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关键词：最大值 最小值 最值 边际
中图分类号:F224 文献标识码:A
文章编号:1004-4914（2011）12-082-02
在工农业生产、科学技术研究、经营管理中，经常要遇到在一定条件下，怎样用料最省、产量最多、效率最高、成本最低等问题，这些问题在数学上有时可归结为求某一函数的最大值或最小值的问题。随着市场经济的不断发展，利用数学知识解决经济问题显得越来越重要，运用微分中的最值可以对经济活动中的实际问题进行最优化分析，从而为企业经营者的科学决策提供依据。
一、最值的概念
1.最大值。设函数f（x）在区间[a,b]上连续，x0为区间[a,b]上某一点。当对于任意x∈[a,b]，有f（x）≤f（x0），则称f（x0）为f（x）在[a,b]上的最大值，称点x0为f（x）在[a,b]上的最大值点。
2.最小值。设函数f（x）在区间[a,b]上连续，x0为区间[a,b]上某一点。当对于任意x∈[a,b]，有f（x）≥f（x0），则称f（x0）为f（x）在[a,b]上的最小值，称点x0为f（x）在[a,b]上的最小值点。
最大值和最小值统称为最值。
二、最值在经济中的应用
最优化问题是经济管理活动的核心，各种最优化问题也是微积分中最关心的问题之一，例如，在一定条件下，使成本最低，收入最多，利润最大，费用最省等等。下面介绍函数的最值在经济效益最优化方面的若干应用。
1.最大利润问题。
例1：某工厂在一个月生产某产品Q件时, 总成本为C（Q）=5Q+200（万元），得到的收益为R（Q）=10Q-0.01Q2（万元），问一个月生产多少产品时, 所获利润最大?
解：由题设，知利润为
L（Q）=R（Q）-C（Q）=5Q-0.01Q2-200（0
显然最大利润一定在（0，+∞）内取得。
令L'（Q）=5-0.02Q=0，
得Q=250。又由
L''（Q）=-0.02
所以L（250）=425（万元）为L的一个极大值。
从而一个月生产250件产品时，可取得最大利润425万元。
2.最大收益问题。
例2：某商品的需求量Q是价格p的函数Q=Q（p）=75-p2，问p为何值时，总收益最大？
解：总收益R（p）=pQ=75P-P3，（p>0）
令R'（p）=75-3p3=0，
得p=5，又
R''（p）=-6p?圯R''（5）
从而R（5）=250，为收益R（p）的极大值。
即当价格为5时，有最大收益250。
3．经济批量问题。
例3：某商场每年销售某商品a件，分为x批采购进货，已知每批采购费用为b元，而未售商品的库存费用为c元/年・件。设销售商品是均匀的，问分多少批进货时，才能使以上两种费用的总和为最省？(a,b,c为常数，且a,b,c>0）。
解：显然，采购进货的费用W1（x）bx，
两次求导：C'（Q）=-6+2Q
令C'（Q）=0 则Q=3
当Q=3时，平均成本最低。
最小的平均成本C（Q）=15-18+9=6
而边际成本函数C'（Q）=15-12Q+3Q2
当Q=3时，C'（Q）=15-36+27=6
可见最小平均成本与边际成本相等。
边际的意义是：当产量在Q的基础上再增加一个单位时，成本C（Q）的增量。
三、总结
综上所述，对经营者来说，导数在经济学中的应用颇为广泛，而且在日常生活中、生产和科研中，常常会遇到最值的问题，不仅而已，从上面的例子可以看出，对其经济环节进行定量分析是非常必要的。将数学作为分析工具，不但可以给企业经营者提供精确的数值，而且在分析的过程中，还可以给企业经营者提供新的思路和视角，这也是数学应用性的具体体现。因此，作为一个合格的企业经营者，应该掌握相应的数学分析方法，从而为的经营决策提供可靠依据。
参考文献：
1.陆庆平.以企业价值最大化为导向的企业绩效评价体系――基于利益相关者理论[J].会计研究,2006(3)
2.高哲.浅谈微积分在经济中的应用[J].中国科技博览,2009（7）
3.李春萍.导数与积分在经济分析中的应用[J].商业视角，2007（5）
4.向菊敏.微积分在经济分析活动中的应用[J].科技信息，2009（26）
5.褚衍彪.高等数学在经济分析中的运用[J].枣庄学院学报，2007（10）
6.谭瑞林，刘月芬.微积分在经济分析中的应用浅析[J].商场现代化,2008（4）
7.顾霞芳.浅谈导数在经济中的应用[J].职业圈，2007（4）
【关键词】中职数学；均值定理；函数；最值问题
俗话说得好：“学好数理化，走遍天下全不怕”，我们在讲解数学知识的过程中也要充分和实践相结合。综合分析多年来的单招高考试题，不难发现，试卷的重难点大多集中在函数这一章节。函数知识点灵活，和中职所学的很多知识都有关联，均值定理是中职数学的重要组成部分，在单招高考中占有一定的比重，成为单招高考的高频考点，总能以各种形式出现在单招高考的舞台上，成为考验学生综合能力素养的体现。因而，我们教师如何将均值定理运用于函数最值这一个知识点讲得通透准确显得尤为关键，下面给出常规的例题讲解和教学方法。
一、指导学生多种解题思路，避免出题陷阱
例1 求函数f（x）=+x（x
对于均值问题， 最常规的解题思路是直接套用公式，但是很多学生往往忽视使用公式的前提条件，忽视“一正，二定，三相等”这一前提，因此在解答这道题时很多初学者会犯一类错误，直接由均值定理得出答案是2，但很明显，当x
例2 如果a>b，ab=1，求的取值区间。
这类题我们首先应该观察所求表达式本身的分子与分母的关系， 通过使用配凑法以及取公因式得到新的函数，根据题目所给条件，确定a>b，a-b>0确保了“一正，二定，三相等”的使用原则，令x=a-b=a-，则f（x）==x+（x>0），很快利用公式可以算出取值区间。在解决此类题的过程中，最重要的是引导学生简单地分析题目的条件，根据所给关系式运用配凑法等找出解决题目的核心，然后判断题目所给的既定条件是否符合均值定理的使用原则，找出核心的关系式是解决此类问题的关键。其实之所以均值问题会成为单招高考中的杀手锏，是因为学生不能够根据题目条件很迅速地确定答题关键，找出核心的关系式。因此，我们针对学生出现的这类问题，需要适时地调整我们的教学方法，尽量做到一题多解，并且指导学生掌握正确的学习方法，这对后期的学习会有更大地帮助。
二、明确学习目标，结合各地单招试题分析
很多学生对单招高考比较迷茫，对数学知识点更是没有很好地把握。因此，我们教师要分析各地多年来的高考试卷，结合单招改革的形式，搜集有关的试题，结合例题讲解，让学生理解并学会应用均值定理解决函数最值问题。教学过程中，我们要考虑学生的接受能力，步步为营、稳扎稳打，在学生平时的学习过程中穿插一些高考题，让他们对高考有个简单的了解，并且在讲解的过程中要注意学生的解题思路，很多学生乍一看答案都是对的，但是很多都是误打误撞的，并没有准确地理解定理运用的前提，这是解题的大忌，要做到精细和准确两手抓，确保学生明确均值定理后再开始运用。
笛С杉ê玫难生并不是老师教出来的，学习最重要的过程是反思和将知识内化，彻底理解并形成自己的思维模式才是最难能可贵的，因此我们要指导学生掌握科学的学习方法，尤其是在均值定理这一个知识点中。首先，学生得明确数学的学科性质，死记硬背是行不通的，对于均值定理虽然只有几个简单的概念，但是真正的消化并不容易，我们在上课的过程中就要帮助学生准确地理解均值定理的由来，三个条件缺一不可。其次，在我执教的过程中，我都会要求学生准备错题集，均值定理在函数最值问题中的应用范围很广，很多题目初看觉得和定理无关，其实很多解题关键都是很隐秘的，学生必然会掉到陷阱里。那么如何将这些知识做一个很好的归类呢？这就要发挥错题集的作用了，将自己经常错的和题目条件隐晦的题目整理起来，帮助自己后期系统复习，也弥补了这类知识的学习漏洞，考前将错题重新做一下相较于做新题更有价值，学习本就是不断温故知新的过程。
综合而言，均值定理的教学过程中要充分帮助学生正确地理解使用原则，并且运用不同的典型例题进行讲解，帮助学生建立基本的知识架构，并且要做到一题多解，避免学生思维单一性。最关键的是要指导学生科学的学习方法，让学生成为学习的主体，完成对知识的内化。
【参考文献】
一、函数f（x）=x2-2x+2在区间[-1，3.2]上的最大值和最小值的动态演示
1.利用几何画板画出f（x）=x2-2x+2的图像，在x轴上绘制好A点（-1，0）和B点（3.2，0），即区间[-1，3.2].在线段AB上构造一个点C，度量出C点的横坐标，记为x，再计算出f（x），绘制好D（x，f（x））；选择C、D【构造】|【轨迹】，得到f（x）=x2-2x+2（x∈[-1，3.2]）的图像.
2.隐藏图像上不要的元素，使图像更加简洁.过D点作y轴的垂线段交y轴于E点.C点在线段AB上移动时，D点的纵坐标与E点的纵坐标一样.通过E点的值的变化可以清晰地反映函数f（x）=x2-2x+2在区间[-1，3.2]上的最大值和最小值.
3.选择点E【编辑】|【操作类按钮】|【动画】，制作好按钮.只要按就可以让F点在图像上运动起来，观察出何时取最大值和最小值，最后将E、F的标签改为x、f（x），如图1.
图1
二、函数f（x）=x2-2x+2在区间[t，t+2]上的最大值和最小值的动态演示
1.利用几何画板画出f（x）=x2-2x+2的图像，在x轴上绘制一点A，度量A的横坐标，记为t，计算t+2；绘制点B（t+2，0），构造线段AB，在线段AB取一点P，度量其横坐标，记为x，计算f（x），绘制点M（x，f（x））；选择P、M【构造】|【轨迹】，得到f（x）=x2-2x+2（x∈[t，t+2]）的图像.
2.隐藏图像上不要的元素，使图像更加简洁.作出函数图像的对称轴，过A、B两点作x轴的垂线段，作出线段PM，再过M作y轴的垂线段（虚线），最后将A、B、P、M的标签改为t，t+2，x，f（x），如图2.
图2
3.拖动点t让函数f（x）=x2-2x+2（x∈[t，t+2]）的图像动起来.观察函数在区间[t，t+2]的最大值和最小值，并从中总结出需要的结论.
4.当t≤-1时，函数的最大值为f（t），最小值为f（t+2）；当-1
三、函数f（x）=x2-2tx+2在区间[-1，1]上的最大值和最小值的动态演示
1.在x轴上构造一点A，过A点构造x轴的垂线，再在垂线上构造一点B，度量其纵坐标，记为t，并将B点标签改为t.
2.绘制函数f（x）=x2-2tx+2图像；绘制点C（-1，0）、D（1，0），构造线段CD，在线段CD上取一点E，度量其横坐标，记为x，计算f（x），绘制点F（x，f（x））；选择E、F【构造】|【轨迹】，得到f（x）=x2-2tx+2（x∈[-1，1]）的图像.
3.隐藏图像上不要的元素，使图像更加简洁.作出对称轴，并作出线段EF，再过F作y轴的垂线段（虚线）.将点E、F的标签改为x，f（x）.
由于学生对判别式法求函数值域的原理不是很清楚，所以在求解时常常会考虑不周全而漏解，造成近几年高考试卷中，解析几何大题的最后一问关于斜率K的函数在求最值（或范围）时，不能从容应对，当然除了判别式法以外，也常常利用均值不等式进行处理。
总之，只有学生在学习过程中，对其原理认真领会、强化通性通法，引导学生对数学问题从多层面，多角度进行延伸探究，有意识的引导学生从“变”的现象中分析“不变”的本质发现规律。所以变式教学要围绕讲的目的性和针对性展开：明确是训练学生的计算能力，还是深化学生思维；是进一步巩固基础，还是提高学生能力；是提醒学生哪些地方易错，还是磨练学生解题意志。有效地拓展更好的服务于讲，深化了练，提升了课堂的质量。高三教学发挥变式功能，更是一种有效地引导学生学会“如何思”“如何想”并走向“自觉地思”“自觉地想”的方式，有利于培养学生灵活多变的创新思维，完善学生的认知结构，提高学生分析问题、解决问题和探索创新能力。
参考文献
关键词：函数最值；基本方法
在中学数学中常遇到一类求函数最大值、最小值的问题，它是中学数学教与学中普遍感到困难的一类问题。函数最值涉及的知识面较广，方法也灵活多变，训练思维能力效果好，因此在数学中占有重要的地位，要学好函数最值就必须了解和掌握求函数最值的方法与技巧。函数最值的基本方法有很多，这章主要介绍代数法、导数法、构造法、数形结合法、引进复数求函数最值。
一、配方法
代数法是中学阶段应用最广泛的方法，它包括配方法、判别式法、换元法、不等式法等。首先，我们介绍配方法。
利用配方法将二次型转化为标准型求函数最值的方法不仅易于掌握，而且思路清晰，操作简单，它是求二次函数最值一种行之有效的方法。配方法及其思想在数学分析、高等代数、空间解析几何等中都有着广泛的应用。配方法的基本步骤如下：
函数y=ax2+bx+c，经配方得
y=ax+2+，
若a>0，当x=-时，ymin=；
若a
配方法是一种对数学式子进行定向变形（配成完全平方）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。掌握这一方法关键在于合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧。
二、判别式法
判别式法主要是应用方程的思想来解决函数的最值。它是我们解题时常用的方法，具体的过程如下：
将函数y=，
改写成关于x的一元二次方程a（y）x2+b（y）x+c（y）=0，
则它有实数解x的充要条件是其判别式Δ=b2（y）-4a（y）c（y）≥0，
从而由等式（方程）转化为关于y的不等式，从而求其最大或最小值。在解题中应注意a（y）≠0。
利用判别式法求函数的最值时应注意两点：
（1）求函数的定义域；
（2）对于二次方程的二次项系数要分零和非零两种情形。
三、换元法
利用题设条件，用换元的方法消去函数中的一部分变量，将问题化归为一元函数的最值，以促成问题顺利解决。求函数最值的换元法主要有三角换元法和代数换元法。中学数学中较常见的是下面两种形式的换元。
（1）y=ax+b+，令t=，将y转化为t的二次函数，再求最值。
（2）y=asinxcosx+c（sinx±cosx）+c，令t=sinx±cosx，将y转化为t的二次函数，再求最值。
四、不等式法
中学数学中利用均值不等式求函数最值是一种基本的、常用的方法。灵活运用均值不等式，能有效地解决一些给定约束条件的函数最值。均值不等式的运用有三个严格的限制条件，即（1）各项均为正数；（2）积或和是定值；（3）等号能否取到，简言之“一正二定三相等”，三个条件缺一不可。以下是有关均值不等式两个定理。
定理1：当a，b∈R+时，则≥，当且仅当a=b时等号成立。
定理2：当a，b，c∈R+时，则≥，当且仅当a=b=c时等号成立。
五、导数法
导数法一般用来解决一类高次函数的最值。
用导数法求函数最值的步骤为：
第一步：找出fx在a，b内所有可能的极值点，即驻点和一阶不可导点；
第二步：求出fx在上述点和两个端点a与b处的函数值；
第三步：将函数值进行比较，最大者即为最大值，最小者即为最小值。
综上可知，函数最值内涵丰富，解法灵活，没有通用的方法和固定模式，在解题时要因题而异，而且上述方法并非彼此孤立，而是相互联系、相互渗透的，有时一个问题需要多法并举，互为补充，有时一个题目又会有多种解法，因此，解题的关键在分析和思考，因题而异地选择恰当的解题方法，当一题有多种解法时，应注意选择最优解法。以上就是本文整理出的有关于求函数最值的一些解法。当然求函数最值的方法不止这些，这里只是对求函数最值的方法作部分的归纳，具体的方法还有待去进一步的发现和总结。
六、结语
函数最值的方法是数学解题中既重要又实用的技巧。因此，深刻理解函数最值，熟练掌握求解函数最值的方法并在实践中灵活运用，是我们学好数学的关键。
以上求解函数最值的方法与应用并不全面，事实上还存在很多有关函数最值的求解方法和在其他方面上的应用，因此需要不断更新、研究，以便总结出更多求解函数最值的方法和更有效地应用这些方法解决函数最值，让函数最值的方法的应用更加广泛。
参考文献：
1.张弛.函数的最值及其应用.黑河教育，2004（2）：34.
编者按：最值问题遍及高中数学的所有知识点，综合性强，是高考的必考内容.同时，最值问题可以将各种知识作为背景来进行考查，形式多样，不容易被考生所掌握.如果考生从最值问题的常见类型、求解策略以及解答时的易错点三个角度来备考并加以掌握，其实最值问题也没想象中那么难.
近几年高考中的最值问题，在考查内容上，涉及的知识点广泛，如求函数的值域，求数列中的最大项或最小项，求数学应用问题中有关用料最省、成本最低、利润最大等问题；在解题方法上，求最值的方法有很多，如判别式法、均值不等式法、变量的有界性法、函数的性质法、数形结合法等.
1.二次函数的最值
求解二次函数的最值一般是先配方，再借助二次函数的图像解答.数学中的很多最值问题最后常转化为二次函数的最值问题来求解.
例1 （2008年高考重庆理科卷）已知函数的最大值为M，最小值为m，则的值为
难度系数 0.70
解 选C.
小结 二次函数的最值问题是其他很多最值问题（如三角函数、数列、解析几何、应用性最值问题）的基础.最值问题要特别强调“定义域优先”的原则，本题实质上是求给定区间内的二次函数的值域问题.
2.导数法求最值
导数的引入为函数最值的求解开辟了一条新路，我们通常用导数法求函数的最值要比用初等方法简便得多，因此导数法求最值也是一种不可忽视的方法.
设函数在上连续，在上可导，求的最大值与最小值的步骤如下：
①求函数在内的极值；
②将函数的各极值与， 进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
例2 （2011年高考江西理科卷）设上存在单调递增区间，求a的取值范围；
（2）当在上的最小值为，求在该区间上的最大值.
难度系数 0.60
解 （1）解答过程省略.
（2）令，可得两根所以在和上单调递减，在上单调递增.
当时，有，所以在上的最大值为又即在上的最小值为于是得从而在该区间上的最大值为
小结 本题主要考查函数与导数的基础知识.导数是研究函数单调性及最值的有效工具.
3.均值不等式求最值
均值不等式：若，则当且仅当时等号成立.应用均值不等式要注意“一正、二定、三相等”的要求.
例3 （2012年高考湖南理科卷）已知两条直线 和l1与函数y=|log2 x|的图像从左至右相交于点A，B ，l2与函数y=|log2 x|的图像从左至右相交于点C，D.记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a，b.当m 变化时，的最小值为
难度系数 0.55
解 由题意得选B.
小结 本题除了考查考生对对数函数图像的理解外，还考查利用基本不等式求最值的方法.考生在解题时应注意将配凑成的形式，再利用基本不等式进行求解.
4.辅助角型三角函数最值
求函数y=asin ωx+bcos ωx的最值可以转化为求y=Asin（ωx+φ）的最值，再利用三角函数的有界性可求.
例4 （2011年高考新课标理科卷）在则AB+2BC的最大值为 .
难度系数 0.65
解 最大值为2
小结 本题考查正弦定理的应用及三角函数的性质和公式的应用，熟练运用化一公式并利用函数的有界性处理是解答问题的关键.
不等式的恒成立问题
不等式的恒成立问题常转化为函数的最值问题来求解.如：恒成立，即恒成立，即例5 （2012年高考天津理科卷）已知函数的最小值为0，其中
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若对任意的有成立，求实数k的最小值；
（Ⅲ）证明难度系数 0.50
解 （Ⅰ）据题意可知函数 的定义域为由当x变化时的变化情况如下表：
因此， f（x）在x=1-a处取得最小值.由题意有f（1-a）=1-a=0，所以a =1.
（Ⅱ），取，有，故不合题意.当时，令，即，于是
令，得
①当时， 在上恒成立，因此在上单调递减.从而对任意的，总有，即在上恒成立.故符合题意.
②当时，对于，故在上单调递增.因此，当取时，，即不成立.故不合题意.
综上可知，k的最小值为.
（Ⅲ）证明过程省略.
一、直接法
某些函数的结构并不复杂，可以通过适当变形，由初等函数的最值及不等式的性质直接观察得到它的最值。
例1 求y=x3＋2/2＋5暑的最杏值，解析：变形为y＝1=X2＋2/3，故当x=0，时，yma
二、反函数法
由原函数反解出x=￡(y)，根据x的范围求出y的范围，进而得到y的最值的方法称为反函数法，此方法适用于能顺利求得反函数的函数，如形如y=αt＋b/ct＋d(α≠0)的函数， 类似地，此方法也可推广到可以解得g(x)=￡(y)，且已知g(x)的取值范围的函数，
三、配方法
配方法是求解“可化为二次函数形式”这一类函数的最值问题的基本方法，有着广泛的应用，
四、换元法
引入新变量对原函数式中的代数式或三角函数进行代换，将所给函数转化成容易求最值的简单函数，进而求得最值的方法称为换元法，形如y=ax+6的函数求最值常用此法，用换元法解题时要特别注意变元前后自变量的取值范围要保持一致。 五、不等式法
通过对原函数式进行变形，利用等基本不等式求函数的最值的方法称为不等式法，用不等式法求最值时，要注意“一正、二定、三相等”的应用条件，即不等式中的两项必须都为正，两项的和一定时积有最大值、积一定时和有最小值，必须能取得到最值，
点评：利用不等式法求最值时，要注意函数取到最值时，相应的x的值是否存在，如果不存在，则此最值不能取到，此时要考虑用其他方法来解题，点评：用不等式法和判别式法都只能求出例8中函数的最小值，如果要求它的最大值，上述方法就不可行了，需要考虑换用其他方法，
七、单调性法
如果能确定函数在某个区间上的单调性，就可以求出该函数的最值，求解函数在给定区间上的最值问题常可试用这种方法，函数的单调性可以直接用单调性的定义来判别，也可结合函数的图像来研究，或者用导数法来判定。
点评：看到例11中的函数的形式，很多同学会考虑用换元法来解题，但若用换元法无法将其转化为一元二次函数的形式，会让解题过程变得更繁杂，甚至无法顺利进行下去，在判断函数的单调性时，方法的选择也是很重要的，三种方法各有特点：定义法是最容易想到的，图像法最直观，而导数法往往比较简捷。
关键词：函数；最值；解法；应用
一、引言
最值问题是数学领域中的重要组成部分，更是函数研究中尤为重视的一块分支。它贯穿于多个学科中，更是被频繁的应用于一些日常生活中各种实际问题的解决，而其解法又具有多样性和灵活性，函数最值问题本质是求取具体问题的最优解，对于不同的最值问题，采取的解决办法都不尽相同，但其整个解题的思维方式都是通过一次或多次的转化，使其转化为相对简单的问题去求解。因此，本文通过对函数最值常见解法的探究，阐述了函数最值问题解法研究的重要性，并结合生活中的实例，进一步加强对函数最值问题解法的灵活运用，并分析总结出求解最值问题时应注意的一些问题，对后人的学习和研究奠定基础。
二、函数最值常见解法
（一）定义法：关键在于抓住定义中的“任意性”和“存在性”。
（二）配方法：主要针对二元函数的一般形式[1]，即
四、结束语
本文介绍了几种常见的有关函数最值问题的解法，并结合实际给出了生活中不同方面的关于最值的实例，将生活中的问题转化为数学思维来求解，同时探讨了解题时需要注意的细节，总结出求解问题的关键在于找准变量关系选择合适方法，因此灵活的运用函数最值的解法是至关重要的，通过它解决的不仅是学业上的课题，而且它将在解决实际问题中扮演着一个至关重要的角色。
参考文献：
关键词：初中数学；二次函数；多角度；区间
二次函数求最值类的问题千变万化，然而只要掌握一定的技巧，学会多角度分析，定能找到解题思路，以不变应万变，顺利解决难题。本文以二次函数求最值问题的题型为基础，进行了解题模式的探讨。
一、确定区间，结合图象性质
数形结合是解决数学问题的有力武器，在解决二次函数求最值的问题中也不例外，通过结合图象性质，快速准确地确定区间，开辟出解题思路。
1.定轴定区间，直接判断
当二次函数所给的函数区间固定，对称轴固定时，我们可以通过做出函数图形，清晰直观地判断和计算出函数的最值。这类题型比较简单，所以我在教学中，主要教会大家准确地做出函数图形，从而解决问题。
比如，对于定轴定区间函数求最值问题：求函数y=-x2+4x-3在区间[1，4]的最大值及最小值。首先我们分析二次函数的表达式，二次项系数小于零，说明函数图象开口向下，函数的对称轴为x==2。然后我们根据区间范围，函数的对称轴，开口方向可以做出该二次函数的草图。通过观察这一函数的图象，我们可以得出二次函数的最大值应在对称轴处取得，二次函数的最小值在端点x=4处取得，通过将x轴的坐标轴代入函数表达式，即可求出相应的最大值与最小值，从而得解。
讲完例题后我向学生强调了这类题型的易错点。定轴定区间类的二次函数求最值问题相对来说是最简单的求最值问题，然而学生因为粗心大意也会发生错误，比如画错开口方向，大家一定要记住二次项系数大于零开口向上，二次项系数小于零开口向下。然后端点处和对称轴处的函数值只要将对应的x值代入函数表达式，便可准确地求出，进而做出函数图象。
在这部分知识的教学中，我通过强调做函数图象的细节，引导学生在做题时通过直接地观察，准确地得到最值，提高了课堂的效率。
2.定轴动区间，相对位置
定轴动区间类的二次函数其对称轴确定，然而闭区间是不确定的。这类问题考查的是对称轴与函数区间的相对位置关系，当函数区间发生变化时，随着与对称轴的相对位置发生变化，函数的最值也可能会发生变化，所以学生要掌握分类讨论的思想，讨论不同情况下的函数最值。
例如，求函数y=x2+2x-1在区间[t，t+2]上的最大值与最小值。这道题的类型属于定轴动区间类问题，首先我们确定函数的对称轴为x=-1。随着t的取值不同，我们发现可以将这一问题分为三种情况进行讨论，一是当对称轴位于区间[t，t+2]的函数右侧时，二是当对称轴位于区间[t，t+2]的函数内时，三是当对称轴位于区间[t，t+2]的函数的左侧时，进而可以将t的值也划分为三个范围进行讨论。在第一种情况下，t+2
在上述例题的教学中，我通过引导学生进行分类讨论，将问题分为各种情况然后求出最值，思路清晰，条理明确，能够完整准确地确定该类二次函数的最值，取得了很好的教学效果。
3.定区间动轴，考虑变量
对于定区间动轴类的二次函数问题，由于区间固定而对称轴不确定，因此函数的最值也会随着对称轴与区间的相对位置变化而发生变化，因此解决这类问题同样需要进行分类讨论，与定轴动区间类最值问题相似。
例如，求二次函数y=x2-ax+1在区间[0，2]上的最小值。我引导学生依照定轴动区间问题的求解思路，将该问题分成三种情况进行讨论。通过计算，可得到二次函数对称轴为x=，当区间范围内的函数位于对称轴左侧时，即a>4时，函数在区间[0，2]内是单调递减的，因此二次函数在x=2处取得最小值，为5-2a。当对称轴包含在区间范围内的函数时，即0≤a≤4，由于该二次函数开口向上，所以在对称轴处取得最小值，为-+1。分析到这一步的时候我向学生强调了求最大值的做法，这道题仅让求最小值，而恰好对称轴处为最小值，若这道题还要求求出最大值的话，学生也应按照定轴动区间类问题中这种情况下的解题思路再次进行分类讨论。当区间范围内的函数位于对称轴右侧时，即a>0时，函数在区间[0，2]内是单调递增的，因此，二次函数在x=0处求得最小值1。
在上述问题的教学中，我通过引导学生利用定轴动区间类最值问题的求解技巧与思路，顺利地探求出动轴定区间类问题的求解方法，通过这样类比与分类的讨论思想，让学生成功地理解与学会了这部分数学知识，高效地完成了教学目标。
二次函数的对称轴位置、函数区间都会对二次函数的最值造成影响，学生在解题时，一定要看清题目对对称轴和区间的要求，多角度分析问题，采取正确的解题策略。
二、含有系数，字母视为常数
有时求最值问题所给的二次函数的系数是用字母表示的，对于这类问题的求解方法是将字母视为常数，并根据字母所表示的系数的位置不同，可能需要进行分类讨论。
二次函数的表达式可写作y=ax2+bx+c，当所给函数的常数项用字母表示时，自然将其视为常数处理。例如，求二次函数y=x2+2x+a在区间[0，1]上的最大值。二次函数在[0，1]上单调递增，x=1时函数的最大值为3+a。当所给函数的一次项系数用字母表示时，这类问题就是上述所讲的动轴定区间类问题，将字母视为常数，再结合自变量的范围，按照分类讨论的思想进行求解。当所给函数的二次项系数用字母表示时，例如，求二次函数y=ax2+4x-3（a≠0）在区间[1，3]内的最大值。对这一例题进行分析，a的大小首先影响的是开口大小，因此首先分为a>0和a
在上述教学中，我通过教授学生将含有字母的系数视为常数的思想，引导学生攻克了含有参数的二次函数求最值问题，加深了学生对二次函数的理解与运用。
三、实际应用，正确列函数式
二次函数在实际生产生活中也有很广泛的应用，通过利用二次函数求最值的方法，我们能够解决最优化问题。对于二次函数在日常生活中的应用问题进行分析，正确列出函数表达式是非常关键的步骤。
例如，某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台。为了响应国家“家电下乡”政策，商场决定降价。冰箱售价每降低50元，平均每天能多售出4台。那么每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润为多少？求解这道题，我们首先应当确定冰箱的利润y与每台冰箱降价x的函数表达式，y=（2400-x-2000）（×4+8）=-x2+24x+3200。我们可以做出该函数的图象，对称轴为x=150。
然后结合自变量x的取值范围，我们可以求得二次函数在对称轴处取得最大值，也就是说，当冰箱降价150元时，商场的利润最大为5000元。然后我对二次函数应用题进行了总结，这类问题学生首先应该读清题意，确定正确的函数表达式，然后应用定轴定区间二次函数求最值的求解方法，即可求得应用题中的最优结果。
在上述教学中，我对如何将实际生活问题转化为数学二次函数极值问题的处理方法进行了讲解，引导学生学会有效地结合函数图象进行解题，应用二次函数的性质，成功地求解出应用题的正确答案，进一步加深了学生对二次函数知识的掌握。
多角度分析是促进思维、加快解题速度的一种好方法。综上所述，学生只要切实掌握确定函数区间的技巧，把握住含有系数的二次函数与二次函数的实际应用解法，就能成功地克服部分二次函数难题。总之，从多角度分析和解决问题，有助于迅速找到解题思路，提高学生的数学素养。
参考文献：
[1]徐薇.浅谈初中数学二次函数最值问题的求解[J].数理化解题研究：初中版，2015（13）：26.
