的理解，提高分析和解决问题的能力。
Abstract: Complex Analysis, which mainly studies the functions in the complex fields, is the extension of Advanced Mathematics. In the paper, we discuss the similarities and differences between Complex Analysis and Advanced Mathematics in theory, with an emphasis on the differences. In the courses of teaching, we exploit the comparative teaching, which intends to deepen the understanding the knowledge and improve the abilities to analyze and solve the problems.
关键词：初等函数 解析函数 级数
Key words: elementary function；analytic function；series
中图分类号：G42 文献标识码：A文章编号：1006-4311（2011）20-0234-02
0引言
复变函数是高等院校数学系和许多工科院系的一门专业基础课，它不仅在数学的其它分支，如常微分方程、积分方程、概率论有着重要的应用，而且广泛应用于其它科学领域，如理论物理、空气动力学、流体力学、弹性力学、自动控制学等。因此，如何学好复变函数这门课程是非常重要的。
复变函数主要利用微分、积分、级数展开等工具研究复数域上函数的性质。从这个意义上讲，复变函数本质上是将实数域上的分析学推广到复数域上，因此，学习复变函数课程既可以加深对各种分析学工具的理解，又可以培养学生利用这些工具研究和分析新问题的能力。
复变函数中“实数到复数”的推广并非平凡的推广，实数域上的函数、积分、微分等概念很容易被感知。然而，由于引入了虚数单位i，复数域上的相应概念很难形象地理解，例如函数图像都很难在我们感知的空间中直观地描述出来。并且，由于定义域扩充到复数域上，从而发展出柯西积分定理、最大模原理等优美的结论。因此，“指出联系、强调区别，采用对比的方式教授相关内容”是复变函数教学的一个重要方法之一。本文将结合作者在分析领域多年的教学经验，将复变函数与高等数学进行纵横对比，分清异同，理解本质，希望给学习这门课的学生及任课老师一些借鉴。
1初等函数的定义和性质
在复变函数中，首先根据欧拉公式形式地给出了复数域上指数函数的概念，然后利用指数函数定义了幂函数，三角函数，反三角函数，双曲函数和反双曲函数等初等函数。无论从定义的方式和概念的形式，都与高等数学中实数域上的初等函数存在很大的不同，但是，当复数域上初等函数的定义域限制到实数域时，就是实数域上对应的初等函数。在性质方面，两者呈现出许多相异的地方[1]。例如：①复数域上的对数函数、幂函数、反三角函数和反双曲函数均为多值函数，这一点增加了复变函数研究的复杂性和难度；②复数域上的指数函数是以2πi为基本周期的函数；③复数域上的正弦函数和余弦函数在定义域上是无界的。
除了强调复变函数中某些概念及其性质呈现出的差异这些知识点外，在教学中还应使学生明确概念推广所遵循的一些基本原则。一方面，概念的推广必须满足相容性，例如当复数域上函数限制到实数域时，必须与实函数的一切性质相吻合。另一方面，概念推广要尽可能保持原对象的性质，尤其是运算性质。以三角函数为例，它在复数域上是无界的，但限制在实数域上就是高等数学中研究的三
角函数，而且，三角恒等式如和差化积、积化和差、二倍角、半角公式也都是成立的。课堂上，引导学生对比复数域和实数域上的概念，分析从实”到“复”变化中的异同，使得学生在学习的过程中不断地思考，从而加深对概念本质的理解，并激发探求新知识的积极性。
2分析学工具的比较
复变函数中的基本概念如极限、连续、导数、积分以及级数，与高等数学中的定义方式完全一致。例如，极限均是采用“ε-δ”语言来定义的，积分是采用分割、近似代替、求和、取极限来定义的。由于定义方式完全相同，它们的运算性质是一致的。此外，由于一个复函数可以等价地由实部和虚部两个二元实函数来刻画，因此复函数的极限存在性、连续性等与其实部、虚部两个二元实函数的极限存在性、连续性等价。然而可微性是个例外，复函数的可微性不仅要求实部、虚部两个二元实函数是可微的，还要求它们的偏导数满足一个条件――柯西黎曼方程（C.-R.方程）。由于满足了较为苛刻的条件，可微的复变函数具有更好的性质，人们单独对这类函数进行研究，即复变函数中的一个重要研究对象―解析函数。
泰勒展开是研究函数性质的一个重要工具。高等数学中对一个实函数进行泰勒展开的条件是[2]，f（x）在区域x-x■
在教学中，引导学生比较高等数学和复变函数中极限、连续、可导等概念的异同点，这样既能夯实高等数学的基础，又能在学习复变函数时达到事半功倍的效果，从而实现纵向层次上的对比教学。
3可导与解析的关系
解析是比可导更强的一个概念，复函数在一点处解析，不仅要求在该点可导，还要求在该点的邻域内可导。因此，复函数在某点解析，一定可导，但反之不一定成立。在定义域的每点都解析的函数称为解析函数。解析函数具有一个非常好的性质，即无穷阶可导性，因此解析函数可以利用泰勒展开定理和洛朗展开定理来研究自身的性质。利用泰勒展开式，人们研究解析函数的零点的分类，并推导出解析函数零点必孤立和唯一性定理、最大模原理等结论；利用函数的洛朗展开式，人们研究解析函数孤立奇点的分类，并为著名的留数定理奠定了理论基础；另外，这两类级数是微分方程中幂级数解法的理论基础。
在教学中，引导学生分析复变函数中概念之间的相似之处与差异，例如解析和可导、泰勒级数和洛朗级数等，使得学生在掌握新概念的同时领悟概念间的内在联系，从而实现横向层次上的对比教学。
4导数、积分与级数的关系
在复变函数中，泰勒展开定理的内容如下[3]：若f（z）在圆域D：z-z■
同样，洛朗展开定理将洛朗级数、导数和积分联系在一起。特别的，洛朗级数中（z-z■）■项的系数具有重要的地位，这个系数被定义为孤立奇点的留数。留数是复变函数中的一个重要概念，留数方法已成为计算复变函数中积分的一个重要工具，并且留数方法还可以计算被积函数的原函数不能用初等函数表示的实积分，此外，在流体力学、弹性力学的应用中发挥了重要作用。
5柯西积分定理和格林公式的关系
柯西积分定理是复变函数理论中最重要的定理之一，在研究解析理论中起着关键性的作用。根据柯西积分定理[4]，设f（z）=u（x，y）+iv（x，y）在区域D内解析，C为区域内任意一条有向简单闭曲线，则∮■f（z）dz=0，在讲解这个定理时，引导学生进行如下思考：高等数学里是否有对应的定理？
下面我们看一下高等数学中的格林公式。设函数P（x，y），Q（x，y）在区域D内具有一阶连续偏导数，C为区域内任意一条有向分段光滑闭曲线，则∮■ Pdx+Qdy=■■-■dxdy，其中D0为C所围成的区域[2]。 从形式上看，似乎没有联系。实际上，根据f（z）的解析性质，它一定满足柯西-黎曼条件，即■=■，■=-■，所以
∮Cf（z）dz=∮■udx-vdy+i∮■vdx+udy
=■-■-■dxdy+i■■-■dxdy=0，
其中D0为C所围成的区域。从而柯西积分定理可以看成是格林公式在复变函数中的推广。
在教学过程中，除了讲解课本上的已知结论，还鼓励学生多思考，开拓创新思维，这样学生不仅理解知识的本质，还可以享受到创新的快乐，激发学习的热情和积极性。
总之，与高等数学相比，复变函数研究的内容和分析问题的方法有很多内在的联系与区别。因此在教学中采用对比教学法，比较和探究复变函数和高等数学的异同，加深学生对知识的理解，提高分析问题和解决问题的能力。
参考文献：
[1]焦红伟,尹景本.复变函数与积分变换[M].北京:北京大学出版社,2007.
[2]同济大学数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2007.
辨析题高等数学作用在我国高等教学中，学生们在做题中经常会发现具有很多概念问题，定理的条件或者结论问题，还有不能解决的公式问题等一些在高等领域中，具有深刻意义的数学问题。这些问题的出现也是在高等教育学校里，跟高等学校的老师和教材有关。所以，在高等教育学校的老师对高等教育教学方法进行修改，甚至对高等教育学校的教学教材进行改编。我们就会发现在高等数学中，学生们对部分的定理条件或者结论时就会懂得怎样去解决。对于解决这些难题，学生们应该归纳总结出那些问题的难点，提出那些经过精心准备的辨析题进行思考和分析。这样才能让学生们去单独思考和发挥思维，去建立正确的概念和定理，从而解决这些加深概念的难题。
一、加强学生们对数学概念和定理的正确理解
1.概念，例如在数列中的极限是一个抽象而且难懂的一项概念，高等学校的学生们很难正确理解数列中的极限是什么概念。
例如，辨析题：意思就是当ε
2.高等数学中，很多公式可以计算某些积分数据，但是计算过程是很复杂的。例如：可以用来计算积分，但是计算积分的条件必须让学生清楚这种格式在应用计算积分中是很少用上的，我们要想知道是不是可以用来进行等量代换，可以得出还可以推出，做到这一步了，其实可以直接得出，在这些辨析题中，可以让学生知道：在函数进行代换的时候，在[-1，1]上无意义的点t=0。最后才让学生知道原来这些辨析题不能进行变量代换公式，才能真正了解这些公式在条件中的作用。
3.在积分区间，根据积分的变量反映了积分的正负关系，所以在积函数中也会有形成因子时，有的时候也会变成，还有是会变成在积分区间划分为两个不同的公式，分别是。但是在高等数学中，很多数学对函数的积分概念理解不清楚，经常导致出现计算错误或者利用公式不对，从而导致计算出来的结果与答案完全不同，具有很大的误差。
例如，我们看下面的计算发生错误的地方：其实学生们都知道所以，我们明显的知道，这个公式的计算是错误的。但是通过这个高等数学的辨析题我们知道：
所以，我们才知道在计算积分时，我们不但可以改正计算积分的错误算法，还可以探讨出更加好的运算原理和新公式，得出更加方便和快捷的计算方法。以上的几个例子足以证明，在高等数学中，老师出辨析题对学生们的作用和提升了，只要同学们积极去思考和努力去计算，就可以解决一切计算的困难，这样才能真正应用概念和定理的作用。
二、加强知识沟通与开发
在多元函数中当f（p）在某一点p上时，偏导数存在，但是当f（p）在点p连续时，成立在点p上的充分条件。在高等数学中，一元函数和多元函数在偏导数的存在与否具有不同之处，在我国高等数学教材中给出的是：这样可以说明，多元函数在某一点上的偏导数就会存在，而当一元函数不连续时偏导数就不存在。这样的例子并不是想说明函数需要在某一点上连续或者说明函数必须在某一点上存在偏导数。我们可以看辨析题知道：例题1：已知一个函数在点f上当x与y都等于0时，求它们在点（0，0）上是否存在？而且看f（x，y）在点（0，0）是否连续？从这个例子我们可以得出什么规律或者原理？
这个辨析题不仅给高等数学中的学生带来了分析还给学生们总结了一个原理，那就是多元函数在某一点偏导数存在而函数不连续的情况确实存在，而且我们可以看出在几何图像中显出点（0，0）偏导数存在，知识描述了f（x，y）在图中的性态，其实不能真正在点（0，0）上连续存在偏导数。在不同的函数领域里，一定有f（x，y）-f（0，0）=1的某一点。所以，这种题目给高等数学学校的学生开拓了大脑思维，从而进入了更加深层的思考问题的范围之内了。
经过上面的例子分析和计算，我们可以知道为什么选择辨析题来给学生们进行理解和思考。这样不仅可以提高学生在理解课程知识的进步，还能对学生们所学到的知识进行巩固和延伸。
所以，在高等教育学校，我们应该做好辨析题分析，才能让学生们在辨析题中有提高和进步的空间。但是，在我国高等数学中，教好辨析题的做法与分析不是一件容易之事啊。老师必须在上课之前做好课前备课，课堂与同学们进行讨论和研究。同时有了老师积极付出，应该还少不了同学们的积极配合，这样才能有效提高高等数学中辨析题的作用，下面我们对辨析题的优点进行了总结以下几点：
1.做辨析题是同学们在做高等数学题中的一种题型之一，高等数学题还包括计算题、函数题、证明题、应用题等各种题型。而辨析题的作用主要可以让学生们对老师所讲的知识进行巩固和延伸，从而进一步让知识更加广。
2.解答辨析题，主要是应用老师教的辨析解题法。能真正解答辨析题的学生必须是经过了思考和积极思维去做出来的，因为辨析题很需要学生去探索和积极思维，才能更快地解决辨析题，锻炼解决辨析题，可以锻炼学生灵活利用数学知识和公式，从而对解决辨析题具有重大的作用。
3.解决辨析题，不仅仅是机械记忆的一种方法还是概念与定理的一种记忆，但是仅仅利用老师所教的概念与定理远远不够用来解决辨析题，所以，学生们还要积极对高等数学教材进行钻研和探讨，才能让以后的学习数学更容易。
三、结语
高等数学中的辨析题对学生们进行开拓思维和积极延伸所学知识具有重要的作用。还可以为学生们以后解决高等数学的其他题型。
参考文献：
[1]张剑平.现代教育技术理论与应用[M].北京：高等教育出版社，2008.
关键词 同济六版 高等数学 符号 概念 解题方法 注记
中图分类号：G642 文献标识码：A DOI：10.16400/ki.kjdkz.2015.01.021
同济六版《高等数学》是一部经典的工科类本科数学基础课程教学的教材，适合当前我国各类高校工科类本科专业根据不同的教学要求分层次教学的需要。但是，再完美的教材鉴于作者的认知方式也有不尽如人意的地方。概念、符号、解题方法对于高等数学来说是精髓，是灵魂，本文就同济六版《高等数学》的几个问题做了注记，以资借鉴和提高。
1 几个基本概念、符号的说明
对高等数学课而言，学生要想把它学好、学精，离不开对一些基本概念的理解和一些符号的准确掌握，尤其对于初学者。所以，作为教师就要在授课时对学生正确引导，注意区分，多加强调。
1.1 单侧极限、单侧导数及导数的单侧极限的符号
同济六版《高等数学》第一章第三节（P34）给了单侧极限概念，把左、右极限分别记作 （） = （）、 （） = （）；第二章第一节（P83）给了单侧导数概念，把左、右导数分别记作（） = 、（） = ；按照上面这两种记法，不难想象（）、（）分别表示的就应该是函数 （）的导函数 （）在点处的左、右极限，也就说有（） = （）、（） = （）。
这里以为例说明这些符号的不同。 （）、（）、（）分别代表的就是函数 （）在处的右极限、右导数及导数的右极限，其中（）还蕴含函数 （）在的右邻域（， + ）内每一点可导。虽然其符号极其相似，但这三个是完全不同的概念，不能混为一谈，尤其要引导学生正确书写和理解不同符号的含义，特别是对于后两者，很多高等数学的初学者在解题的时候误认为（） = （） = （），求分段函数在其分支界点处的导数时，用这种方法可能会导致计算结果的错误。比如下面这一问题，设，则（0）= = = 0，当≠0时，（） = 2，而（2）不存在，就是（）没有意义，所以说（）与 （）之间一般不存在相互关系，不要错误利用来解题。
同济六版《高等数学》第二章第一节（P87）给了这样一道习题：
设函数，为了使函数 （）在 = 1处连续且可导，、应取什么值？
常规的解法应该是： （）在 = 1处连续，有 （） = （），即1 = ； （）在 = 1处可导有 （1） = （1），即 = = ，从而 = 2， = 。
值得一提的是，很多学生在做作业的时候关于 （）在 = 1处的可导性条件是这么用的：当≤1时， （） = ，当>1时， （） = ，由条件知 （） = （），而 （） = （） = 2， （） = = ，从而 = 2， = 。很多老师在批改作业的时候就认为学生的这种做法是错误的，事实上王金金，任春丽在文献[3]中已经证明：设函数 （）在[， + ]上连续，在（， + ）内可导，且 （） = 存在，则函数 （）在点处的右导数（）存在，且有（） = （） = （）。
所以，尽管（）与 （）是不同的概念，但是在一定条件下它们之间有联系，既要引导学生正确区别，同时不要不假思索地给学生的作业判错，要引以为戒。
1.2 函数微分学的一些符号
同济六版《高等数学》第二章第三节（P99）给了高阶导数的概念，以二阶导数为例：
一般的，函数 = （）的导数 = （）仍然是的函数。我们把 = （）的导数叫做函数 = （）的二阶导数，记作或，即 = 或 = （）。
其中符号 = = ；表示的二阶微分，即是对微分两次（ = 0）；表示对微分一次，即 = 。三者表示的是不同的含义，不能混淆，尤其是 = 与≠。比如像有的教材上给出如下的习题：
设 = ，求，，，。
像上述例题中的表达式，就不准确，误认为 = 与 = 。
1.3 最值与极值的定义
同济六版《高等数学》第一章第十节（P70）给了函数最值的概念：
对于在区间上有定义的函数 （），如果有，使得对于任一都有 （）≤ （）（（ （）≥ （）），则称 （）是函数 （）在区间上的最大值（最小值）。
第三章第五节（P154）给出了函数极值的概念：
设函数 （）在点的某邻域（）内有定义，如果对于去心邻域内的任一，有 （）< （）（或 （）> （）），那么就称 （）是函数 （）的一个极大值（或极小值）。
上述两个概念是有很大不同的。首先，最值是定义在函数有意义的某个区间上，是一个全局性的概念，而极值是定义在函数有意义的某点的某邻域范围内，是一个局部性的概念；其次，最值的定义中“对于任一都有 （）≤ （）（ （）≥ （））”，可以取， （）也可以等于 （），而极值的定义中“对于去心邻域内的任一，有 （）< （）（或 （）> （））”，≠， （）也是严格大于或者小于 （）；比如定义在区间[0，2]的常数函数 = 1，在区间[0，2]上能取到最值，区间[0，2]上的每个点都是最值点，但是此函数在区间[0，2]上取不到极值；第三，极值一定是局部的最值，最值却不一定是极值，极值只能在区间内部取到，而最值可以在区间端点取到。
2 函数的极限的讲解方法
从数列极限到函数极限，同济六版《高等数学》是先介绍自变量趋于有限值时函数的极限，而后介绍自变量趋于无穷大时函数的极限。为了增强对比学习的效果，比照 = 0让学生讨论，从数列极限过渡到时函数极限，接着引出、时函数极限的概念，比如可以从 （） = 的图像出发，启发学生类似时函数极限讨论时函数极限，以具体实例引出单侧极限的概念，从而实现从数列极限到函数极限的自然过渡。
3 常系数非齐次线性微分方程求特解
同济六版《高等数学》第七章第八节（P341）给出了二阶常系数非齐次线性微分方程 + + = （），当 （） = 时不用积分就可求出方程特解的待定系数法。
设 = （），带入方程得（） + （2 + ）（） + （ + + ）（） = 。当是特征方程 + + = 0的单根，即 + + = 0，但2 + ≠0，此时（）必须是次多项式，教材上说“可令（） = （）”。很明显，（）与（）是不同的，二者相差一个常数，不影响最终的结果吗？事实上，当是特征方程 + + = 0的单根时，在（） + （2 + ）（） + （ + + ）（） = 中 + + = 0，方程左端最后一项（ + + ）（）不起作用，同时（）比（）多出来的那个常数在求导的过程中不影响导数的结果，也就是说令（） = （）或者令（） = （）都能满足方程（） + （2 + ）（） + （ + + ）（） = ，而且令（） = （）在待定系数时还少求解一个系数，何乐而不为？当是特征方程 + + = 0的重根时，可令（） = （），是一样的道理。这一点作为教师必须得清楚。
4 高斯公式的应用中一道例题的解法
同济六版《高等数学》第十一章第六节（P231）例1：
利用高斯公式计算曲面积分（） + （），其中为柱面 + = 1及平面 = 0， = 3所围成的空间闭区域 的整个边界曲面的外侧（如图1）。
教材上利用高斯公式把曲面积分（） + （）转化成了（），接下来的计算完全可以发散开来让学生去想怎么求，因为三重积分的计算他们已经学过并且很熟悉。按照惯常的思维，最直接的解法是把上面的三重积分化成直角坐标下的三次积分，不过不难发现积分区域 在坐标平面上的投影是圆域，所以也可以按照书上把其化成柱面坐标下的三次积分（），同时这个三重积分的计算还可以进一步延伸利用对称性和截面法转化为 = = 。
数学被誉为锻炼思维的体操和人类智慧之冠上最明亮的宝石，高等数学更是很多理工科学科进一步学习的基础，所以在备课的时候做充分的准备，而授课时尽可能以一种比较易于为学生接受的思维和方式来展开是很有必要的。同济六版《高等数学》虽然很经典，但是在一些细节处理上还是可以改进的，其中一些没有点明，被作者略去的内容还是需要教师在授课的时候讲到的，最起码是自己备课的时候应该用心想过的。当然，仁者见仁智者见智，毕竟从学生的实际出发、切合不同专业的需要才是最根本的。
参考文献
[1] 同济大学数学系.高等数学（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2007.
【关键词】工程数学；复变函数；积分变换；教学方法
工程数学是高等数学的后续课程，是一门重要的工科专业必修课。它不仅在数学的其他分支，如常微分方程、积分方程，有着重要的应用，还在其他科学领域有着广泛的应用，如理论物理、流体力学等。
我校是医学院校，针对我校生物医学工程专业，我们在学生大二第一学期开设了工程数学这门课程，是一门必不可少的专业基础类必修课程。它为电工与电路分析、模拟电子技术、信号与系统等后续专业专业课学习提供了必要的数学工具，在整个课程体系中占有举足轻重的地位和作用。因此，如何学好工程数学这门课程是非常重要的。我校工程数学计划54学时，包括复变函数和积分变换，学时少，内容多。在教学过程中，学生也时常反应概念难懂、方法不易掌握、习题难做，容易与高等数学的知识点混淆。对此，本文结合实际授课经验和我校工程数学这门课程教学改革，浅谈教学过程中遇到的一些问题和对一些知识点的处理建议。
工程数学和高等数学既有区别又有联系。它们的研究对象都是函数，研究主线都是通过变量研究函数，从而定义极限，利用极限去研究函数的连续、导数、积分。两者的差异在于工程数学研究的函数是复变函数，高等数学研究的函数是实变函数。从实变函数到复变函数，函数的定义域与值域从实数域扩大到复数域。因此，复变函数是实变函数理论的延续和拓展，两者的区别和联系贯穿教学的始终，在教学过程中，通过类比的方式，利用高等数学的知识，理解复变函数与实变函数的区别。例如，对许多基本概念及定义进行理解时，使用类比法多做对比，找出相似点与不同点，加深对这些概念的理解。
1 复数的定义
一般称（其中，x，y是实数）是一个复数。但这个概念的本质是什么呢？类似实数可用直线上的点来表示，一个复数由一对有序实数（x，y）唯一确定，当建立直角坐标系后，平面xoy上的任意一点P（x，y）可以按照一定规则与一对有序实数（x，y）建立一一对应的关系，也可以和起点为原点，终点为P的向量建立一一对应的关系。因此，从几何角度理解，复数可以用点P或者向量来表示，也可以说复数是向量的另外一种表示方式。因此，复数的本质应该是向量，而不是“数”。“数”的本质特性是可以比较大小的，因此，可以从这个角度不难理解，复数为什么不能比较大小了。
2 复变函数的定义
复变函数是一元实变函数的直接推广，它的定义与一元实函数的定义形式完全相同，但是复变函数的自变量和因变量都取自复数，其与两个二元实变函数相对应，因此，复变函数在几何上就可以看成是z平面上的一个点集G到平面上一个点集的映射。因而，无法用直观的图形来表示函数关系，若要直角坐标系画出，需要四维空间，而一元实变函数在几何上表示的是一条平面曲线。这是复变函数与实变函数定义上的一个不同。在向学生讲解复变函数的几何特性时，可以从简单的例子出发，例如，函数可以先介绍点与点的对应，然后是点集与点集的对应，如Z平面上的曲线在该函数作用下的图像。复变函数与实变函数另外一个不同在于复变函数可以是多值函数，例如，开方函数可以将Z平面上的一点映射为平面上的两个点。
3 复变函数的极限与连续
复变函数与一元实变函数的极限、连续在定义形式上相似，许多基本性质与运算法则也相同，但本质上与二元实变函数一致。定理证明[1-2]，一个复变函数的极限存在充要条件是它的实部函数与虚部函数的极限都存在；一个复变函数在某一点连续充要条件是它的实部函数与虚部函数在点是连续的。因此，研究复变函数的极限和连续等问题可以转化为两个二元实变函数的极限与连续问题。其次，复变函数中自变量的变化趋势与实变函数的自变量的变化趋势也有所不同，复变函数中自变量的变化趋势指的是以任何方式任何路径区域，不仅仅是左右两个方向趋于，而实变函数的自变量的变化趋势是指从左右两个方向趋于。因此，复变函数的极限要求更高、更严格。而连续是基于极限这个基础的，所以复变函数连续也要比实变函数连续要求更高。
4 解析函数
解析函数是复变函数的一个重要研究对象。函数解析是比可导（可微）更强的一个概念，复变函数在一点处解析，不仅要求在该点可导，还要求在该点的领域内可导。因此，复变函数在一点解析，一定是可导的，反之，不一定成立。在区域D内每点都解析的函数称为区域D上的解析函数。判断复变函数在某一点可导的充要条件是它的实部函数和虚部函数在这一点可导，且满足柯西-黎曼方程。要判断函数在这一点的解析性，一般只能通过定义。其次，要判断一个复变函数在区域D内的充要条件是它的实部函数和虚部函数在区域D内可导且在区域D内满足柯西-黎曼方程。这里主要利用了开区域的定义，因为开区域每个点都是其内点，故若函数在开区域D内处处可导，则在D内处处满足上述两个条件。因此，对于D内任意一点，必存在该点的一个邻域，使得函数在该邻域内处处可导。故由函数解析的定义可得，函数在区域D内的每一点处解析。
5 复变函数的积分
从形式上看，复变函数的积分是实变函数定积分的一种自然推广。但其本质上是复平面上的，它可以与二元实函数的线积分联系在一起。相对应就有了柯西-古萨基本定理，在此基础上，得到了一系列推广定理如：复合闭路定理、闭路变形原理等。柯西积分公式的证明基于柯西-古萨定理。其重要性在于解析函数在区域内部的值可以通过其在边界上的值通过积分得到。
综上所述，工程数学中蕴含了丰富的数学方法，特别是类比的数学方法。工程数学中很多问题可以通过一定的技巧转化为高等数学的问题，很多的结论可以通过与高等数学的知识类比得到。但是，它们在概念上也有一定的差异，因此，在教学过程中，要注重与高等数学知识衔接，比较和探究它们的异同，概括它们的原理，使得学生在掌握新概念的同时，领悟概念间的内在联系，从而加深学生对知识的理解，提高分析问题和解决问题的能力。
【参考文献】
[1]王锦森.复变函数[M].1版.北京：高等教育出版社，2008.
[2]钟玉泉.复变函数轮[M].3版.北京：高等教育出版社，2004.
[3]熊春连，陈翠玲，段华贵.工科复变函数中的迁移教学[J].大学数学，2010，26（2）：203-206.
关键词：函数零点；数学思想；中学数学；大学数学
中图分类号：G633.6 文献标识码：B 文章编号：1672-1578（2016）01-0392-02
1.引言
德国数学家F.克莱因认为：教师应具备较高的数学观点，基础数学的教师应该站在更高的视角（高等数学）来审视、理解初等数学问题，只有观点高了，事物才能显得明了而简单。函数零点问题涉及化归、分类讨论、数形结合、函数与方程等重要的数学思想，且很多学生一直都有"恐函症"，一见"任意""存在"等字眼就发懵，因此，尽管这个命题只有寥寥数语但也带给学生不少困惑。另外，《数学分析》也对该函数零点问题进行了延续，罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、数列致密性定理等都与它有千丝万缕的关系。本文从函数零点的概念延伸、函数零点的求解方法及导函数的零点问题对函数零点的几种应用类型进行比较，并进一步阐述函数零点问题在中学数学与大学数学中的联系。
2.零点概念性质的延伸
定义1[1]（函数零点） 对于函数y=f（x），我们把使f（x）=0的实数x叫做函数y=f（x）的零点。
同时，关于函数零点，我们有如下几个等价条件[1]：函数y=f（x）有零点方程f（x）=0有实数根函数y=f（x）的图像与x轴有交点。
这个概念本身就已经结合了函数与方程的思想，而《高等代数》[2] 又赋予了这个概念新的解释：f（λ）=|A-λE|为A的特征多项式，则特征方程|A-λE|=0的根λ就是A的特征值。也就是说矩阵的特征值就是其特征多项式的零点，这就将零点应用拓宽到了矩阵领域。
另外，《数学1》[3]中还给出了一个结论，延伸到《数学分析》[7]里，我们把它称作函数零点存在定理： 如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f（a）.f（b）
这个定理看起来非常易理解，但却包含了三个条件：⑴闭区间连续；⑵端点函数值互异；⑶开区间有零点。实际上是数学分析中介值定理的下放。而在此基础上也可以推导出零点个数的判定定理，加深对零点个数问题的理解。
定理1[4] 如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，设f（a）.f（b）≠0，则当f（a）和f（b）同号时，f（x）在区间（a，b）内包含偶数个零点；则当f（a）和f（b）异号时，f（x）在区间（a，b）内包含奇数个零点。即存在c∈（a，b），使得f（c）=0。这个c也就是方程f（x）=0的根。
此外，我们在解方程时有涉及重根的概念，在利用穿根法解不等式的时候涉及"奇穿偶不穿"的原理，在高中阶段往往被作为零碎的方法或概念去解决某一类问题，而从零点角度，则可以统一概括为：解析函数的一个零点是否导致符号变更（是否为一"交叉点"），按此零点重数是奇数或偶数来定。而符号变更这一概念不止在解析函数适用，在非解析函数仍然适用。有了这些高等数学的理论和概念作为支撑，在高中函数零点的教学过程中，就可以渗透更为精确的概念和表述，提升数学素养。
3.中学与大学函数零点问题的对比和讨论
中学与大学函数零点问题主要归结于在函数零点概念性质的延伸的背景下，通过对中学与大学用不同知识点来解决函数零点问题的几种应用类型进行比较，并进一步阐述其在中学数学与大学数学中的联系。
3.1 二分法与区间套定理。在中学数学现有的各版本高中教材中，均给出了利用二分法求零点近似解方法。然而在大学数学中，利用区间套定理求解函数零点问题，这是二分法在大学数学中的直接延拓，更是新课改下，大学知识简化进入中学教材的典例。
例2 利用区间套定理证明零点存在定理。
证明 由区间套定理知：
1.进行若干次等分后，某分点cn处函数值f（cn）=0此时取ξ=c即可
通过对比，我们发现无论是区间套定理还是二分法，都是通过将相应区间的两个端点逐步逼近得到相应的点，只是区间套定理相对于二分法求零点的一个最大突破就是加入了极限的概念，另二分法当中的精确度ε0，从而使近似值趋于精确值，得到了质的飞跃。当然，尽管二分法在区间套的选取当中仍然扮演重要角色，但区间套定理不仅限于此，不只是满足即可，这也是从形式上对二分法的一种提升。另外，区间套定理中加入的唯一性的证明，则进一步体现了数学的严谨性和准确性。由此，我们也可以发现中学与大学数学的紧密联系，可以看出函数零点在高等数学教育中的基础作用。对函数零点定理的掌握可以帮助学生更好地学习实数完备性理论，一步步从区间套定理到聚点定理、有限覆盖定理等更高深的理论，从而提升其数学修养。
3.2 导函数零点问题--极值与罗尔定理。高中数学中的导函数零点问题，一直是高考当中的重点，源于它能将各大基本函数（这里指指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等基本初等函数）的图像和性质融为一体。便于考查学生综合解题能力以及对知识点的灵活应用。其主要涉及函数的极值问题，是高中数学的一块重要内容（重庆高考卷一般会考查"一大一小"）。
将函数零点转化为某函数导数的零点则是对这一问题的逆用，是《数学分析》中的罗尔定理在高中数学的基础上，从微分到积分的跨越。
例3 （改编自2012年高考数学湖北卷文科第三题） 证明：函数在 上至少有四个零点。
分析：如果直接从函数零点定理着手，这个问题较有难度，因此可以将所求函数零点问题转化为导函数零点问题，构造出罗尔定理中的函数。
关键词: 边疆预科学生 极限概念教学 教学难点
数列、函数极限的概念是高等数学中最基本、最重要的概念之一.导数、微分、不定积分等基本概念都建立在这一概念的基础上.函数极限的概念是学习高等数学首先遇到的较难理解的概念，正确理解、掌握函数极限的一系列概念是学好高等数学的关键.新疆、籍学生，受母语影响较大，因此对极限概念的理解难度也较大.认真研究、深入探讨函数极限概念的教学良策是确保高等数学教学质量的前提.本文在分析教学难点的基础上，从引导学生正确理解函数极限定义入手，给出突破难点的一些教学方法.
1.数列极限概念的教学难点
（1）给出一批有极限的数列，考察这些具体的数列的变化趋势，分析归纳出它们的共同本质――通项无限接近某个常数A（尽管方式不同），再给出一些没有极限的发散数列，它们不具有上述特性，即不能与任一实数无限接近，从中得出用普通语言叙述的收敛概念:给定数列{u}，如果当n充分大时，u无限接近某个常数A，则称A为数列{u}的极限，称{u}为收敛数列，否则，称{u}为发散数列.
（2）启发学生考虑如何用数学语言精确地描述“充分大”，“接近”，“无限接近”等变化过程，尤其是“无限接近”这一动态变化的数学描述，可充分利用数轴、绝对值，距离等工具，在此基础上提出用“ε-N极限”语方来精确描述极限过程和收敛概念:对于任意给定的正数ε（不管它多么小），总存在一个正整数N，当n＞N时，恒有|u-A|＜ε，则常数A叫做数列{u}当n趋向于无穷时的极限.或说数列收敛于A.记作：u=A，或uA（n∞）.此时，称数列{u}为收敛数列，否则称{u}为发散数列.
在这一阶段中，主要是通过记忆和模仿以代偿思维能力的不足，达到对极限概念的初步认识.
2.函数极限概念的教学难点
（1）基本概念.
定义1：如果对于?坌ε＞0，总?埚M＞0，当x＞M时，有|f（x）-A|＜ε，
则常数A为函数f（x）当x+∞的极限.记作：f（x）=A.
定义2：如果对于?坌ε＞0，总?埚M＞0，当x＜-M时，有|f（x）-A|＜ε，
则常数A为函数f（x）当x-∞的极限.记作：f（x）=A.
定义3：如果对于?坌ε＞0，总总?埚N＞0，当|x|＞N时，有|f（x）-A|＜ε，
则常数A为函数f（x）当x∞的极限.记作：f（x）=A.
定义4：函数f（x）在x点附近（但可能除掉x点本身）有定义，若对于?坌ε＞0，一定存在δ＞0，当0＜|x-x|＜δ（x∈U（x，δ））时，有|f（x）-A|＜ε，则称A是函数f（x）当xx的极限，
记作：f（x）=A.
定义5：函数f（x）在［x，x+δ）（也有可能要除掉x点本身）有定义，若对于?坌ε＞0，一定存在δ＞0，当0＜x-x＜δ时，有|f（x）-A|＜ε，则称A是函数f（x）当xx的右极限，
记作：f（x）=A或f（x+0）=A（当xx）或f（x）A（当xx）.
定义6：函数f（x）在（x-δ，x］（也有可能要除掉点x本身）有定义，若对于?坌ε＞0，一定存在δ＞0，当-δ＜x-x＜0时，有|f（x）-A|＜ε，则称A是函数f（x）当xx的左极限，
记作：f（x）=A或f（x-0）=A（当xx）或f（x）A（当xx）.
f（x）=A的几何意义如下:
对于?坌ε＞0，作两条直线y=A+ε，y=A-ε，总存在x的一个δ邻域（除x外），在此邻域内函数y=f（x）的图形落在这两条直线之间.
f（x）=A的几何意义如下：
对于?坌ε＞0，作两条直线y=A，y=A+ε，总存在x的一个δ邻域（x，x+δ）（除x外），在此邻域内函数y=f（x）的图形落在这两条直线之间.
f（x）=A的几何意义如下:
对于?坌ε＞0，作两条直线y=A-ε，y=A，总存在x的一个δ邻域（x-δ，x）（除x外），在此邻域内函数y=f（x）的图形落在这两条直线之间.
f（x）=A的几何意义如下：
对于?坌ε＞0，作两条直线y=A+ε，y=A-ε，总存在一个区间［-M，M］，在此区间内函数y=f（x）的图形落在这两条直线之间.
（2）在极限概念教学过程中，应把握从具体到一般原则.
极限定义难以理解、掌握的原因在于:定义中涉及“任意”、“给定”、“无限接近”、“存在”、“趋向”等比较抽象的术语.定义的叙述繁长、文字符号很多，如ε、δ、M等，且它们之间的数量关系错综复杂，学生难以掌握.对ε的作用和任意性、给定性，以及ε和N、M、δ间的依赖性，学生不易搞清，对“ε-δ”、“ε-M”极限语言容易混淆.
抽象性思维能力是分析问题和解决问题能力中最重要的部分，是数学本身“高度抽象性与应用广泛性”辩证统一的必然结果.抽象思维能力的培养是发展创造性思维的前提.由具体到抽象是人们认识事物比较普遍的思维过程，而具体如何飞跃到抽象呢?一般步骤是，提出问题，诱发思考，让学生逐步领会把实际问题抽象为数学问题的思路和方法，引导学生把问题的特征、本质抽象出来，加以综合概括.
3.克服教学难点的方法
为了克服以上教学难点，我们可从以下几点入手.
（1）正确运用“ε-N”“ε-X”“ε-δ”三种语言.对于这三种语言，有的同学提出什么时候应用哪种语言搞不清，其实搞明白以下两个问题，这个难点就会迎刃而解.
①“ε-N”语言用于数列极限，求解过程是对于任意给定的ε，通过不等式|μn-A|＜ε找到正整数N;而“ε-X”或“ε-δ”适用于函数极限，对于任意给定的ε＞0，通过不等式|f（x）-A|＜ε找到正数δ或X.
②“ε-X”和“ε-δ”语言的区别在于自变量x的变化趋势不同.前者适用于x∞时的函数极限情形，后者适用于xx时的函数极限情形.
（2）讲清极限定义中“ε”的任意性、给定性及其对N、X、δ的依赖性，从而刻画ε的作用，在极限定义中有“如果对于任意给定的正数ε”这一句话，很多学生不理解，为什么ε是任意的而同时又是给定的呢?因为只有ε是任意的，不等式|f（x）-A|＜ε才能刻画出函数f（x）与常数A无限接近的意思;而ε又是给定的，如果ε不是给定的就无法确定δ（或N或X）的存在性.其实，给定一个ε就存在一个δ（或N或X），它们是对应的关系.δ（或N或X）是依赖ε而存在的，它们之间具有依赖性.另外，要交代清楚“ε”是任意小的正数，即定义中的“无论ε多么小”，意思就是:ε是“要多小就有多小，想多小就多小”的正数.
注重直观教学、启发式教学、渐进式教学及实践教学有机结合的方式.如我们在高等数学中讲授新内容时，一定要用直观，易懂的实例进行解释说明.每一个概念和结论，再从一个概念或结论得到启发，引导学生思考更广而深入的问题，从而对数学概念和结论有深刻的理解（我们称这种教学为抓点）；讲授新内容之前回忆复习上节的主要内容，课堂结束前，总结该节的内容，并预示下一节的内容；一段内容结束（如一章内容）之后，整体上再总结归纳这一大段中的主要内容，突出重点，加强影响，将前后内容连贯起来.这种往复式（循序渐进式）的有效总结和归纳对学生培养良好学习习惯是非常重要的（我们称这一过程为提串），这一过程应贯穿教学整个过程.理论总结的同时针对每一个概念、结论和针对作业中存在的问题，做大量的具体题目的讲解，及时解决问题和给予提醒.再加强学生的作业质量，要求学生独立，足量完成.这部分工作主要在习题课上和作业中完成.一些主要概念和方法可以通过做实验的方式进行：整个高等数学课结束之后，再进行一次总复习，这部分主要用课堂教学，完成综合性比较好的数学实验题目的结合进行（这两部分是实践教学）.这样学生不仅能巩固已学过的高等数学内容，提高高等数学水平，还能锻炼科学思维方式，提高用数学和计算机解决实际问题的能力，养成良好的学习方法等，进行有益的实践锻炼。教学经验显示，以上谈到的逐步、多层次重叠式（循序渐进式）教学和学习（我们称抓点提串循序渐进再实践的学习方法），对增强预科高等数学教学效果有很好的作用，成效显著.
总之，函数极限概念是所有学习高等数学的学生接触的第一个最基本的概念，也是高等数学中一个较难理解的概念.在极限概念的教学过程中，应注意由直观到抽象，由特殊到一般，由旧引新，进而有效地分散难点，以便突破难点.
参考文献：
［1］华东师范大学数学系.数学分析［M］.北京:高等教育出版社，1991.
［2］李英.浅析数学教育中应培养的数学概念［J］.数学通报，1988，（1）.
［3］同济大学数学教研室.高等数学［M］.高等教育出版社，2003，264-278.
