时间：2023-08-02 16:30:19
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关键词：框剪结构；抗震鉴定；加固
中图分类号： TU398文献标识码：A
框架剪力墙结构的概述
所谓的框架剪力墙结构也称框剪结构，这种结构是在框架结构中布置一定数量的剪力墙，构成灵活自由的使用空间，满足不同建筑功能的要求，同样又有足够的剪力墙，有相当大的侧向刚度。对于框剪结构的受力特点，是由框架和剪力墙结构两种不同的抗侧力结构组成的新的受力形式，所以它的框架不同于纯框架结构中的框架，剪力墙在框剪结构中也不同于剪力墙结构中的剪力墙。而剪力墙结构是用钢筋混凝土墙板来代替框架结构中的梁柱，能承担各类荷载引起的内力，并能有效控制结构的水平力。钢筋混凝土墙板能承受竖向和水平力，它的刚度很大，空间整体性好，房间内不外露梁、柱棱角，便于室内布置，方便使用。剪力墙结构形式是高层住宅采用最为广泛的一种结构形式。
某工程概况
某办公楼建筑面积为2800m2，地下一层，地上二十七层，裙房2层，屋面标高87.900m各层楼板均采用钢筋混凝土现浇板，抗震设防烈度为7度，剪力墙抗震等级二级，框架抗震等级二级，场地类别Ⅱ类。底层为框架结构，柱截面尺寸为800mm ×800mm，框架梁截面为350mm x1000mm，地下一层抗震墙厚320mm，一~二层抗震墙厚300mm，三~四层抗震墙厚度为250mm,五层以上抗震墙厚度为200mm.屋面为上人屋面，柔性防水做法，有组织排水。基础形式为平板式筏形基础。因种种原因，现需要对结构进行抗震鉴定与加固设计。
结构抗震鉴定
3.1、抗震鉴定主要流程，见图1：
3.2、抗震鉴定方法。根据框架剪力墙结构的特点、结构布置、构造和抗震承载能力等因素，采用相应的逐级鉴定方法。抗震鉴定的方法分为两级，是筛选法的具体应用。第一是以宏观控制和构造鉴定为主进行综合评价。第一级鉴定的内容较少，容易掌握又确保安全；第二是在第一级鉴定的基础上进行的，以抗震验算为主，结合构造影响进行综合评价。当结构的承载力较高时，可适当放宽某些构造要求;或者，当抗震构造良好时，承载力的要求可酌情降低。当标准未给出具体鉴定标准时，可采用抗震设计规范规定的方法，按下式进行结构构件抗震验算:
≦（式 1）
式1中，S—结构构件内力组合的设计值；R—结构构件承载力设计值；—抗震鉴定的承载力调整系数。这种鉴定方法，将抗震构造要求和抗震承载力验算要求更紧密得联合在一起，具体体现了结构抗震能力是承载能力和变形能力两个因素的有机结合。
3.3、抗震鉴定在本工程中的应用
首先对砌筑用砖和混凝土强度采用回弹法、对砂浆采用回弹法和贯人法进行检测。检测结果表明:结构 1~3 层混凝土强度为 47MPa，结构四层至顶层混凝土强度实测为 43MPa，均略高于平均值29.5MPa，综合评定其抗压强度符合规范要求；其次采用采用经纬仪棱线投射法对房屋外墙棱线倾斜进行测量，测定建筑物外墙顶点相对底部的偏移值，结果显示，该房屋最大倾斜率为 1.1‰，在规范限值范围内；第三是抗震承载力分析。第四是抗震验算。在鉴定验算的过程中，结构按丙类建筑考虑，属于A 级高度的框架剪力墙结构。结构的抗震设防列度为七度，Ⅱ类场地，设计地震分组为第一组，多遇地震时场地设计特征周期取为 0.35s，设计基本加速度取为 0.10g。该房屋的框架抗震等级为二级，剪力墙抗震等级为二级。对该结构按现行规范进行抗震验算，计算软件采用 10 版 SATWE 软件和 ETABS，将两款计算软件的计算结果进行相互校核，以保证计算结果的准确性，建立结构的整体模型。结构整体计算采用振型分解反应谱分析法，计算振型个数取 21，考虑扭转耦联，振型组合采用 CQC 振型组合方法。如果按7度抗震设防进行了多遇地震作用下的弹性分析。结构的动力特性见表1：
通过计算，SATWE 与 ETABS 计算得到的结构位移信息相差较小，说明计算结果比较可信。SATWE 的计算结果如下：结构 X、Y 方向最大层间位移角分别为 1/1024 和 1/838，X、Y 方向最大层间位移与层间平均层间位移的比值分别为 1.22 和 1.27，满足规范相关限值的要求。
4、抗震加固方案
4.1、房屋的抗震承载力加固措施。为增强房屋底层的抗震承载力，提高房屋的整体刚度，采用钢筋网水泥砂浆对底层砖墙双面加固。材料选用水泥砂浆，砂浆强度等级为M10，厚度为40mm。
4.2、局部构件承载力加固措施。首先采用单榀框架计算，纵向连接依据构造措施设计。计算发现，底层轴、横向连系梁截面、配筋均不足，采用扩大截面加固法；其次是框架梁梁底配筋不足的问题，可采用碳纤维加固法，有效提高框架梁强度且不影响使用空间；第三是针对2,3层部分墙体被拆除，可采用双拼槽钢加固，为防止局部墙肢破坏、使结构受力传播合理，对剩余砖墙及槽钢梁进行扩大截面加固，砖墙采用截面扩大加固，应延伸至1层。
4.3、构造柱设计加固措施。 如果是房屋由于抗震性能和整体性不足，可以采用增加构造柱的加固方法。构造柱按照规范要求整体布置，根据布置位置的不同，采用不同的做法。同时，新增构造柱应同原有墙体及圈梁可靠连接。
4.4、新增隔墙的加固措施。新增隔墙有利于结构传力，采用承重墙的做法。在一般情况下，可以采用两根8沿墙体全长拉通，间隔500mm设置，与框架柱可靠连接。
4.5、抗震加固在本工程中的方案应用
由上文的抗震鉴定验算可知，对于计算结果中配筋不足的梁、柱，本工程采用粘贴碳纤维的方案对本工程进行加固。对于七层的超筋柱采用增大截面法进行加固，新增混凝土的厚度不小于 60mm，考虑到施工的可行性，将原截面直径为 800mm 的混凝土柱加大截面至 1000mm，新增混凝土采用细石混凝土，强度不低于 C40，新老混凝土交界面需凿毛处理，并在增大的混凝土中配一定量的受力钢筋与箍筋，并与原结构构件间用植筋的方法增加拉结筋进行连接。该房屋三层高为 6.4m，在三层 3.2m 高度处增设隔墙。隔墙采用钢梁，带肋花纹钢板作楼面。夹层楼面梁布置与原结构三层楼面梁布置类似。钢梁为焊接工字形截面梁，钢梁通过焊接型环形箍板固定于原混凝土柱。环形箍板由化学锚栓固定于原混凝土柱。花纹钢板及加劲肋厚度均取为 8mm。采用以上措施加固后，按砌体结构再次进行抗震验算。
本次采用 SATWE 软件对增加隔墙后的整体结构重新分析，其中隔墙部分主梁与柱之间连接为刚接，主梁与剪力墙之间连接为铰接，次梁与主梁之间连接为铰接；由于花纹钢板楼面的刚度较弱，分析时将此层楼板设为弹性膜；结构七层计算超筋柱按增大截面后的截面输入。计算结果见表 2 所示：
结构 X、Y 方向最大层间位移角分别为 1/998 和 1/815，X、Y 方向最大层间位移与层间平均层间位移的比值分别为 1.24 和 1.30，满足规范要求；原七层超筋柱经加固后的计算配筋率为 3.6%，能满足抗震规范中规定的柱纵筋配筋率的要求，证明采用增大截面法对于加固结构超筋构件的有效性。
结束语
总之，加固设计应根据结构的布置情况，合理的布置剪力墙、钢支撑的位置、数量，保证加固后结构体形、平、立面刚度的均匀性，避免出现加固后出现新的薄弱环节，同时在进行加固设施工时，应采用有效的施工措施，保证新增构件与原构件应有可靠锚固与连接，同时避免对原结构构件造成损伤。使新旧构件协同工作，达到预期的加固效果。并且由于地震作用的复杂性，如何选用更加合理的方法对钢筋混凝土框架结构进行地震反应分析，以达到较为精确的计算结构弹塑性变形，依然需要做进一步研究。
参考文献：
[1]任凤鸣.钢管混凝土框架—核心筒减震结构的抗震性能研究[D].广州大学,2012.
勾股定理在几何学中有着重要的地位，因此证明勾股定理在我们学习几何数学中非常重要。千百年来有许多数学家对勾股定理进行证明，证明方法多种多样。对勾股定理的证明在1940年出版的《毕达哥拉斯命题》中就收集到了367种之多，但是这还不是全部的证明方法，根据不完全统计到目前为止证明勾股定理的方法已经达到了500多种。当然各种证明方法都有自己独特的优点，有的丰富有的简洁。在西方国家勾股定理还被人们称为毕达哥拉斯定理，这是因为毕达哥拉斯是最先发现直角三角形的勾股定理并且给出了严格的证明。
关键词：勾股定理
勾股定理在我国也称“商高定理”，因为在中国商高是最早发现和利用勾股定理的人，商高曾经说过：“故折矩，勾广三，股修四，经隅五”。这就是人们后面说的“勾三股四弦五”。勾股定理的应用十分广泛，到目前为止对勾股定理的证明方法非常多，美国总统伽菲尔德证明勾股定理在历史上也是很有名的。勾股定理的证明体现了数型结合得思想，这体现了在学习数学得过程中我们必须要重视思维方式的培养，以及对各种思维方式的应用，达到举一反三的效果。在学习勾股定理的过程中我们要领会数学思维的规律和方法，提高数学思维的灵活性。利用勾股定理解题的时候，常常要把有关的已知量和未知量通过图形结合起来解决问题，也就是说我们必须要数型结合才能更好的解决勾股定理的问题。在研究问题的时候把数和形结合起来考虑，并且把图形的性质转化为数量关系，可以使得复杂的问题简单话，抽象问题具体化，所以数型结合是一个重要的数学思想。
在早期的人类活动中，其实人们就认识到了勾股定理的一些特征，传说在公元前1000多年前我国就发现了勾股定理，古埃及人也用“勾三股四弦五”来确定直角。但是有数学家对此也表示怀疑，例如美国的M・克莱因教授就曾经说过：“我们也不知道埃及人是否认识到毕达哥拉斯定理。我们知道他们有拉绳人，但所传他们在绳上打结，把全长分成长度为3、4、5的三段，然后用来形成直角三角形之说，则从未在任何文件上得到证实。”不过在大约2000多年前的古巴比伦的泥版书上，经过考古专家的考证，在其中一块泥版书上记录着这样的问题：“一根长度为30个单位的棍子直立在墙上，当其上端滑下6个单位时，请问其下端离开墙角有多远？”很明显这是一个勾股定理的例子。还有一块泥版上刻着一些奇特的数表，在表中一共有四列十五行数字，不难看出这是一组勾股数，从右边到左边一共有15组勾股数，从这里可以看出勾股定理实际很早就被人们所认识。
对勾股定理进行分类讨论可以对有可能出现的问题考虑得比较的完整，在解决问题的时候做到“不漏不重”。
证明勾股定理的方法很多，一一例举是不可能的，本论文只简单的讨论了几种简单易懂的证明方法。那么，接下来我们来看一下证明勾股定理的这几种方法。
1.通俗易懂的课本证明
2.经典的梅文鼎证法
例2：做四个全等的直角三角形，两条直角边边长分别是a、b，斜边为c。把这些三角形拼成如下图所示的一个多边形，使D、E、F在一条直线上，过C作AC的延长线交DF于点P。
8.总结
勾股定理作为中学数学的基本定理之一，是我们学习数学的必修课程。本文讨论了勾股定理的一些证明方法，简单的阐述了勾股定理的背景，这可以让我们对勾股定理能够由更深的了解。本文证明勾股定理的这几种方法都是比较简单和常见的，但是也是从不同的方面进行的验证，这会带领大家更加深入的了解勾股定理的证明，启发学生对学习的思考，养成多方面看待问题的思维习惯。通过本文主要是想让学生能够学好勾股定理，能够运用勾股定理解决实际问题。学好勾股定理对我们今后的学习和研究由很大的帮助，所以我们学者对勾股定理的研究就显得很有必要，也具有相当大的价值。
参考文献
[1]赵爽.周脾算经注.2006.
[2]王工一.论《九章算术》和中国古代数学的特点[J].丽水学院学报.2006.
[3]王凯.勾股定理玉中国古代数学[J].邵阳学院学报.2005.
[4]张俊忠.史话勾股定理[J].中学生数理化.2002.
1.应用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形。
2.灵活应用勾股定理及逆定理解综合题。
3.进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。
二、重点、难点
1.重点：利用勾股定理及逆定理解综合题。
2.难点：利用勾股定理及逆定理解综合题。
三、例题的意图分析
例1(补充)利用因式分解和勾股定理的逆定理判断三角形的形状。
例2(补充)使学生掌握研究四边形的问题，通常添置辅助线把它转化为研究三角形的问题。本题辅助线作平行线间距离无法求解。创造3、4、5勾股数，利用勾股定理的逆定理证明DE就是平行线间距离。
例3(补充)勾股定理及逆定理的综合应用，注意条件的转化及变形。
四、课堂引入
勾股定理和它的逆定理是黄金搭档，经常综合应用来解决一些难度较大的题目。
五、例习题分析
例1(补充)已知：在ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c。
试判断ABC的形状。
一、注意分清直角边和斜边
例1 在Rt 中,a=8㎝,b=10㎝, ,求第三边长c.
错解:由勾股定理,得 , .所以第三边长为 ㎝.
分析:本题解法中错在没有正确运用题中所给的条件,忽视了 ,由于 ,所以b应为斜边,而不是c.
正解:因为 , , ,
,故第三边长为 6㎝.
二、注意定理的应用条件
例2 已知 中,三边长a、b、c为整数,其中a=3㎝,b=4㎝,求第三边c的长.
错解: 由勾股定理,得 , , (㎝).
分析: 勾股定理使的条件必须是在直角三角形中,本题解法是受"勾3股4弦5 "的影响,错把 当成直角三角形,导致错误的使用勾股定理.
正解: 由三角形三边关系可得 , ,又c为整数, C的长应为2㎝、3㎝、4㎝、5㎝或6㎝.
三、注意定理和逆定理的区别
例3 判断下列三条线断能否构成直角三角形:a=3、b=4、c=5.
错解: ,即 ,所以根据勾股定理可知,a、b、c能构成直角三角形.
分析: 本题错在在解题依据上混淆了定理和逆定理的条件结论,勾股定理是由"形"推得"数",而逆定理则是由"数"推得"形".因此不可混用.
正解: ,即 ,由勾股定理逆定理可知,三条线段能构成直角三角形.
四、注意解题语言叙述
例4 已知三角形的三边长为5、12、13,试说明三角形是直角三角形.
错解:因为直角边是5和12,斜边是13 ,所以 ,故三角形是直角三角形.
分析:解法中错在一开始就明示了"直角边"和"斜边",事实上只有在三角形是直角三角形的条件下才能称其为"直角边"、"斜边".
正解: ,满足 ,由由勾股定理逆定理可知, 三角形是直角三角形.
五、注意分类讨论
例5 在Rt 中,已知两边长为3、4,求第三边的长.
错解: 因为 是直角三角形, 的第三边长为 .
分析: 本题错在只考虑3、4为直角边的可能,而忽视了4也可以作为斜边的情况,因此须分类讨论.
正解:(1)若4为直角边,则第三边的长为 ;(2) 若4为斜边, 则第三边的长为 .故第三边长为5或 .
例6已知在 中,AB=4,AC=3,BC边上的高等于2.4,求 的周长.
错解:如图1所示,
由勾股定理,得 ,
, .
的周长为 .
分析:上面解法中,只考虑了三角形的高在三角形内部的情况,忽视了高在形外的情况,即当 是钝角三角形时.因此须分类讨论.
正解: 由勾股定理,得 , .
(1)若 是锐角(如图1),则 ,这时 的周长为
;
(2) 若 是钝角(如图2),
则 ,这时 的周长为 .所以 的周长为12或 .
例7已知在Rt 中,两直角边的长为20和15, ,求BD的长.
错解: 如图3所示,
由题意根据勾股定理,得 ,又由面积法可得
, ,在Rt 中,由勾股定理得BD= .
分析:本题错在只考虑了AB的长是20的可能,忽视了AC的长也可能为20的情况.因此须分两种情况求解.
正解: 由题意根据勾股定理,得 ,又由面积法可得 , .
(1)当AB=20时,如图3,BD= .
(2) 当AC=20时,如图4,
BD= .
二、探索性学习不可或缺的题材
数学新课程理念下的数学学习将大量采用操作实验、自主探索、大胆猜测、合作交流、积极思考等活动方式。而勾股定理是
三、通过勾股定理的欣赏与应用，接受文化的洗礼与熏陶，体会数学独特的魅力
勾股定理是一条古老的数学定理，不论哪个国家、民族，只要是具有自发的(不是外来的)古老文化，他们都会说：我们首先认识的数学定理就是勾股定理。在西方文献中，勾股定理一直以古希腊哲学家毕达哥拉斯(Pythagoras，约前580－约前500)的名字来命名，称为毕达哥拉斯定理。更有趣的是我国著名数学家华罗庚教授在《数学的用场和发展》一文中谈到了想象中的首次宇宙“语言”时，就提出把“数形关系”(勾股定理)带到其它星球，作为地球人与其它星球上的“人”进行第一次“谈话”的语言。可以说勾股定理是传承人类文明的使者，是人类智慧的结晶，是古代文化的精华。因此，世界各国都非常重视勾股定理的社会文化价值，许多国家还发行了诸多勾股定理的相关邮票。
勾股定理的教学过程：
1、巧妙展示定理
以《周髀算经》中西周开国时期周公与商高的对话引入：
周公问：天没有阶梯无法攀登，地没有尺子无法丈量，请问怎样才能求的天有多高，地有多广呢？
商高答：“故折矩以为勾广三、股修四，径隅五”
这就是“勾三股四弦五”即勾股定理的由来，这条定理在西方又叫毕达哥拉斯定理或百牛定理。在毕达哥拉斯给出证明之后用以斩杀百牛来庆祝而得名。那么，勾股定理究竟是什么意思，它是怎样证明的，等我们学习了这节课后就清楚了。
设计意图：利用勾股定理的历史起源来巧妙的展示定理，创设了一个学生感兴趣的问题情境，引起学生的好奇心。
2、建立新旧联系，展示勾股定理
回顾三角形的边长知识，让学生利用三角板画任意大小的直角三角形，测量三边并计算边长的平方值。然后引导学生利用发现“直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方”
设计意图：让学生体会归纳法的规律――由一般到特殊，并通过测量了解勾股定理的结论。
3、展示数学思想，介绍证明方法
上述测量结果得到的算式只能用“≈”表示，是因为测量总是存在误差。在古代，没有精密的测量工具，人们是怎么发现勾股定理的呢？
证明方法一：赵爽弦图（出入相补证明法）
利用课前准备好的四个等大的直角三角形和一个正方形，模拟“赵爽弦图”的推导过程，如下图：
关键词：勾股定理；历史；证明
中图分类号：G633.6 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2012）10-0106-02
在我国最古老的数学著作——《周髀算经》的开头，记载着一段周公（西周著名的政治家，公元前1100年左右）向商高（周时的贤大夫）请教数学知识的对话，昔者周公问商高曰：“窃闻乎大夫善数也，请问昔者包牺立周天历度——夫天可不阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出？”商高曰：“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，……以为勾广三，股修四，径偶五。既方之……”译文：从前周公问商高：“我私下听说你善于演算，请问远古者包牺氏（传说中的人物）对整个天空逐于量度之事是如何完成的，那天不能由台阶而上，地不能用尺寸来量，请问相关的数据是怎样产生的？”商高说：“……在对矩形（长方形）沿对角线对折时，会产生短边（勾）长为3，长边（股）长为4，斜长（弦）为5的直角三角形的比率。”故有人称之为“商高定理”。
【关键词】数学史；勾股定理历史；融入；教学策略
1.勾股定理历史融入教学的意义
1.1 有利于激发兴趣，培养探索精神
勾股定理的证明是一个难点.在数学教学中适时引入数学史中引人入胜和富有启发意义的历史话题或趣闻轶事，消除学生对数学的恐惧感，可使学生明白数学并不是一门枯燥无味的学科，而是一门不断发展的生动有趣的学科，从而激发起学生学习数学的兴趣.
1.2 有利于培养人文精神，加强历史熏陶
学习数学史可以对学生进行爱国主义教育.浙教版新教材对我国勾股定理数学史提得很少，其实中国古代数学家对于勾股定理发现和证明在世界数学史上具有独特的贡献和地位，尤其是其中体现出来的数形结合思想更具有重大意义。
2.勾股定理历史融入教学的策略
在勾股定理教学的过程中，要求我们在教学活动中，注意结合教学实际和学生的经验，依据一定的目的，对勾股定理历史资源进行有效的选择、组合、改造与创造性的加工，使学生容易接受、乐于接受，并能从中得到启发.在实践过程中，发现以下几种途径与方法是颇为适宜的.
2.1在情景创设中融入勾股定理历史
建构主义的学习理论强调情景创设要尽可能的真实，数学史总归是真实的.情景创设可以充分考虑数学知识产生的背景和发展历史，以数学史作为素材创设问题情景，不仅有助于数学知识的学习，也是对学生的一种文化熏陶.
案例1：
师：同学们知道勾股定理吗？
生：勾股定理？地球人都知道！（众笑）
师：要我说，如果有外星人，也许外星人也知道.大家知道世界上许多科学家都在探寻其他星球上的生命，为此向宇宙发射了许多信号：如语言、声音、各种图形等.我国数学家华罗庚曾经建议向宇宙发射勾股定理的图形，并说：如果宇宙人是文明人，他们一定会认识这种“语言”的.（投影显示勾股图）
可以说，禹是世界上有文字记载的第一位与勾股定理有关的人.中国古代数学著作《周髀算经》中记载有商高这样的话：……我们做成一个直角三角形，这形亦称曰[勾股形].它的距边名叫[勾]，长度为三；另一边名叫[股]，长度为四；斜边名叫[弦]，长度为五.勾股弦三边，若各自乘，我们就可由其中任何两边以求出第三边的长……
《周髀算经》卷上还记载西周开国时期周公与商高讨论勾股测量的对话，商高答周公问时提到“勾广三，股修四，经偶五”，这是勾股定理的特例.卷上另一处叙述周公后人荣方与陈子（约公元前6、7世纪）的对话中，则包含了勾股定理的一般形式：“以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并儿开方除之，得邪至日.”
由此看来，《周髀算经》中已经利用了勾股定理来量地测天.勾股定理又叫做“商高定理”.毕达哥拉斯（Pythagoras）是古希腊数学家，他是公元前五世纪的人，比商高晚出生五百多年.希腊另一位数学家欧几里德（Euclid，是公元前三百年左右的人）在编著《几何原本》时，认为这个定理是毕达哥达斯最早发现的，所以他就把这个定理称为"毕达哥拉斯定理"，以后就流传开了.
2.2在定理证明中融入勾股定理历史
数学史不仅给出了确定的知识，还可以给出知识的创造过程，对这种过程的再现，不仅能使学生体会到数学家的思维过程，还可以形成探索与研究的课堂气氛，使得课堂教学不再是单纯地传授知识的过程.
案例2.：
刘徽（公元263年左右）的证明：
刘徽用了巧妙的“出入相补”原理证明了勾股定理，“出入相补”见于刘徽为《九章算术》勾股数──“勾股各自乘，并而开方除之，即弦”所作的注：“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不动也，合成弦方之幂，开方除之，即弦也.”如何将勾方与股方出入相补成弦方，刘徽未具体提示，学界比较常见的推测是如下图.
③剪拼法（学生动手验证）
证明方法之特征：数形结合证法，建立在一种不证自明、形象直观的原理上，主要是用拼图的方法证明，使数学问题趣味化.
翻开古今的数学史，不仅勾股定理的历史深厚幽远，所有的数学知识都蕴涵着曲折的道路、闪光的思想、成功的喜悦和失败的教训.将数学史的知识融入数学教学中，发挥数学史料的功能，是数学教育改革的一项有力的措施.正象法国数学家包罗·朗之万所说：“在数学教学中，加入历史具有百利而无一弊.”
参考文献
[1]中华人民共和国教育部制订.全日制义务教育数学课程标准 （实验稿） 》[S] 北京：北京师范大学出版社
【关键词】勾股定理；体验探究；勾股定理的证法；剪切拼图法；风车证法；勾股数组
一、创设思维情境，引出并体验勾股定理
数学教学是师生之间、同学之间交流、互动与共同发展的过程.我们的教学应从学生的实际出发，创设有助于学生自主学习的情境，引导学生通过实践、思考、探究、交流，主动地丰富自己的数学知识和能力。为此，在我的教学过程中将自己所任课的班分成5个研究性学习小组，各组有人负责，并聘请老师参加和指导。
勾股定理是一个古老而有趣的问题，几乎每位同学都知道“勾三股四弦五”这个定理的特例。即若直角三角形两直角边长分别为3和4，斜边长为5，则存在32+42=52这种关系。
在RtABC中，记AB=a，AC=b，AB=c，是否存在a2+b2=c2这种关系呢？为体验这个事实，我们再作些直角三角形，并测量所求结果。
（1）a=5，b=12，c=___.
（2）a=2，b=4，c=___.（精确到0.1）
（3）a=6，c=10，b=___.
（4）b=24，c=25，a=___.
第（1）、（2）题，作直角三角形，测量的结果分别是13，4.5，第三题可先作直径为10的半圆，量出弦BC=6，测得b=8，且∠ACB为直角。第（4）题与第三题类同，测得a=7。
体验是“人们存在的方式”，是人的“素质形成与发展的核心环节”，只有让学生在学习过程中不断体验，才会激起学生无休止的好奇心、探索欲和创造力。经过上述反复体验，得到勾股定理：在RtABC中，若a、b为直角边长，c为斜边长，则：a2+b2=c2。
进而得到勾股定理的逆定理：在ABC中，三边长分别为a、b、c，若a2+b2=c2，则：ABC为直角三角形。
二、探究勾股定理的证明
老师可提前布置各小组同学，去寻找勾股定理的不同证法和广泛应用。在数学课（或研究课）上，各小组可指派代表发言和演示，给出他们研究和探索的结果，经过师生互相交流，大家对勾股定理的证明和应用全面认识和深刻的理解。总结各小组的证法如下：
证法一：将四个全等的直角三角形平铺拼图（如图1）如大正方形的面积与四个直角三角形的面积之和，则有：（a+b）2=c2+4×■aba2+b2=c2
证法二：将四个全等的直角三角形平铺拼图（如图2），则：c2=（a-b）2+4×■aba2+b2=c2
证法三：将并排的两个正方形进行割补（如图3）将剪掉的标有1、2、3的三角形填补，在大正方形的1、2、3处。由面积等式，则：a2+b2=c2
证法四：利用射影定理证明，在RtABC中，由射影定理：
AC2=AD・AB，BC2=DB・AB
AC2+BC2=AD・AB+DB・AB
=AB（AD+DB）
=AB2
下面给出比较著名的两个证法――证法五（如图4）和证法六（如图5）
在图4中，因为分割长直角边上的正方形，使其形如风车，所以这一方法称为“风车证法”。“风车证法”的剪拼步骤如下（如图6）：
作正方形的中心O；
过O做直线垂直AB交正方形的两边与M、N；
过O做直线垂直MN交正方形的另外两边与P、Q；
沿线段MN、PQ剪开即可。
至于为什么MN要垂直AB，我可以从平移变换的角度来考虑。简单的说，那是因为四边形BMOP经平移变为GFAH，OM平行AF；AF垂直AB，也即OM（MN）垂直AB。
在众多剪拼方法和证明方法中，有的人还提出了一些不够直观甚至是错误的方法，对于这些方法也不要轻易放弃，教师要珍重每位同学构思出来的方法。即使做法和结论是错误的，我们也要找出错误的原因，从中吸取经验和受到启发。要通过观察、思考、动手试验等过程引导学生不断探究新的数学内容和数学方法。
三、勾股数组
我们把满足x2+y2=z2的三个正整数x、y、z叫勾股数。（x、y、z）叫做勾股数组。如果（x，y，z）=1，则这样的勾股数组叫做基本勾股数组。例如：（3，4，5），（5，12，13），（12，35，37）等都是基本勾股数组，而（6，8，10）不是基本勾股数组.容易看出，若（x，y，z）是一个基本勾股数组，则（kx、ky，kz）都是勾股数组。
我们把边长为勾股数的三角形叫做勾股三角形。这里我们又得到另一个应用。
定理：勾股三角形的内切圆的半径一定是整数.
证明：设RtABC的内切圆半径为r，则r=■
由于勾股数a、b、c不能同时为奇数，所以a+b-c为偶数，从而r为整数。
许多数学问题规律性很强，我们总希望用一些定理或公式找到更多的基本勾股数组，这里将我们师生探究勾股数得到的结论给出来。设Rt的直角边长为x，y，斜边长为z，且n，s，t都是正整数，则勾股数组有两类：
x=2n+1y=2n2+2nz=2n+2n+1或 x=2sty=s2-t2z=s2+t2
列表如下：
从表中我们发现，第一类勾股数满足（x，y，z）=1，都是基本的，但不是全部的.第二类勾股数组不是基本的，但它对第一类给以补充。我们还发现许多有趣的结论，如：x，y，z不可能都是奇数，它们中可以有一个偶数或全部是偶数。再如：（x，y，z）是基本勾股数组，则x，y中必有一个能被3整除，等等。
在勾股定理的学习过程中，给我们带来的启示很多，首先是这个古老问题有探究不尽的课题。它的不同证法，广泛的应用以及勾股数的趣味性给我们拓宽了眼界，打通了思路，不仅是对知识的传承，更多的是激发了我们师生对数学产生了浓厚的兴趣，获得更多更好的数学知识和数学方法，提高了空间想象能力和创造性思维。
【参考文献】
