时间：2023-08-08 16:50:59
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全面贯彻党的教育方针，深化教育改革，推进素质教育，是当前我国教育改革的重要任务。教育部计划从2001年秋季开始，用大约五年左右的时间在全国推行义务教育新的课程体系。在新一轮基础教育课程改革中，在理念、目标、结构、内容、实施、评价等方面较以往的课程有了重大的突破和创新，对广大中小学教师和教育工作者提出了许多新的更高的要求，对培养教师的高等师范院校提出了严峻的挑战。高师数学教育面对课改带来的一系列变化，应采取积极的策略应对这些挑战，不仅有利于保障课改的顺利实施，也有利于推动高师教育自身的发展。
基础数学课程改革具有很强的系统性，是真正意义上的课程文化创新，是一场深刻的课程文化变革，它将改变学生沿袭已久的被动接受的学习方式，同时也将改变教师的角色，教师从“儿童的保姆”、“小树的园丁”、“知识的批发商”转变为“教学活动的组织者”、“学生成长的促进者”、“课程结构的研究者”。基础教育数学课程改革向培养中小学数学教师的高师数学教育提出了严峻的挑战。
挑战一：教育理念的更新
新旧课程的本质区别是教育理念的不同。旧课程观认为课程是知识，教师是知识的传授者，教师是中心，学生是知识的接受者，而新课程观认为课程不仅是知识，同时也是经验，是活动；课程不仅是文本课程，更是体验课程；学生获取知识的过程是自我构建的过程，是师生共同探究新知识的过程。旧课程认为课程就是教材，教材又是知识的载体，而新课程观认为课程是教材、教师、学生、环境等因素的整合，是一个生态系统；师生是课程资源的开发者，共创共生，形成学习共同体。目前，师范在校生接受的是传统的数学教育，陈旧的教学理念在头脑里根深蒂固。而基础数学课程改革能否取得成功的核心问题是数学教育理念能否转变为教师的教学行为，陈旧的教育理念很难保证高师生在未来数学教学中适应基础教育数学课程的改革。
挑战二：教育目标的多维性
传统的应试教育由于过分注重知识的传授和学科本位，强调知识和技能的获得，学生被动学习，死记硬背，机械训练，大部分学生失去了学习数学的兴趣，90%的学生陪10%的学生学习数学。新课程数学教育是“知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观”三维一体的培养目标，不只是让学生获得必要的数学知识和技能，还包括在启迪思维、解决问题、情感与态度等方面的发展；让学生愿意亲近数学、了解数学，学会用数学的眼光去认识自己所生活的环境和社会；学会“做数学”和“数学地思考”；发展学生的理性精神、创新意识和实践能力，培养学生克服困难的意志力，建立自信心等。但目前的师范生，大多采用被动接受的学习方式，重结果轻过程，重套用轻创造，重理论轻实践；对学生情感、态度和价值观的培养不够关注，这样培养的数学教师与素质教育要求的新型教师是不相符的。
挑战三：数学课内容的整合性
基础教育数学课程与原课程相比较有重大变化，一是教材内容的变化。增加了一些有用的、与日常生活紧密的内容，如视图与投影，数据处理，数学建模，算法，信息安全与密码，测量，二维与三维图形的转化，风险决策等，这些内容在高师数学专业课中比较薄弱，有些甚至是没有覆盖的。二是教学内容的变化。教学内容不仅仅是教材，还包括教师、学生、教材和环境等因素的整合，因为这些因素对学生的教育和影响远远大于学生在课本上学到的东西。这就向传统的、有缺陷的高师数学课内容提出了挑战。
挑战四：教学活动中角色的转变
素质教育提出：数学教学应该是数学活动的教学，是师生之间交往互动与共同发展的过程，是以学生学习兴趣和内在需要为基础，以主动探索、变革、改造活动对象为特征，以实现学生主体能力综合发展为目的的主体活动。学生是教学活动的主人，教师是组织者、引导者和合作者，教师要从学生的实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境，引导学生通过实践、思考、探索、交流获得知识、形成技能、发展思维、学会学习，关注学生的个体差异，有效地实施有差异的教学，使每个学生都能得到充分的发展。而目前高师数学教学中，教师基本上是“满堂灌”，教学过程呆板，缺乏探究和学生的主动参与，缺乏相互的合作和交流。学生是忠实的听众，被动地围绕上课、作业和考试转，缺乏主动探索精神，这样的教学活动不利于师范生从学生向新型教师角色的转变。
二、高师数学教育的应对策略
在我国教育战略、政策、体制改革的大背景下，随着教师教育改革的不断深入，高等师范院校在未来教师培养方面所面临的挑战应予高度重视。针对当前我国基础教育正在进行大规模的改革，中小学数学课程出现前所未有的变化，高师数学教育“教什么、怎么教”，如何使培养的学生适应基础教育数学课程改革的发展要求，是需要深入研究的问题。笔者认为高师数学教育面对基础数学课改的挑战应做好五个“转变”：
策略一：教学内容的转变
高师数学教育类课在很大程度上仍然没有跳出“数学+教育学”的传统框架，所开设的课程基本上是纯数学的，重在专业基础知识的培养，这当然是必须是。但素质教育要求数学必须与其他学科和生活实际相联系，更注重实用性，更注重师范生的数学素养和师范技能的培养，使师范毕业生在具有扎实的专业基础知识的同时，还要具有应用意识、建模意识、学科综合意识和教育现代化意识。所以，高师数学教育应调整基础数学课程和应用数学课程，对专业必修课的内容进行整合和优化，加强基础性、前沿性和综合性内容。教学内容应包括教
转贴于
育的现展、数学学习心理学、数学教育理论与实践、数学建模、新课程标准解读、新教材教法研讨、课例评析等，使高师数学教育达到“授人以业、授人以法、授人以道”的目的。
策略二：教学方法的转变
恰当的教学方法是对素质教育理解的直接体现，教师的作用是通过课堂教学来体现的。传统的讲授法不能适应素质教育的要求。素质教育的最大特征就是由“教给学生数学的结果”转化为“引导学生参与学习数学的过程”，这不仅仅是对中小学的要求，也是对高师的要求，更是对高师数学教师的要求。高师数学教师在教学中的地位应重新定位为数学探索活动的设计者、组织者、“导游”，数学教学必须使学生参与到数学探索活动中来，传统的“以教师为中心”、“教师在课堂上起支配和决定作用”的状况应改变，学生的主体地位应加强，让学生在学习中进行探索并主动构建知识。发展学生自主学习、自主探索、自主构建、自主创造的行为模式。高师数学教师的教学行为直接影响学生的学习方式和未来的教学方式，许多有效的学习方法和教学方法是直接从教师具有示范性的教法转化而来的。
策略三：教学模式的转变
由于同一年级学生的知识、能力、背景和理想等因素的不同，传统的同一的教学模式与分化的学生之间存在的矛盾比较突出：“比较差”的学生跟不上，“优秀”的学生感到吃不饱；立志从教的学生（假设为a层）觉得师范技能培养不够，立志进一步深造的学生（假设为b层）感到专业知识需要提高。分层次教学模式是解决这一矛盾的有效方法。对不同的学生制定不同的教学目标和教学内容，提出不同的要求：a层学生应达到中学教师的基本要求，b层学生在知识能力达到较高要求的同时应在创新和应用上有所拓展。
策略四：学习方式的转变
长期以来，相当数量的学生几乎是从小学开始面对应试的竞争，并随着年级的升高愈演愈烈，这对学生的学习方式产生了许多不良影响：读死书和死读书；死记硬背概念、公式、性质、定理和解题方法；搞题海战术；不习惯于合作和探索。现代数学教育理论研究的一个重要成果是获得了关于学生学习活动本质更为深刻的认识：这是一个以其已有的知识和经验为基础的主动建构的过程，是一个社会的过程。学生的学习活动不应只限于对概念、结论和技能的记忆、模仿和接受。高师院校应充分利用自己的课程资源和各种信息技术作为学生学习数学的平台，给学生自由学习的时间和空间，为学生创造充分的条件，在独立思考、自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学和课题研究中体验数学的本质和学习数学的乐趣，学会“做数学”的方法。
策略五：学习评价方式的转变
【摘要】
在《算术基础》中，弗雷格追溯了数学表达式之不变的逻辑基础的同时，清理了带有主观性和相对性的心理主义。但心理主义并没有因此销声匿迹，反而在蒯因那里得到复兴，而且蒯因还基于自然主义的心理主义，否定了弗雷格对数学基础的探寻。本文试图借由解读弗雷格和蒯因的文本，展示数学哲学中的基础主义与心理主义之争，并借由弗雷格的文本对蒯因的心理主义做出回应。
关键词
基础主义；心理主义；分析性；整体论
中图分类号：B089文献标识码：A
文章编号：1000-7660（2015）03-0063-07
作者简介：刘钰森，广东潮州人，哲学博士，（广州510006）华南师范大学公共管理学院、哲学研究所讲师。
蒯因（W·V·Quine）在《从刺激到科学》开头“追忆往昔”一章中提到弗雷格（Gottlob Frege）时，将弗雷格的理想概括为探寻数学知识的本质以及数学真理的基础。他认为弗雷格和罗素、怀特海在这一方面是同路人，他们的结论是认为数学可翻译为纯逻辑，由此可以进一步推导出数学真理是逻辑真理，并且它的全部都能还原为自明的逻辑真理。蒯因认为弗雷格等人的这种观点是错误的，而且哥德尔1931年的论文以及罗素1902年的发现使得弗雷格等人的理想烟消云散
。
弗雷格当年在《算术基础》等著作中所提出的如蒯因以上所说的基础主义
理想，否定了密尔等人关于数学的心理主义所带有的主观性和相对性。然而，蒯因否定弗雷格等人对数学基础的探寻的背后，恰好是他在《真之追求》等著作中所概括的自然主义的心理主义立场。本文试图通过从《算术基础》到《真之追求》的解读，展示数学哲学中基础主义与心理主义之争的某种面貌，也试图基于弗雷格的文本，回应蒯因新兴的心理主义。
一、弗雷格的“基础主义”
“如果在万物长河中，没有任何东西是不变的，永恒的，那么世界就不再是可认识的，一切就会陷于混乱。”
弗雷格要探求的就是这种永恒不变的东西。作为一名数学家，他的这种探索是从数字入手的。比如数字1，惯常的说法是它指示一个事物；将1这个数说成属于事物，却没有说明事物是哪个；这将使得每个人都可以任意理解这个名称，关于1的同一个句子对于不同的人意味着不同的东西。心理主义会导致的这种相对主义是弗雷格所反对的。
弗雷格认为，思维本质上在哪里都是一样的：绝不能根据对象而考虑不同种类的思维规律。不同于心理主义从具有相对性的心理表象来解释意义，弗雷格要找的是一个客观的外在基础：“人们从本书将能看出，甚至像从n到n＋1这样一条表面上专属于数学的推理，也基于普遍的逻辑规律，而且不需要特殊的聚合思维的规律。” 弗雷格要的是在语言、数字后面的那个永恒不变的东西，他要的是一种在哪里都是一样的“思维”、一种普遍的逻辑规律。
弗雷格力图说明，感觉与内在图像具备不稳定性和不确定性，而数学概念和对象则具备确定性和明确性；因此算术与感觉根本没有关系，内在图像对于数学是无关紧要和偶然的。如果从心灵本质对概念进行心理学解释，并以为由此可以得到概念的本质，那么这只会使一切成为主观，走到底甚至会取消真。要认识到概念的纯粹性质，需要大量的理性工作以追溯定义普遍的逻辑基础：
如果定义仅仅在后来由于没有遇到矛盾而被证明是有理由的，那么进行证明的严格性依然是一种假象，尽管推理串可能没有缺陷。归根到底，人们以这种方式总是只得到一种经验的可靠性，实际上人们必须准备最终还是会遇到矛盾，而这个矛盾将使整个大厦倒塌。为此，我认为必须追溯到普遍的逻辑基础……
普遍的逻辑基础的追溯需要坚持三条基本原则：“要把心理学的东西和逻辑的东西，主观的东西和客观的东西明确区别开来；必须在句子联系中研究语词的意谓，而不是个别地研究语词的意谓；要时刻看到概念和对象的区别。”同上，第8—9页。 换言之，坚持客观性原则，要求只在心理学意义上使用“表象”，把表象与概念和对象区别开来，前者代表心理的和主观的，后者代表客观的和逻辑的；坚持语境原则，要求避免将个别的心灵的内在图像或活动当作语词的意谓；函项原则要求的是，未充实的概念不可成为不变的客观对象。
客观性原则预示着弗雷格所追溯的基础将是与具有相对性的心理表象无关的客观逻辑基础，它是普遍性的；而函项原则与语境原则将在获得作为算术基础的数定义方面起着至关重要的作用。提出这三个原则之后，弗雷格指出他那个时代的数学回到一种甚至要努力超越欧几里得的严格性，那就是人们对各种概念进行严格的证明；而且他相信沿着严格证明之路，必然能获得构成整个算术基础的数概念以及适合于正整数的最简单的句子。
于是在弗雷格眼中，数学本质上只要能用证明就不用归纳来获得确证。证明的目的在于使句子的真摆脱各种怀疑，并且提供关于句子的真之间的相互依赖性的认识。句子间的真的依赖性在哲学上需要对先验和后验、分析和综合做出区分。在弗雷格看来，与此区分有关的是判断的根据（justification），而非其内容。因此，通过证明达到的根据如果是普遍的逻辑真理和一些定义，获得的是分析的真；而根据非普遍逻辑性质的特殊知识领域的真得到证明的句子，则是综合的。类似地，是否完全从本身不能够也不需要证明的普遍定律得到证明，则是区分一个句子的真是否先验的标准。
从根据而不是从内容区分真的先验和后验、分析和综合，这也是弗雷格追溯基础理想的一种体现，更直接的是，它与追溯算术基础时所必需的严格证明之路密切相关：在数学领域，要尽可能严格地证明算术定理，避免推理串中的每个缺陷，找到证明所依据的原初真命题。比如：
2加2等于4，这不是直接的真；假定4表示3加1。人们可以如下证明这一点：
定义：1）、2是1加1；2）、3是2加1；3）、4是3加1
公理：如果代入相等的数，等式依然保持不变。
证明：2＋2＝2＋1＋1＝3＋1＝4（定义1，定义2，定义3）
所以；根据公理：2＋2＝4
弗雷格认为莱布尼茨的上述证明有缺陷，应该更精确地书写为：
2＋2＝2＋（1＋1）
（2＋1）＋1＝3＋1＝4 同上，第16—17页。
莱布尼茨的证明缺少2＋（1＋1）＝（2＋1）＋1，它是a＋（b＋c）=（a＋b）＋c的一种特殊情况；以这条定理为前提，其它公式都能以这种方式被证明，并且每个数就能够由前面的数定义。“我们甚至没有关于这个数的表象，可确实就这样把它据为己有。通过这样的定义，数的无穷集合化归为一和加一，并且无穷多数公式均能够由几个普遍的句子证明。”基于这种证明方式，弗雷格试图从a＋（b＋c）=（a＋b）＋c的形式来说明，借助几条普遍规律，仅从个别数的定义可以得出数公式，但这些定义既不断定观察到的事实，也不假设其合法性（不需要justification）。他在批评前面提到的密尔等人的聚合性思维的同时，认为数的规律不可能是归纳的真命题：归纳如果是习惯的话，“习惯（作为一种主观状态）完全没有保真的能力”，“归纳必须依据概率学说，因为它至多可以使一个句子成为概率的。但是如何能够在不假设算术规律的前提下发展概率学说，却是无法预料的”。
弗雷格认同莱布尼茨的观点，数学中发现的必然真的命题必须有一些原则，其证明不依赖于例子及感觉证据。他认为几何学定理之间可以互相独立，它们不依赖逻辑的初始规律，因而是综合的；但经验综合的性质并非算术规律的性质。就数而言，每个数都有自己的独特性，它要求关于数的科学原理是分析的，数相互之间是紧密相连的。关于数的普遍句子不必只适用于眼前存在的事实，数学的真命题“会有一系列未来使用的推理串，其用途将在于：人们不必再进行个别的推理，而是能够立即说出这整个系列的结果。”
如果真的可以达到上面提到的作为根据的普遍句子，以便由之推导出数公式，那么这样的句子应该是从更基本的数定义得出的。因此，接下来需要进一步考虑数的定义。
以往由于定义尝试的失败，数总被认为是不可定义的。把数看作事物性质，数是主观的东西，把数解释为集合、多或众多，通过对不同的实物集合加以不同的命名来解释数，这些说法都被弗雷格一一驳斥了。而对欧几里德的“数是一种单位集合”的解释，在指出后人的很多说法中的问题及困难之后，弗雷格提出解决困难的方法是：把一和单位做出区别。具有客观性的“一”作为数学研究的一个对象的专名，不能是复数；相应地，单位应该是一个概念。概念不同于专名，只有当概念带上定冠词或指示代词时才能被看做一事物的专名，但因此它就不是概念了。因此，“数是单位”的解释把概念词混淆为专名了。
弗雷格认为，“数的给出包含着对一个概念的表达”，“数的给出表达了一种独立于我们理解的真实的东西”。上述观点提醒我们：每一个个别的数词是专名，它不等同于概念词，当一个概念词被它“充实”而饱和了之后，我们就得到了专名。在贯彻语境原则的前提下，弗雷格认为，为了获得数这个概念作为对象的数，必须确定数相等的意义。他借助的是莱布尼茨“用一个事物替代另一个事物而不改变真，这样的事物就是相同的”的解释，把数相等界定为外延相等（数值的相等）。这与他在《含义与指称》中提到的等值置换原则相一致：在逻辑中，真值相同的词项和命题可以互相置换。我们可以由两个等数的概念得到其下的数相等，加上“n在自然数序列中紧跟m”这个表达式，就能定义0和1，并且进一步确定数序列是无穷的。
基于客观性原则，弗雷格反对心理主义的相对主义和主观主义，他把算术奠基于一种不变的逻辑基础之上。遵循语境原则和函项原则，他在《算术基础》中主要展示了一种追溯算术基础的方法。根据这种严格证明的方法，弗雷格认为从一些自明的公理（即他所谓的普遍的逻辑基础、普遍句子）出发，加上数的定义，可以演绎出所有关于数的真命题。虽然这有循环论证嫌疑，但是弗雷格明确地认为按照他的严格证明的方法，可以追溯作为算术基础的数的定义以及自明的公理。他在《算术基础》中谈及其基础主义的哲学动机，在于澄清算术真是属于先验还是后验、是属于分析还是综合。如前所述，从判断的根据而非内容解释真，由算术真所根据的是不可证明的普遍句子来看，算术真（truth）当然是先验分析的。换言之，从算术真的基础可以得出算术真是先验分析的。这种哲学动机促使弗雷格进行基础的追溯，而分析性也因此成了算术命题的特性，并且将其与综合性的心理命题区分开来。
二、蒯因的《真之追求》及弗雷格应对的可能性
弗雷格以澄清算术真的分析性为其哲学动机，蒯因则由对分析性概念的批判而提出一种整体论的彻底经验主义，他的经验主义就是所谓的自然主义的心理主义。基于对分析命题的态度，这种经验主义并不承认数学中存在如弗雷格所追求的那种分析性的基础。
蒯因在他著名的《经验论的两个教条》中所批判的第一个非经验论教条，就是分析与综合之分：奠基于非事实的意义的真（truth）是分析的，而奠基于事实的真是综合的。而且，对分析与综合之分根源同一的还原论的清理之后，他的结论是：由真一般地依赖于语言和语言之外的事实得出，每个陈述的真可分解为语言部分和事实部分，这是很多胡说的源头。根据这种划分，如果某陈述的真只与语言部分有关，那么该陈述就是分析的。这种分析和综合之分，在蒯因看来是顽固地抗拒任何明确的划分。科学看起来总体上依赖于语言与事实，但逐个地审视科学陈述，却能发现并非如此。 没有教条的经验论应该主张：“我们所谓的知识或者信念的总体，从最具因果性的地理和历史的事实到相当复杂的原子物理或者甚至纯数学和逻辑，是一个人造的构架，其仅仅是沿着边缘侵入经验。”Ibid.， p.39.
把架构在经验基础之上的人类知识体系比喻成一个倒扣的碗的话，纯数学和逻辑即便处于碗顶，也最终要与经验相关。这种思想在蒯因后期的《真之追求》得到了进一步的阐述，与弗雷格固守理性、固守不变的基础不同的是，蒯因固守的是他心中的经验论规范：“nihil in menter quod non prius in sensus（心灵中没有任何东西是以前感觉中没有的）”。他的出发点是：感觉的刺激-感受才是我们关于外在世界的知识客观性的保证：
有关我们外在世界的知识的客观性保持在我们与外在世界的接触中、从而在我们的神经摄取和与之相应的观察句中得以确立。我们从整个句子而非从词项出发。函项的一个教益是，我们的本体论，像语法一样，是我们自己对关于世界的理论做出的概念的贡献的一部分。人类提出建议，世界付诸实施，但这仅仅是经由对具体表达人的预见的观察句做出整句的“是”或“否”的判断来达到的。
在蒯因看来，我们经由感官刺激（stimulation），在历代累积的创造性之下构造关于外部世界的系统理论。在刺激和感受的关系或者刺激和我们的外在世界的科学理论的关系的分析中，神经科学、心理学、心理语言学、遗传学或者历史学都可以提供资源，而其中有一个部分可以仅借助逻辑分析来加以考察，那就是理论被预言检验的部分，或者属于证据支持关系的部分。这就进入到了“求真”的领域，并且看来他也将采取逻辑分析和语言分析的方式，从目标和方法上看似乎与弗雷格对算术基础的追求是一致的。
但事实并非如此，究其一生，蒯因直到最后的著作《从刺激到科学》都立足于前面提到的那个经验论规范。虽然蒯因有时候认为有些数学命题是没有经验内容的，但是不同于弗雷格所认为的对每个对象都必然有意义的命题都是重认命题（recognition?judgment），比如数学中的等式，他认为有意义的命题恰好是有经验内容的命题，也就是能被检验、值得检验的命题。
蒯因更直接要解决的是所谓“科学游戏的目的”的问题。他认为，科学游戏的压倒性目的是技术和理解。从技术和理解的角度来看，“所指和本体论如此后退到单纯的辅助者的地位。真句子，观察的和理论的，是科学事业的始终。它们由结构联系起来，而对象扮演了结构的纯节点的角色”。这种结构就是逻辑的联系，在函项的理论下，px原来意味x是p的地方，可以重新诠释为x是p的f；即在重新解释后的句子逐词保持不变的情况下，观察句依然和以前一样与相同的感觉刺激结合在一起，而且逻辑联系完好无损，理论的对象却被随意大幅度地移换了。
这说明对象“对于观察句的真是无关紧要的，对于观察句对理论句提供的支持是无关紧要的，对于这个理论预言中的成功也是无关紧要的”。只要能保证与感觉刺激结合，那么作为“人造架构”的观察句、理论句的对象就可以随意移换。语词、句子不过是人类使用的符号，人类可以“任意”地解释，当然，前提是与感觉刺激结合：“人类提出建议，世界付诸实施。”对象在蒯因这里并不重要，对真句子来说更重要的是与感觉刺激相合。但这种相合并非是孤立的，而是整体的。在他看来，直接面临经验检验的是所谓的观察范畴，而蕴含观察范畴的是一个理论的整体，其中，算术和其他数学的分支是理论背景的一部分。在《真之追求》第6节中，蒯因试图通过在整体论所要求的最低限度肢解整体的准则之下，保护任何纯数学的真，但这种保护不是因为数学的基础性，而是因为数学渗透到人类关于世界的知识系统的各个分支，对数学的破坏将令人无法容忍。蒯因认为，这可以解释数学必然性，并且基于一个所谓的未阐明的原理：人类在自由地拒斥其它信念的同时却要捍卫数学。由于整体论，加上数学对我们关于世界的知识系统的渗透，在数学得到应用之处，经验内容也被数学所分享。
蒯因的老师卡尔纳普在他的数学哲学中，使用分析性来解释缺乏经验内容的数学如何有意义以及为何数学是必然真。之所以使用分析性，在蒯因看来，是因为类似于形而上学的必然性反映出事物的本质，分析性反映了语词的意义。不过，如前所述，蒯因认为通过整体论就可以解决卡尔纳普通过分析性所解决的那两个问题。蒯因对于数学必然性的说明，并不是给出像弗雷格那样的基础主义证明，而更主要是从数学应用的效果来说明；与其说他想说明数学的基础性的必然性，倒不如说他想通过整体论来说明数学如何跟经验关联。
在《真之追求》第40节，蒯因专门讨论“数学中的真”。在他看来，数学有一部分因为不应用于自然科学而不享有经验意义，集合论的高级部分也是这样，而它们的意义在于它们是与应用数学一样用相同的语法和词汇来进行表述的。或许因为这种数学的高级部分的非应用性，蒯因认为要是将之排除在二值逻辑之外，就需要不自然地划分语法。因而，由于简单、经济和自然的考虑，这些高级部分或者是不必要的想象，或者可以在谓词逻辑和集合论这类基础上给出来；并且这样处理缺乏经验内容的纯数学，跟自然科学内部进步的简化和经济达到一致，“它是关乎使我们关于世界的整体系统紧凑（tightening）和简化（streamlining）的问题”。
从以上对蒯因在《真之追求》中的观点的述评可见，蒯因自然主义的心理主义把人看作自然的一部分，而人们使用的数学（包括逻辑、集合论作为其组成部分）只是人们的工具。蒯因不像弗雷格那样试图分析出一种外在的数学的基础，他只是从数学的应用来说明数学的必然性；这种必然性最终与经验相关的应用关联起来：数学作为理论背景的一部分，蕴含观察范畴，并且当观察范畴遇到反例时，唯有数学不能被破坏。在《从刺激到科学》中蒯因用一章的篇幅专门讨论了逻辑和数学，其中的观点与《真之追求》是一脉相承的，并且可以增进对他关于逻辑和数学的心理主义观点的理解。
作为自然一部分的人对于逻辑的习得有一种“进化”的过程：人类从孩提时代习得“并非”、“并且”、“或者”这些逻辑联结词以及“有的”、“每个”这些量词的时候，就逐步把蒯因界定的狭义的逻辑的基本律内化了；而当人类数学理论成熟时，就能够在一种形式化中把这种逻辑压缩为：证明一个给定的前提集对预期结论的蕴含，就是证明该前提集与结论的否定的不一致。这种观点把数学当成比逻辑更加高级的知识体系，蒯因接下来的一句话可以更清楚地看出这一点：“我乐意于如此狭义地限制词项‘逻辑’，而把集合论处理为数学另一更高级的分支。”他在后面甚至把集合论当成数学的代名词，即逻辑是数学的分支、集合论则是更高级的分支。并且，这种“狭义”的逻辑和集合论及数学的其它分支，有着三个重要的区别：一、逻辑没有能称为属于它自己的对象，其变量允许所有离散的值；二、除去同一性，逻辑没有自己的谓语；三、逻辑允许有完全的证明程序，而数学其它分支则由于哥德尔不完全性定理而不允许有完全的证明程序。
从以上对比可见，就没有对象与谓语而言，逻辑如前面所引述的《真之追求》的观点所表明的那样，更主要的是具有一种联系的功能；就证明的完全性来说，逻辑看来比之数学的其它分支更有优势。如前所述，在蕴含观察范畴方面，蒯因把数学律与自然律的作用等同起来，因为集合论和数学其余部分的规律排列在进行蕴含的前提之中，等同于自然科学的规律和假说。不过，这并不与公认的数学缺乏经验内容的看法相冲突，蒯因认为数学的这种参与并不赋予经验内容，因为经验内容是属于进行蕴含的集合并且不被其成员所分享的。
在《真之追求》里能够享有经验内容的是应用中的数学，而这里作为进行蕴含的集合一部分的数学，是所谓的非诠释数学（uninterpreted mathematics），它们不仅缺乏经验内容，且缺乏真假。蒯因在比拟这一类数学真理为经验真理时，主要出于其对观察范畴的蕴含有帮助的考量，而将其对经验的背离忽略不计。蒯因认为许多这样的语句可以用应用数学中所坚持的规律来处理，另外一些解证地独立于先前理论的情形则还是用经济原则来处理。加上哥德尔的不完全性定理，令蒯因为难的还有：有许多属于数学的闭合句在一致的证明程序中，不可证明也不可证伪。最后，蒯因只能与这种超出他认为的值得并且能够检验的才是真陈述的要求的句子做出妥协。但是，他还是强调，即使这涉及到康德的物自体问题，关键却还在于人类的用法，而并非宇宙之秘。
与密尔等心理主义的前辈相比，蒯因并不否认数学尤其是纯数学对于经验的背离；而对于逻辑，他则更主要从一种工具的角度来对待。在写作《经验论的两个教条》时，蒯因认为人类的知识最终都与经验相关；而到了《从刺激到科学》，他却承认非诠释的数学对于经验的背离。即使借用应用数学的规律处理部分这样的数学陈述的真假问题，同时用奥康的剃刀处理另外一些数学命题，还是存在着真假不定的数学命题，蒯因提到非诠释数学即抽象代数时说它们没有经验内容、也没有真假。而这与前面提到的他所贯彻的经验论的规范是冲突的。
蒯因的这种困境在弗雷格看来或许并不成为困境。弗雷格其实并不否认经验的作用，他承认感觉印象是认知数和其他一些东西的条件，但他强调在数学基础方面中经验是无关的。在《概念文字》的序言中，他把科学真理分成两类：一类是其证明纯粹由逻辑完成，另一类是必须被经验支撑的。不过，即使是第一类，也是与这样的事实相一致的：“没有任何感觉活动的话它是绝不会在人心中称为意识”；只是它并非源起于心理学，而是基于分类之上的最好的证明方法。感觉活动是意识形成的必要条件，包括其证明纯粹由逻辑完成的科学真理也是如此，不过感觉活动却并非基础。泰勒·伯奇（Tyler Burge）考究了奠基（grounding）一词的德语，认为基础和奠基是与理性相关的。哲学家所谈论的理性，一般意指源自亚里士多德的范畴理性，即弗雷格在《算术基础》第31节提到的，使我们与动物区别开来的更高精神力量。 作为算术基础的命题恰好是不需要检验的、自明的，其作为真命题的意义因此不在于蒯因所要求的值得检验和能被检验，而在于它们所含有的内容是理性所必须确认的。
与《算术基础》开篇建立的那三个原则相适应，弗雷格把科学真理分成两类，其中，客观性的算术真理纯粹由逻辑得到证明。算术领域的真在弗雷格那里如同赤道与北海的存在一样，具有超乎经验的客观性。算术真理在弗雷格那里具备的独立于经验的地位，恰好就标出了蒯因极不情愿地作出妥协后逐步接近的那种立场。另一方面，即使蒯因的经验论看起来似乎更符合人类的实际（人们通过微弱的纽带与包括数学对象这一类抽象对象的外在世界相连，更多的时候，人们谈论知识就是在谈论人们经验中的知识，在此意义上，人类提出建议，世界付诸实践），但是他却无法将经验主义的规范贯彻到非诠释数学的领域。
最后回到本文开头转述的蒯因对于弗雷格理想的否定。自明的逻辑真理作为算术基础的探寻在蒯因看来之所以是失败的，与蒯因对分析性概念的态度密切相关。如前所述，弗雷格基础主义探究的哲学动机是进一步澄清分析与综合之分，把通过证明由非事实的普遍逻辑真理或定义得到辩护的数学真视为分析性的，并且在《算术基础》结尾部分还认为他在这一点上推进了康德的研究。 蒯因在《经验论的两个教条》中虽然直接针对的是卡尔纳普的分析与综合之分，但就以奠基于非事实与事实来区分分析与综合而言，他的这种批判也可以针对弗雷格的分析与综合之分。蒯因否定奠基于非事实的分析的真的存在，最终目的是得出他的整体论的经验主义。克里斯托弗·皮卡克（Christopher Peacocke）指出，蒯因拒斥分析性与他的整体论、可错论相关联，而他的整体论是刺激意义（stimuli?meaning）的整体论。如前所引的《真之追求》中的观点所显示的，在蒯因那里，可以说感官刺激才是所有知识的基础。皮卡克指出，刺激意义并不必然具有一般的意义同一性。比如，对一个严重散光的人来说，“那条线是直的”的刺激意义将与他视力更好的朋友不同，但是这个句子在两种情况下都有同样的意义。
（1．大连海事大学智能科学与技术系，辽宁大连116000：
2．国网辽宁省电力有限公司大连供电公司，辽宁大连116000）
摘要：结合fMRI数据处理方法，介绍相关的数学基础，阐述如何完成认知实验及数据处理，实现理论与实践相结合的教学方法。
关键词 ：脑与认知科学；功能磁共振；数据分析方法；基础数学
基金项目：国家自然科学基金项目( 61472()58, 61173035)；新世纪优秀人才计划（NCET-11-0861）。
第一作者简介：刘洪波，男，教授，研究方向为认知计算及大数据，thb@dlmu．edu．cn。
1 背景
脑与认知科学课程是智能科学与技术专业的主干课，涉及心理学、神经科学、计算机科学与技术等，学习这门课程不仅能启发智能系统设计模式，更有利于脑机接口、生物医学等方面的应用。在这门课程的教学过程中，容易忽略其中的数学基础。特别的，随着fMRI、EEG等无损影像技术的发展，如何利用其中的影像数据提取其中的丰富信息已成为人们关注的焦点，而其中的数学基础起到重要的作用。
fMRI成像是20世纪90年代初出现的研究工具，其原理是基于血氧水平依赖(blood oxygenation level dependent，BOLD)信号。由于大脑在活动期间，血流变化很小，在1.5T的磁场强度下，灰质发生的血液动力学信号变化通常为2%～5%，而且还受呼吸、心跳等生理活动的影响。因此，fMRI数据集是受到系统噪声影响的时间序列数据集。由于是观测型数据，这就需要借助合理数学的方式来进行处理，所以在脑与认知科学的课程中需要强化这方面的基础。
2 数学基础
2.1 相关分析
相关分析法是一种简单的用于分析脑功能连接的方法。它是通过计算基于感兴趣区(ROI)间的Pearson相关系数得到以ROI为节点的边的强度。当相关系数达到某一阈值时，就认为这两个脑区之间存在功能连接。
2.2 广义线性模型
Friston提出的统计学参数映射方法(statistical parametric mapping，SPM)6-8]是一种有效提取脑激活区且具有鲁棒性的方法。该方法本质上是利用广义线性模型( general linear model，GLM)克服系统误差。GLM的模型假设如式(2)所示。
式中：Y表示待分析的fMRI信号；X表示设计好的参考矩阵；β表示待估计的参数；ε表示误差。
β的估计根据度量准则的不同而不同。特别的，当度量准则为欧式距离时，β的无偏估计量可由式(3)完成对β的估计后，就可以利用t检验对得到的线性模型进行逐像素的分析，并以此给出大脑激活图像。
2.3 独立成分分析
独立成分分析( independent component anal-ysis，ICA)是一种无监督的学习方法。该方法首先由McKeown[9-10]应用于fMRI数据集中。ICA假设为观测信号是由源信号经过未知的线性规则叠加而成。考虑一个M维观测向量X= (x1，X2，…，XM)T，则ICA的模型假设可由式(4)表示。
X=AS (4)
式中：S=(s1，s2…，，SN)T表示N维源向量；A表示未知的线性混合矩阵，通常来说M≥N，且A为满秩。
独立成分的目的就是估计一个解混矩阵WN×M，使得由式(5)得到的Y接近真实源信号S。易见式(5)等价于式(4)。
Y= WX (5)
因此ICA又可以被归为优化问题，目前主要求解方法分为不动点（fix-point）算法和自适应。
ICA的自适应算法也称作基于梯度的自适应算法，可以通过优化判据对待估参数进行逐步优化，最终得到稳定的输出结果。其中一种优化判据是基于Infomax准则的优化判据，它可以写为
式中：gi(yi)表示一个合适的非线性函数；ri＝gi（Yi）；H(x)是输入信号的熵，它与W的选择无关与Informax等梯度算法相比，固定点算法对待独立成分的处理方式则不同。固定点算法一般分为两步：第一步先把每个观测分量Xk白化为Zk；第二步则寻求Zk的最优投影方向。
固定点算法首先由式(4)和式(5)可知，y= WAS=VS。若假定S=（S1，S2，…，SN）T的各分量同分布且为非高斯的，则根据中心极限定理可知，yj比每个si更加接近高斯分布。当且仅当yi=Sk，k={1，2，…，N}时，Yi的非高斯性最大。而衡量非高斯性的理想度量即负熵，负熵的定义如式(7)所示，由Edgeworth级数展开，得到由高阶统计量近似表示的形式(8)。其中Z的每个分量由X零均值切方差归一，即经过白化后的矩阵Z=（Z1，Z2…，ZN）T。k4为高阶统计量，
3 教学实践
上述介绍几种比较常用的基于fMRI的数据分析方法，这些方法不仅可以用于构建大脑功能网络，也可以用于考察脑激活与外界刺激的联系。其中，相关分析作为一种朴素的统计方法，由于fMRI自身信噪比不佳，若直接应用于fMRI信号分析，效果相对一般。但是一些配合小波分析等其他特征提取方法，依然可以取得相对理想的效果。目前主要用于静息态数据的分析，应用工具包包括rest、dparsf等。广义线性模型的应用则比较广泛，并且SPM自身的功能也比较完善，可以作为多种分析策略的特征提取手段。独立成分分析则是一种较新的分析方法，与前两个模型一样也有相应的软件实现，如GIFT、MICA等。其实验结果的生理学含义有待于进一步验证。
3.1 基于E-prime的脑与认知科学实验设计
E-Prime软件是由美国PST( PsychologySoftware Tools，Inc．)公司开发的一套针对心理与行为科学研究的实验设计、生成和运行软件，以其易学易用、计时精度高等特点在国内外心理学界得到了广泛应用，已经成为全球通用的标准化认知心理实验生成系统。在学生学习了脑与认知科学相关理论并具备基础的数据库相关知识之后向学生传授如何利用E-Prime软件编制脑与认知科学实验程序，具有很强的实践性。本实验以上机编程操作为主，首先练习利用E-Prime软件在GUI界面下开发一个脑与认知科学实验程序，然后练习如何利用E-Basic语言编写脚本实验程序以实现GUI环境下难以实现的部分实验功能，最后采用E-Prime软件行为数据分析模块练习行为数据的统计与分析。经过本实验的训练后，学生熟练地掌握了脑与认知科学实验设计的方法，更深入地领会脑与认知科学研究方法的底层逻辑。
实验目的在于训练学生利用E-Prime软件开发脑与科学实验程序，以提高其从事脑科学与认知科学领域研究的能力。实验教学中鼓励学生自主设计实验程序，以达到提高实验程序开发技巧、培养动手能力及科研能力的目的。此外，还要注意不断深化和扩展教学内容，注意向学生介绍近年来出现的新的实验范式及如何利用E-Prime编程实现，以加强本实验课对于学生以后从事脑科学与认知科学研究的实用性。
3.2 基于SPM的脑功能成像数据分析实验
SPM是由英国神经科学领域、统计领域、图像处理领域的科学家Friston等人在通用数学软件包Matlab上开发的软件系统，具有非常强大的统计功能。SPM指的是统计参数图像，也就是这个软件的最终输出。它对所有成像数据的每一个体素点都分别计算，得出包含有每个体素点参数值的图像，这个参数图像是许多单次扫描图像所包含信息的精简和压缩。目前SPM通用的版本为SPM8，以前的版本主要有SPM94、SPM96、PM99、SPM2和SPM5，它们在进行脑功能图像初步分析方面基本是一致的。SPM对脑功能成像数据的处理包括预处理、建模和统计推论三个步骤。
实验分为两步，首先让学生参加fMRI实验，每人完成一个简短的脑与认知实验程序并采集个人的功能成像数据，然后上机基于SPM系统分析自己的脑成像数据，最终获取个人在进行认知任务时大脑的激活示意图。经过本实验的训练后，学生掌握了脑功能成像数据分析处理的思路和方法，在成功获得了自己进行认知任务时大脑的活动模式后极大激发了他们对于脑科学与认知科学研究的兴趣。在教学过程中注意介绍基于脑功能成像技术的脑与认知科学研究的最新成果，以及脑功能成像技术的最新进展，实验中详细介绍SPM处理数据每一步的目的和原理，加强学生对于脑功能成像技术和功能数据分析处理的理解，从而提高其从事脑功能成像领域研究的能力。
3.3 基于Matlab的脑功能连通模式构建实验
Matlab是由美国Mathworks公司的主要面对科学计算、可视化以及交互式程序设计的高科技计算环境，它将数值分析、矩阵计算、科学数据可视化以及非线性动态系统的建模和仿真等诸多强大功能集成在一个易于使用的视窗环境中，为科学研究、工程设计以及必须进行有效数值计算的众多科学领域提供了一种全面的解决方案，并在很大程度上摆脱了传统非交互式程序设计语言（如C、Fortran）的编辑模式，在医学图像分析处理领域得到了广泛应用。实际上SPM系统就是基于Matlab平台的程序包，本实验不依赖SPM系统，基于预处理完成后的脑功能成像数据和Matlab编程平台，采用相关分析方法分析大脑激活区活动的关联模式。
当前的脑功能成像研究已经不像以前那样着重于脑区功能定位，即单纯确定哪些脑区参与了研究任务，现在大都从整体和动态角度研究任务过程中参与的脑区以及脑区间的反应模式和时空关系，并建立脑内信息加工的相关网络与模型。基于相关分析的功能连接分析是近期兴起的一种脑功能成像分析技术，即分析脑区间的相互作用和协同竞争的关系，在获得感兴趣区和脑激活图的基础上，进行了功能连接分析。实验首先对成像数据进行预处理，目的是尽可能地消除个体差异，并把所有被试的数据统一到一个标准下测量，预处理过程和SPM处理是一致的；其次基于SPM处理结果，确定大脑感兴趣区中t值最强点以及它所在的簇，所谓的簇是指以t值最强点为中心的27个体素；第三，根据体素点坐标位置提取信号值，即提取t值最强点所在的簇27个体素信号的平均值；第四，采用相关分析方法，感兴趣区信号值之间两两求相关系数，即得感兴趣区之间的有效性连接程度。
本实验对于Matlab编程基础要求较高，因此实验分段进行，先练习基础变量的设置和计算，然后练习几个主要函数（如fopen、fseek、fread和corrcoef等）的分析处理功能，最后整合成完整的程序。数据分析完成后，鼓励学生发挥想象力，构画脑功能连通模式图。通过本实验，学生掌握了Matlab处理脑功能成像数据的基本原理和方法，进一步加强了其在脑功能成像领域进行研究的能力。
4 结语
脑与认知科学课程中的数学基础强化与实践，在智能科学与技术专业课程体系中具有重要作用，学生需要这些知识作为专业基础，掌握其基本知识、基本理论、基本方法及基本技能，还需要注重思维能力的培养。但是对于以计算机科学为基础的智能科学与技术专业本科生来说，脑与认知科学有专业跨度，比较难掌握。发挥理工科的数学与计算优势，结合实验及数据处理、获取第一手的具体实践的教学方式方法值得我们去研究和探索。我们在数学基础、课程教学与实践及专业特色的基础上，阐述强化理论基础、实验创新教学实践相结合的观点；根据大连海事大学智能科学与技术专业2012级和2013级的教学实际，探索新的教学方法，不断提高教师自身的素质和专业能力，注重学生理论学习和实践能力的培养，为国家和社会培养出更多基础扎实的创新性人才。
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制作教具的作用
学习正弦函数的图像时，首先根据正弦函数的解析式，
列表将单位圆十二等分，以为横坐标，再以这些角对应的正弦值为纵坐标列表，而实际上以正弦线来表示改角的正弦值更为精确。但事实上是，如何将自变量弧度和它对应的正弦值M1P1表示在横坐标和纵坐标上？最精确的做法就是做一个单位圆模型，用厚一点的纸箱皮做，在单位圆的外侧粘双面胶，同时用一些有铝丝的塑料彩纸条（容易固定）固定在如图所示的M1P1，M2P2等的位置，下面以（0，0）为起始点开始转单位圆的圆盘，此时点M与坐标系的坐标原点重合，当圆盘上的双面胶粘在x轴上，到M1的位置时，此时，彩纸条M1P1正好垂直于x轴，此时确立第一个点P1点，其横坐标为圆弧MM1的长，纵坐标为彩纸条M1P1的长，这样做，保留了在确立角和对应的正弦值的最真实（相对）的数据。依次确立其他各点，注意，在确立其他各点的过程中，当角大于π时，将双面胶上的塑料彩纸条粘在单位圆的外侧边上，并放在圆盘背面，这样展开的时候这些彩纸条会落在坐标系中x轴的下方。展开之后，依次描点连线，则正弦函数在一个周期内的图像就呈现出来了。
引导学生继续思考，如果角大于2π或角小于0，此时的图像是什么情况，学生自然想到只需继续转动圆盘，图像就呈现出来，紧接着，就可总结出正弦函数图像的周期性，通过圆盘演示，学生观察到了正弦函数最大的特征――周期性。
笔者在教学过程中，使用该教具教学，形象直观，易于理解。对比其他的画图法，如独立的确定横纵坐标：先将横坐标0：2π分12等分，确立横坐标，然后在单位圆中平行移动M1P1与对应，M1P1即为横坐标为时对应的纵坐标，依次再确立其他各个点。这种方法不管是老师在黑板上手工操作还是用电脑几何画板演示，笔者认为都没有用教具来的直观、清晰、明了。
在学习圆锥曲线时，椭圆和双曲线轨迹的形成过程中，使用教具讲解，形象直观。在一根绳子的两端分别系一个吸顶器（小），操作中，将两个吸顶器分别固定在黑板上，然后用粉笔将绳子拉直在黑板上画线，观察曲线的形状（交给学生操作）。再调整两吸顶器之间的距离再画曲线，观察两吸顶器之间的距离和所画出的椭圆的形状之间的关系。并将两吸顶器之间的距离达到最大观察此时能不能画出图像，再将两吸顶器重合，观察画出来的图像。操作完之后，动点的轨迹（粉笔运行的轨迹）即椭圆的定义清晰明了，同学们就能快速总结出来。且通过实践操作什么时候形成椭圆、圆、线段，图像不存在，也能直观的看到。课下还可以把教具留给课堂没有机会画的同学体会。同样，在学习双曲线的定义时，也是使用类似的教具，教学效果好，学生理解透彻。当然这需要教具做到位，演示具体清晰。反之，若教具做的不精致，操作不到位，草草演示完了，学生仍然云里雾里，不知所云，更不要谈学习的效率了。所以，教学效果要好，教具制作一定要到位。
自己动手做教具
在学习立体几何时，很多同学因为缺乏空间想象能力而无法将该部分内容学好，“缺乏空间想象”这是天生的，无法改变，但学生们可以通过后天的努力积极改变――制作立体几何教具，观察教具，复杂的点、线、面的关系一目了然，抽象的想象变得清晰可见。在一开始接触立体几何，讲空间几何体时，便要求学生自己制作教具，如柱体、椎体等;在学生制作的过程中，这些几何体的模型深深映在学生的脑海中;在以后的学习中遇到该几何体时，这些模型很快就浮现在脑海中，帮助学生解题。除了学生自己制作教具，学生还需要随时观察生活中的几何模型。
知识点的迁移
一、数学分析、高等代数、解析几何的课程特点
数学分析的基本方法是极限的方法，即通过局部微小的变化来研究整体的性质。这种分析方法的分析?^程和理论都是比较抽象的，因此学生理解和掌握相关知识点的难比较大。数学分析的主要内容包含实数集合、数列极限、函数极限、函数连续、函数的微分与导数、不定积分、定积分、级数理论和傅里叶级数等。不管是一元函数还是多元函数，极限的方法都起到了关键的作用。解析几何比较直观，用代数的方法来研究几何，将抽象的几何结构代数化与数量化，构建出新的运算方法。解析几何的基础是利用向量与坐标为工具，去探讨空间直线与平面、建立特殊的曲面方程、构建二次曲线的一般理论。解析几何的主要内容包含向量的性质与坐标、平面与空间曲线的方程、曲面方程、平面与空间直线以及点的位置关系、特殊的二次曲面和二次曲线的一般理论。高等代数的特点是逻辑鲜明，层次结构清晰，深刻的等价分类。高等代数的主要内容包含多项式、行列式、线性方程组、矩阵、二次型、线性空间、线性变换、矩阵、欧几里得空间、双线性空间与辛空间等。这三门课程各有各的特点，但很多知识点相互关联和渗透。掌握好这三门课程相应的知识与内容是建立较为严密的数学思维的必要过程。数学分析、高等代数、解析几何这三门课程的掌握程度，决定了学生学习后续课程的学习效果和掌握程度。因此，这三门基础课程对数学专业的学生而言非常重要。很多学校也会把这三门课程作为研究生入学考试的专业课的主体。为此，这三门基础课程的教学效果对数学专业的学生和教师都非常重要。
二、数学专业学生的现状
1.国家自1999年实行普通高等学校扩招政策后，一方面各高校均面临着学生规模迅速扩大，学生素质参差不齐，生源总体差异显著加大，很多教师觉得学生一年比一年难教；另一方面，很多学生仍沿用高中阶段的学习方法和习惯，习惯于在教师的监督下学习，学习的自主性还不够强。而大学每次数学课的教学内容和信息量都是非常大的，教师授课的速度要远大于高中的授课速度，导致很多学生不能适应大学的这种教学模式。同时，有些学生也会对于上课时没理解透彻的地方，课后也不去及时复习巩固，导致“前学后忘”。以上这些因素的存在在很大程度上导致一些学生听课困难，课后作业靠参考习题解答或者其他同学的答案。在这种局面的影响下，大部分学生只希望考试通过就好，而忽略了这门课程本身的意义和对今后自身的发展与影响。
2.很多数学生上了大学后，没有了“高考”的目标，感觉很迷茫，对自己的大学生涯没有一个清晰的规划。不知道自己现在要干什么，将来要做什么。很少有学生去了解自己的专业培养方案和了解自己的专业结构。这样情形的存在，使得大多数学生觉得上课的目的就是为了考试，而不是为了培养自己的专业能力与素养，更不要说对自己的大学生涯做出合理的规划。
3.目前高校数学教育专业课程设置与数学教师专业化要求严重不符，主要表现在：数学课程设置模式变化缺乏科学的指导思想；高等数学知识与中小学数学教学需要严重脱节；课程设置缺乏实效性。为此，我们应改革当前培养模式；按照客观性准则，完善当前课程结构，建立全新的课程体系；高师课程数学知识应由“学术形态”转变为“教育形态”。高校数学教育专业在培养目标、课程体系、课程内容等方面进行了一系列改革，但改革的深度和速度仍滞后于基础教育改革和发展的需求，具体表现为：培养目标和课程体系仍以数学学科的建设为主体，过分追求本专业课程的纵向发展而忽视了学科之间的横向联系与学科之间的融合，孤立片面地去对待单一的学科；重视专业知识教育忽视教育理论、技能及人文素质教育，而不是用辩证的思维来对待课程的设置；课程内容方面，数学类课程的设置与中学教学需求脱节，忽略了中学教学的实际情况；20世纪以来有关数学研究的新成果又未被引入进课程，与社会发展、科技进步和基础教育需要出现了严重的脱节，课程结构方面不尽合理。首先，通识类课程设置旧而少，培养出来的学生文化涵养不高。其次，数学专业课程设置多而泛，过于注重理论知识和解题技能的传授，忽视了学生学习能力、研究能力和实践能力的培养；最后，教育类课程设置不足，且教育实践环节短缺，卓越化培养程度不够。
三、改革措施――优化教师的知识结构和提高学生的学习兴趣
在实际的教学过程中，各个高校必须进一步优化教师的知识结构和提高其课堂教学质量。教师在讲授数学分析、高等代数、解析几何这三门课程的过程中，很难将三门课程当成一个有机的整体来对待。这些导致数学课程中很多内容不断以不同的形式出现或者重复，例如：直线将平面分成两部分，解析几何中可以用离差的来表述，数学分析中可以用夹角的余弦来表示；解析几何中的曲面可以和数学分析中隐函数对应起来；数学分析中隐函数组的偏导数可以和高等代数的克莱姆法则结合起来。这些例子告诉教师不能片面孤立地去对待这些基础课程，而是要当成一个有机的整体去讲述这些课程。这就要求教师的知识结构进行一定的优化和强化。此外，由于各个高校数学教材使用的年限比较久，没有针对时代的发展而进行教材的改革，使得数学的教学内容枯燥乏味，例子与现实实际差距也比较大，很难做到不同学科内容之间的相互融合与关联。因此，选取合适的教材，在数学教学中也比较关键。
提高学生的学习兴趣，不但要求教师将这门基础课当成一个整体来对待，学生在学习的过程中也要将这三门课程当成一个有机的整体来学习。对于数学教育专业的教学，应该采取多学科融合关联的教学理念，提高学生的学习兴趣、自学能力和专业技能。同时也要提高教师本身的教学质量和方法教师的教学方法。所谓多学科融合关联，首先是多门数学学科之间的某些知识点是共同的，但是表述方式不一样，本质内容是一样的。但是在教师教学和学生学习的过程中会忽略知识或内容之间的融合与关联程度，孤立地对待单一学科的内容，这样使得教学内容更加乏味和枯燥。在大学本科阶段，解析几何、高等代数、数学分析和复变函数等课程有很多内容是相互关联的。在实际的教学中，如果能将相关内容合理地串联起来，不仅可以丰富教学内容和活跃课堂气氛，还可以提高学生的学习兴趣和加深其对于知识的理解程度，巩固其所学的知识。
要做到多学科融合关联，就要求各高校教师在实际的教学过程中必须注重不同学科里相关概念的理解与把握。这主要是因为概念是思维的细胞。数学思维是通过抽象的数学概念来运作的。数学思维的基本方式是推理、判断；推理、判断的结果是一系列的数学定理、命题、法则和公式。而这些数学知识所揭示的不外是数学概念之间的联系与关系。因此，某种意义上说来，数学是把握概念的精神运动。数学教学理应以概念为本，培养学生的理性思维品质和理性精神。然而，传统数学教学有重计算轻概念，只重视算法数学，忽视思辨数学的倾向。特别是在教材厚、课时少的情况下，有的教师会对概念教学蜻蜓点水。这样的教学，很难深入到数学的思想方法层面中去。因此，必须探究数学概念的教学，将不同学科对于同一原理或本质表述出来的概念加以充分理解，寻找本质，加深对相关定理和概念的理解。这样学生在之后的学习和应用过程中，才能做到举一反三，用辩证的思维去思考问题。
摘 要：素质教育的不断深入发展使得人们越来越重视学科素养，传统的只注重知识传授的初中数学教育方式已经无法培养出21世纪真正所需的人才。因此，在实际的教学过程中，数学教师要注意优化自己的教法，使所有学生能够意识到自己的主体地位，开展主动的学习活动，提升自己的数学素养，为每个学生的未来发展打下坚实的基础。
关键词：初中；数学；学科素养；教学策略
数学学科素养是指初中生既有丰富的数学知识，又能在学习活动中掌握科学的学习方式，还能够对他们所习得的知识了解得更加深刻，学会举一反三，了解数学的意义。数学在人们的生产生活中占据着重要的地位，随着信息技术的普及与发展，数学在人们生活生产中的地位愈加重要，它对推动社会进步、科技发展等都有重要意义。除此之外，数学也是初中生学好物理、化学等学科的基础。因此，教师必须要改变“老师讲，学生听；老师问，学生答”的被动教学方法，培养初中生的数学学科素养，使其掌握在生活中运用数学知识的能力。下面，笔者从培养初中生的探究思维、指导学生掌握科学的学习方式、加深学生的情感认知三个方面，讨论教师如何培养初中生的数学学科素养。
一、培养初中生的探究思维
数学家华罗庚曾经说过：“科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于思考的人，给那些具有锲而不舍的精神的人，而不会给懒汉。”因此，在教学活动中，教师应注意培养学生的探究思维，使其学会主动思考，以数学家的思维方式来学习数学。这并不只是为了让初中生在未来进入数学研究领域工作，而是为了让初中生养成勤于思考、勤于动手、爱学好问的好习惯。在《圆的有关性质》一课中，我利用圆规在黑板上画了一个圆，并让学生观察画图过程，总结圆的定义，系统学习圆心、半径等知识。然后，我问学生：“除了圆上的点到圆心的距离是一致的，还有其他的点与圆心的距离一致吗？”有的学生想了想，说：“没有。”然后，我让他们再亲自动手，探究这个问题的结论是否正确。
二、掌握科学的学习方法
数学学科具有抽象性、思维性，要想学好数学，单纯依赖死记硬背是不行的，学生必须要掌握科学的学习方法，才能够灵活应对任何数学问题。由于很多教师的教学意识不够先进，他们还没有转变以中考为指向标的教学意识，从而过于重视初中生的数学成绩，反而忽视了培养初中生的数学思维，忽视了学习方法的重要性。这就导致很多学生只会做某道数学题，但凡这个题目往更深层次发展，或稍加变动，就会让初中生束手无策。尤其是初三学生直接面临中考，因此他们的学习时间非常紧张，学习任务很重，导致他们在学习数学的过程中感到十分压抑。因此，教师必须要把数学教学的基点放在如何培养初中生的学科素养上，使其掌握学习数学的科学方法，在提高他们数学知识与能力的同时，减轻他们的负担。在《点和圆、直线和圆的位置关系》一课中，我指导学生亲自动手，分小组探究点与圆的几种位置关系。每个学生都需要在小组内发言，将他们亲自动手测量的结论在小组内进行阐述，然后，小组内部要将所有的结论进行整合，从而总结探究出“圆内的点到圆心的距离小于半径，圆外的点到圆心的距离大于半径，圆上的点到圆心的距离等于半径”这个数学结论。每个区域的点到圆心的距离都可被认为是一个集合，这可以使学生初步掌握圆与一个集合之间的关系。然后，我让学生展开直线和圆的位置关系的自学活动，让学生如法炮制，学会学习，初步树立空间意识，掌握数形结合等相关数学思想方法。
三、加深学生的情感认知
初中生的思维活动以形象思维为主，数学学科强调的是抽象思维与逻辑思S，这就为初中生深入理解数学知识增加了难度。然而，数学知识来源于生活，是从生活中的具体事例中抽象出来的具有概括性的知识，因此，教师便可以利用生活中的数学元素，帮助他们顺利完成感性认识到理性认知的转变，加深他们对数学知识的认知程度。在学“圆”的相关知识的时候，我让学生指出圆在生活中应用的实际例子。学生指出车轮、自来水管、奥运五环等。在将这些实际例子的特点总结出来之后，展开探究，便可以帮助他们理解圆的概念、性质等抽象的数学知识。
总之，素质教育强调的是学生的主动探究、学习态度、学习品质等多方面的发展。因此，教师应该把教学重心放在培养初中生的数学学科素养方面。教师要注意培养初中生的探究意识，使其学会主动思考，提高他们质疑与解决问题的能力；教师要帮助初中生掌握科学的学习方式，使他们能够做到举一反三，减轻教师的教学负担；教师要利用生活中的数学元素，加深学生的情感认知，使其对数学在生活中的应用的感触更深，从而形成良好的数学品质。
参考文献：
关键词：独立学院 高等数学 数学建模 数学实验
1 独立学院现状
近些年来，独立学院发展迅速，它以培养社会需求的服务型、复合型应用人才为目标。目前独立学院的发展已由学生的数量问题转化为学生质量问题。因此，要创办独立学院品牌，确保独立学院健康稳定的可持续发展，主要体现在教学质量上，而基础课则首当其冲，数学课程（高等数学、微积分、线性代数、概率论与数理统计）作为大学公共基础课中最重要主干课程之一，是学生后期学习专业课的重要基础课，只有真正提高独立学院数学课程的教学质量，才能有力保证其他相关课程教学质量的提高。
目前，独立学院高等数学教师的授课仍以传统的讲授为主，理论联系实际得不够。学生动手动脑开展得很少，计算机和多媒体的运用不够。而且现在很多独立院校的教材采用的都是母体院校或二本类大学同类教材，不适用于该校学生，数学的作用与应用介绍说明得不多，例子较少。数学素质教育渗透实施地少，导致学生对数学的认识有偏差。同时，学生数学基础参差不齐，独立学院学生高考数学成绩相差90分的情况普遍存在。对所有学生实行“一刀切”教学，即统一的课程内容和要求，严重制约了学生的兴趣，同时也影响了课堂的教学效果。这就使得同步教学的模式已完全不能满足学生的这些不同需求，制约了学生综合素质的进一步提高。
2 独立学院基础数学教学模式的创新
为了确保独立学院的教学质量，满足不同层次学生的利益，在独立学院数学课程学时减少的情况下，必须对数学课程的教学模式和内容体系进行创新性改革，打破统一的教学模式。
2.1 对高等数学实行分级教学 为了减轻教师组织的负担，同时考虑到学生毕业后的职业目标的不同，在高等数学课程教学中实行分级教学，对不同层次的学生采用不同的教学模式，能够从总体上提高独立学院大学数学的教学质量。
2.2 转变教学思想和教学观念，调整教学手段 对独立学院的学生来讲并不需要很强的严谨性和逻辑性，他们更需要的是创新性和分析解决问题的能力。因此针对独立学院数学课程学时减少的情况下，我们在教学中应该转变教学思想和教学观念，调整教学手段，以应用为目的，以够用为尺度，把培养学生应用高等数学解决实际问题的能力与素质放在首位。注意传授数学思想，培养学生的创造性思维习惯，提高学生分析问题、解决问题的能力。
2.3 借助软件开展实验教学，将数学建模融入到大学数学的教学中 独立学院的学生虽理论基础较差，但思想活跃、个性鲜明、动手能力较强，对一些实用性课程、专题讲座、技能比赛等反映出极大的兴趣。因此适当减少理论课时，增加数学实验课程，可以提高学生的学习效率和分析解决问题的能力。而数学建模是数学联系实际问题的桥梁，是数学知识与应用能力共同提高的最佳结合点。根据教学的需要，我们建议在高等数学和线性代数教学中使用MATLAB软件，在概率论与数理统计教学中使用MATLAB和SPSS软件。同时，利用数学模型选修课和每年的全国大学生数学建模竞赛活动加强对学生建立数学模型并利用计算机分析处理实际问题的能力的培养和训练。这样可以使学生真正感觉到数学的应用价值和趣味性，从而激发学生学习数学的积极性。
2.4 完善教材与课程建设 针对独立学院特点，编写适合自己学生特点的教材及相应的教学辅助材料，重点突出数学思想、数学方法的形成和应用，淡化理论和解题技巧，多增加些现代数学知识的介绍及与各专业学科的联系应用。
2.5 加强课外学习平台的建设 构建多元化学习环境，满足学生不同层次的学习需要。如全院性的高等数学内容讲座和每天的辅导答疑值班，为学生随时提供良好的学习条件和机会。学生可以利用学校的网上教学平台、高等数学精品课学习网站以及老师们自建的各种网络平台学习不同层次的知识和内容。
3 结束语
总之，为了确保独立学院的教学质量，满足不同层次学生的利益，在独立学院数学课程学时减少的情况下，必须对数学课程的教学模式和内容体系进行创新性改革，打破统一的教学模式。采用“人才需求为目标”的新型分级教学模式，通过有效地整合数学课程的教学内容，改革教学方法，引进现代化的教学手段和技术，学用结合，同时把数学建模的思想引入数学课程的教学中，把数学应用的案例有机的与基础数学的教学内容结合起来，使学生能够实实在在的感受到数学的用途和数学在解决科学问题中所发挥的威力，有效的提高学生的数学素养和创新能力。同时也改变教师的教学观念，丰富教师的教学手段，培养具备高数学素质的创新性人才。
参考文献：
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新疆高师数学教育专业除继续开设传统的心理学、教育学和数学教学法课程外，还应增设突出教师职业技能的课程.比如中学数学课堂教学基本技能训练、中学数学教学策略、说课与评课、教学组织与管理、数学课件制作、中学数学新课标解读、中学数学研究型课程教学设计、数学考试与评价等，这些课程体现了师范特色，能提高学生适应中学数学新课程改革的能力，增强就业竞争力.调查列举了二十多种加强实习（实训）与实践教学的措施，供调查对象进行多项选择.有90%以上的师生认为，到中学去观摩教学、请中学教学专家作报告、聘请中学教学名师或教坛新星进行示范教学、大学期间熟悉中学数学教材、加强微格训练等都是提高学生实践教学能力的主要措施。绝大部分学生和院系领导认为目前的教学虽然重视数学学科的完整性，但是却忽视了数学学科与其他学科之间的交叉渗透及与学习者的有机结合，与知识应用的衔接；教学方法缺乏灵活性，教学手段滞后，缺乏对学生的学习方法指导；忽视了数学思想方法的渗透以及数学教育的文化价值和德育功能；课程教学模式没有体现出针对少数民族学生的差异性.
访谈结果与分析
调查采用面谈与网络函询的方式，征求了6位院系领导的意见和建议.多数领导认为目前新疆高师数学专业课程设置不够合理，建议增开中学数学课堂教学基本技能训练、中学数学典型案例分析与中学数学教学设计等课程，以加强对学生师范技能的训练.同时，要根据中学数学新课程改革的要求，修订新疆各高师院校数学教育专业的突出师范性要求的人才培养方案.建议各学校成立由分管教学的院长、院系分管教学的领导、地方教育局局长和民族中学校长及教导主任组成双语教师教育指导委员会，以完善实习环节，改革实习方式，加强实习管理.采用“请进来”与“走出去”、举办师范生技能大赛、高校与中学数学教师合作进行开发研究等方式，切实提高实践教学效果.对教育实习的时间安排及形式，他们认为实习支教的形式虽好，但管理不到位；分散实习效果最差，应取消分散实习.十五位民族中学校长及教导主任对数学教育专业毕业生的教学能力总体感到满意，但也尖锐地指出，今后高师数学教育专业的课程设置应更加突出师范性，教学的重点应立足于培养学生的教学技能，让学生及早熟悉中学数学新课改教材的教法，以便学生毕业后能马上胜任中学数学教学工作.
关键词：基础数学；动态教学；教学效果
中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）39-0059-03
一、基础数学教学过程中的问题分析
数学不仅是各学科基础，更是人才素质的重要组成部分。数学类专业包括：数学与应用数学、信息与计算科学，统计学（现在是单独学科），其中基础数学课程主要包括：数学分析、高等代数、空间解析几何、常微分方程、复变函数、概率论、数理统计，近世代数等等；非数学类专业的基础数学课程主要包括：高等数学、线性代数、概率统计。数学在人才培养过程中的重要性是不言而喻的，作为基础数学课程的教学，如何适应高等教育大众化，不仅是基础数学课程教师要考虑的问题，更是各高校需要认真考虑并加以解决的问题。关于这方面的问题，各高校都有各自的矛盾和解决办法。总体来说各高校存在的普遍问题是：基础数学课程的教师比较紧缺，青年教师偏多，且以大班上课为主。另外，有的老师除了承担基础数学课程的教学任务外，还承担有专业课程的教学任务，使得部分教师课头多，教学任务重等各种因素，导致教学质量有所下降。由于基础数学课程是相关学科专业的重要基础课程，具有高度的基础性、抽象性、严密性、逻辑推理性等等，又有广泛的应用性，所以在基础数学课程的授课过程中主要以板书授课的形式为主，边讲边推理。基础数学课程的教学内容具有完整性，前后章节联系都比较密切，一环扣一环，所以每一次课讲得好坏都会影响到后面的教学效果，甚至打乱后面教学计划的执行。这也是我们在教学过程中经常遇到的问题。在基础数学课程的课堂教学过程中每一次的教学效果如何，部分教师很少考虑，有时根本不去考虑，等到布置作业后，通过学生做作业的情况，才会发现教学效果的情况。如果学生作业做得比较好，说明这次教学效果比较好；如果做得差，说明这次教学效果不理想，教学效果差，即使是这种情况，少数教师还认为是学生不好好学，很少反省自己的教学过程存在哪些问题。如果教师的作业比较多，不能及时地批改出来，通过作业暴露的问题往往就不能及时地纠正，导致问题的积累越来越多，必然会影响后面的教学。教学过程中暴露的问题还有很多，而暴露的这些问题通常都是在课后才发现的，有的甚至在课程结束后才发现教学有问题，由于受课时的限制很难进行补救。如果我们在讲课前对教学内容、方法和教学手段的效果进行预测，在教学效果预测的基础上，根据教学内容认真备课，安排好每一个教学环节；对教学效果在授课课前进行预测，把事后变为事前预测，这就是我们本文要探讨的基础数学课程的动态教学模式与课堂效果评价问题。
二、基础数学课程动态教学模式与教学效果预测
由于基础数学课程分前后内容联系都非常密切，甚至几次课的内容都是整体的一部分，所以，我们在授课的过程中不能孤立地去看待每一次的教学内容，而要考虑前后内容的衔接。以高等数学或数学分析为例，教材一般为上下两册，通常为两个学期或三个学期。高等数学或数学分析课程下册的无穷级数要用到上册数列极限的有关内容；下册的重积分、曲线与曲面积分、傅立叶级数等等要用到上册的定积分等等；导数的定义实际上就是极限问题；多元函数的许多性质是一元函数的推广，但又要注意其不同于区别。所以，我们在备课、讲课的过程中，不能只考虑这次课要讲的内容，还要考虑后面教学内容的连贯性。基础数学课程的教学过程可以分为两部分：教学计划，教学实施。根据基础数学课程教学内容，教学计划又分为：教学内容的总体计划，学期计划，月计划，周计划和每次课的计划。教学计划制订好以后，就要对基础数学课程的教学目的和要求进行预测。基础数学课程教学预测大致可以分为：教学内容的总体预测、学期预测、月预测、周预测。在预测的基础上，制订相应的教学目标，做到有的放矢。有了教学预测和教学目标，才能进行教学实施，教学实施主要包括备课、讲课、批改作业等等各环节。显然，对于基础数学课程的教学能否达到预期的教学目标，关键的是教学实施。根据基础数学课程的教学内容和教学特点，我们把教学实施分为以下几个阶段：教学效果预测（包括教学方法，教学手段，甚至例题的选择等等），备课（包括布置作业），授课，批改作业，课堂教学效果评价。教学效果预测是教学实施过程的前提，没有预测，教学过程就没有目标，也就谈不上教学质量；要达到一个什么样的教学目标、教学效果，必须要做到心中有数。有了教学效果预测，在备课时，就会考虑到各种教学方法和手段的可行性，避免失误。这样，一次课下来后，与预期的目标进行比较，如果达到或超过预期的目标，说明这次的教学是成功的，使用的教学方法、手段是可行的，否则，教学有问题，要及时反省，查找原因，下次课及时调整。教学效果评价不仅是自己教学水平的评价，也是提高教学水平的重要手段，更是对自己教学态度评价，同时它也是下次教学效果预测的依据。在教学效果评价的基础上，对下次的教学内容进行预测，并重复上述过程，这样我们就有下面教学实施的循环：
在备课之前，首先要对下次教学内容的教学效果进行预测。我们不仅要考虑下次课要讲哪些内容，还要考虑学生理解和掌握这些内容的情况进行分析、预测，以及教学过程中可能会出现的各种情况都要有充分的估计。对不同的教学内容或同一教学内容中的不同知识点，采用不同的教学方法其教学效果往往是不同的，哪一种教学效果比较好，都要进行分析和预测；如何讲好每一个知识点，如何讲解学生更容易理解、掌握等等，都是备课时需要认真考虑的，真正做到学生是授课过程的主体。教学效果预测要充分考虑学生对老师的愿望，因为老师授课的对象是学生，是教学过程的主导者。在讲课之前学生对老师也有一个期望，最低的要求就是希望老师所讲的内容清楚、能听懂，除此之外还有理解等等方面的要求。如果老师的授课能达到学生的要求，学生认为这位老师的授课水平高，否则就是这位老师授课水平低。但教师授课水平的高低目前没有一个明确的界限，以期末考试的试卷难易程度和学生考试的成绩来反映教师的教学水平也是不科学的，因为试卷的难易程度很难定论，是一个模糊的概念，凭感觉。如何鉴定教师授课水平，一直是困扰教学质量、教学效果评价的难题，为此，我们做了一些的探讨与实践，不一定科学。设x是任课教师对教学效果给出一个预测值，y是学生给任课教师期望值，如果x≥y，说明这位老师可以胜任这门课的教学。否则，这位教师不胜任这门课的教学任务，学生对该教师的评价不会太好的。这就是说老师对自己要高标准，在这种情况下才能发挥教学水平，提高教学效果。一般来说，在授课之前，学生不知道老师的教学效果预测值是多少，学生也不会给老师期望值。如果我们把教学效果的评价定量化，那么，教学效果的评价值可以看成x的函数f（x），当f（x）≥x时，说明这次的教学方法和教学手段应用得当，达到了预期的教学效果和目的；当f（x）
1.老师在上课前根据这次课的教学内容进行备课，并写出本次课的教案，下次上课前再根据要讲的教学内容进行备课，再写出该次课程的教案，也就是讲一次课备一次课的教学内容。这种备课省事，大部分老师都是采取这种方式，有利于上课时对本次课教学内容比较清楚。但不足的是：基础数学课程教学内容的部分完整性差；如果有次课上得不好，失误较大，或者讲得过快，或者讲得过慢，这样就不利于调整教学内容、教学方法、教学手段，灵活性差，会影响后面的教学内容、教学效果等等。
2.老师根据基础数学课程教学内容的部分完整性，备一次课，写几次课的教案，虽然这种备课方法对课堂教学内容的调整有一定的灵活性，一定程度上弥补了上一次课写一次教案的不足，但因时间较长，有时会对教学内容记得不太清楚、生疏，影响教学效果。
为了避免上述备课存在的问题，我们提出了动态的三次备课法：就是每次备课时，备三次课的教学内容，并写三次课的教案：第一次课的教案详写，第二次课的教案可以写得粗一些，第三次课的教案写得更粗一些。如果备课时，备两次课的教学内容，写两次课的教案，若第一次上课时有失误，就要修改第二次课的教学内容，第二次上课时就要弥补第一次造成的失误，这样第二次课的教学内容不一定能完成，也就会影响后面的教学进度，导致后面为了赶进度而影响教学效果。如果备课时，写四次以上课的教案，花在写教案的时间较多，也没有必要。教学实践证明，备课时写三次课的教案是科学的，因为第一次课有失误，在下面的两次课完全可以调整教学内容，不影响后面的教学进度。第一次课上完后，进行教学效果评价，在评价的基础上，调整第二次教案的教学内容，并写出详细的教案，同时修改下次教案，增加一次较粗的教案。如此滚动下去，每次备课都保证有三次详、粗适当的教案。
动态备课法模式：
第一次备课
3.基础数学课程课堂教学效果评价。在前面，我们提到了课堂教学效果评价，它是下一次课堂教学效果预测的前提和基础，是评价课堂教学好坏的主要论据，也是备课时必须考虑的重要因素。虽然影响课堂教学效果的因素很多，有些是不可预测的，但最重要的因素应该是教师。我们知道，基础数学课程的课堂教学以讲课为主，概念、推理、举例等等都是边写边讲，在讲解的过程中速度不能过快，也不能太慢，如果老师讲得好，那么学生喜欢听，注意力集中，效果肯定好；如果老师讲得不好，那么，有的学生会产生厌学等情绪，思想不集中，学生出于课堂纪律的约束，会表现出心不在焉的听课样子。从学生的课堂表现，可以感觉不出来自己讲得是好还是不好，是判断课堂教学效果的依据，但不能就此给自己的教学效果做出正确的评价。如何对自己的教学效果做出正确的评价，评价的依据是什么，目前还没有合理的说法和理论依据。目前大多数的做法是通过学生的考试成绩，学生对老师的打分，以及督导组的老师听课等等来说明老师的教学水平。这种评价看似有道理，但是不全面的。基础数学课程是大面积公共基础课，考试时统一试卷；影响学生考试成绩的因素很多，考题的题量、难易度，生源，专业的要求和培养目标，学风等等，都是影响考试成绩的因素。学生给老师打分也存在许多缺陷和不公正，课堂教学管理严的老师得分不一定高，要求不严的老师可能得分较高；有的学生对老师的评价无所谓，尽量打高一点。督导老师打分往往是表面印象，如果不是同行专家更是如此。所以，最具有说服力的评价是自己给自己评价。如何给出一个合理的自我评价，一直是教师都想搞明白的事，特别是一次课下来后，这次课上得如何等等，都是值得研究的问题。经过多年的教学研究和教学实践说明，学生上课时的情绪、提问以及学生的作业，是反映教师课堂教学效果的主要依据。学生上课时的情绪可以反映教师讲课的激情、语言的表达、内容的安排、概念的讲解、教学手段的使用、教学方法是否恰当等等，所以在上课时一定要注意学生的情绪。课堂提问可以及时了解学生对知识掌握的情况，更能反映老师的教学水平。课堂提问一般分为直接提问和间接提问，直接提问就是请同学站起来回答问题，适应于小班上课；间接提问就是老师在上课过程中提出问题，然后看学生对老师提的问题反映表情来判断学生掌握的情况，这种提问适应于大班上课，最好是直接提问与间接提问并用。作业不仅可以反映学生平时成绩，更能反映教师课堂教学效果的好坏，它是定量反映老师这次课教学效果情况的具体表现。所以布置作业一定要认真，要求学生都是独立完成作业，不要给出参考答案，且作业布置要注意难易程度、题量适度，一个教师教学水平如何从作业上基本上可以反映出来。为了更好地分析课堂教学效果，根据上面的分析可以定量地进行评价自己这次教学效果，即教学效果评价成绩=上课时学生的课堂情绪20%+课堂提问10%+作业70%。上课时学生的课堂情绪成绩和提问成绩根据上课时的表现来给出，作业成绩为批改作业的平均成绩，也可以随机地抽取一定比例的作业平均成绩作为作业成绩。由于我们在上课前对教学效果进行了预测，并给出一个预测值。当预测值≤教学效果评价成绩，说明这次教学是成功的，达到了预期效果；当预测值>教学效果评价成绩，说明这次教学有问题，必须认真查找原因，在下面的教学过程中纠正。这样我们就给出了课堂教学效果的计算公式：课堂教学效果值=课堂教学效果评价―课堂教学效果预测。当课堂教学效果值≥0，说明这次教学是成功的，达到了预期效果；当课堂教学效果值
总之，要保证教学质量，提高教学水平，关键是提高课堂教学效果。作为一名教师首先要加强课堂教学管理，对自己的教学情况要有一个合理的评价，才能不断提高教学水平和能力。如何加强课堂教学管理，并对教学效果进行预测和评价，我们进行了研究并在教学过程中进行探讨，得到了上述的成果，特别是对数学课程的教学有一定的推广价值。
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