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测度论在统计学中的应用优选九篇

时间:2023-09-15 17:13:26

引言:易发表网凭借丰富的文秘实践,为您精心挑选了九篇测度论在统计学中的应用范例。如需获取更多原创内容,可随时联系我们的客服老师。

测度论在统计学中的应用

第1篇

[关键词]应用随机过程;教学改革;教学方法

doi:10.3969/j.issn.1673 - 0194.2016.22.157

[中图分类号]O211.6-4;G642.3 [文献标识码]A [文章编号]1673-0194(2016)22-0-01

随着全社会对应用型人才的需求在不断加大。对于统计学专业的本科生而言,无论选择就业还是继续深造,都应具备利用统计学专业知识解决实际问题的能力。应用随机过程作为概率论的自然延伸,偏向于随机数学的特征。其在各领域,如天气预报、生物中的群体生长、遗传、排队论、人口理论、经济数学等众多领域有广泛的应用。高等院校为了培养社会需求的应用性人才,要努力提高学生的综合素质、增强学生实际解决问题的能力,就教学层面来说,统计学专业的应用随机过程课程建设不容忽视。为此,笔者根据应用随机过程的教学经验,剖析周口师范学院统计学专业应用随机过程教学现状及存在的问题,并提出相关改进对策。

1 应用随机过程的教学现状

周口师范学院在第四学期为统计学专业本科生开设了应用随机过程这门课程,每周3个(3节理论课)学时,共51学时。主要讲授预备知识、随机过程的基本概念、泊松过程、更新过程、马尔可夫过程等几个部分。应用随机过程在内容体系上与数学分析、高等代数、概率统计、微分方程、实变函数等紧密相连,学校目前的教学以教师讲授为主导,学生处于“被动”学习状态。

2 教学过程中存在的问题

第一,应用随机过程是以数学分析、高等代数、概率统计、微分方程、实变函数为基础的一门应用型课程。学院统计学专业的学生没有开设实变函数(测度论)和微分方程这两门课程,学生在刚学完概率论就直接开始学习随机过程,缺乏测度和解微分方程的基本思想和方法,因此,在理解随机过程的基本理论和相关证明时难度较大。

第二,现行的课程教学过于强调“重思想、重方法”。数学分析、高等代数和实变函数等“数学”课程与概率统计是随机过程课程理论研究的主要工具,该课程的很多理论及模型建立需要用到数学的方法和技巧。目前教学中,没有过多强调必要的数学过程与技巧,仅仅将其作为解决随机过程基本思想的工具,着重于基本思想和解决问题思路的分析。同时,在实际教学中,针对随机过程模型背景设定,没有足够的课时教会学生如何去验证模型为什么正确。

第三,教学过程中,没有将应用随机过程方法应用于解决实际问题。由于教学大纲中没有设置上机课(仅仅是任课教师个人在理论讲授之余抽出极其有限的时间利用统计软件R、SPSS、Eviews给学生做课堂演示)。应用随机过程理论教学与实践相脱节,相当一部分学生在随机过程方法处理实际问题时,感到不知所措,不会运用相关统计软件来完成随机过程的模拟、运算,即便偶尔能够运用软件,却不知该如何对操作结果做出合理的解释与分析。

第四,教学师资不足。学校统计学专业是2010年新设专业。讲授应用随机过程的教师严重不足,没有形成良好的教学团队和营造出良好的教学氛围。不利于课程教学质量的大幅度提高。

3 应用随机过程教学对策

应用随机过程课程既是专业核心课,又是重要的专业主干课,在统计学专业教学中居于承上启下的中心地位。通过不断的教学改革提升教学质量,为高校培养高素质、应用型人才的目标做出一定的贡献是笔者的主要目标。为此,笔者根据应用随机过程的教学经验及教学现状,针对该课程的性质对教学改革提出以下几点对策。

3.1 合理设置先修课程

在现行的教学模式下,调整统计学专业先修课程的设置,将微分方程和实变函数(测度论)两门课放在前三个学期学习,同时微调概率论的教学大纲,适当增加学时,加深对随机理论的讲解,为第四学期应用随机过程的学习做好充分的理论准备。

3.2 弱化“重思想、重方法”理念,强化以“任务”驱动教学的方法

为了使抽象的随机过程知识便于理解,教师致力于从直观性、趣味性和易于理解的角度介绍随机过程,增加与实际生活贴近的例子,深入浅出,以点带面,

使学生明确领悟教学内容。同时,在练习中选取一些小的随机过程模型,让学生从实际背景出发,建立模型,运用所学知识来解决问题,通过讨论和分析,学生自己寻找解决问题的方法,真正实现学生在学习中的主体地位,教师在教学中的主导作用。

3.3 加强教学内容的应用

改革学校应用随机过程课程教学应用不足的局面。一方面,增加应用随机过程与其他学科的交叉学习,更要在精选知识、交叉融合上下功夫,搞好整体优化。另一方面,增加上机课(实验课)借助统计软件,如SAS、SPSS、R或Eviews加强学生数据处理和实际分析问题的能力。

3.4 提高现行教师的教学水平与引进新的教学力量相结合

为了更好地v授应用随机过程,一方面,任课教师应不断加强业务学习,更新知识,改善知识和结构,了解本方向知识的前沿性。可在每学期开设学习讨论班,加强教师之间的交流学习,积极参加各种学术会议,开阔视野。另一方面,在教师岗位设置允许的前提下,引进新的教学力量,尤其是一些专业素质过硬,博学多识的博士,扩充到教学团队中来,整体提升应用随机过程的教学队伍。

第2篇

关键词:数学方法;情报学;数学思想;数学模型

1、 引言

数学方法的运用是现代科学研究的主要特征之一,学术界甚至出现了这样一种倾向:以数学方法的运用程度作为科学研究研究水平的评判标准。情报学由定性研究走向定量研究,数学方法越来越多地被引入情报学研究。[1]

由国防科工委情报所八室编科技文献出版社1988年12月出版的《情报数学》是中国最早论述情报科学技术和数学之间的结合部的一本专著。[2]

数学这是所有学科中的基础的学科,如果哪门学科没有加入数学很难说其已经建成了真正的科学。因此,数学方法对于图书馆学情报学理论、方法、实践领域以及所拓展的研究方向,都发挥着不可替代的作用。[3]

2、 数学方法在情报学中的应用

2.1计量学

计量学是情报学领域最为常用的数学方法之一。1934- 1960年是文献计量学的奠定时期。这一时期的研究比较注重理论研究与规律的发现。献计量学中大量的规律和定律都是在这段时间内提出的, 其中包括文献计量学中著名的三大定律中的布拉德福定律和齐普夫定律。在此阶段, 除了对文献计量学的基本规律进行了研究以外,还对其他规律进行研究。例如文献的引用规律、文献的增长规律及文献的老化规律。之后,又有许多文献计量学的概念、规律和方法被提出。从科学引文索引的发行以来, 从实际应用的角度计量学分成两种类型类型: 评价类和关联类。

计量学很好地利用了数学的思维方式,即运用数和量来发现事物的规律和联系。

2.2集合理论

假如一个系统可以划分成N种类别,并且各个类别之间的关系可以被清楚地表达出来,那么这个系统就能很方便地建立起一个集合模型,例如集合论在的主题词系统中的应用。

情报集合是一个集合,由许多条情报组成。也就是说一条条情报便是集合中的元素。实际上每条情报也是一个集合,它是由一个个概念词组合而成。为著录和查询情报而编制的主题词索引也组成一个主题词集合。主题词集合与对应的情报集合存在着一定的对应关系,即存在一个映射F,能够完成主题词集合到情报集合的映射。

2.3模糊数学

模糊数学又被叫作Fuzzy 数学,是用于研究和处理模糊性现象的一套数学理论和方法。它是模糊拓扑、模糊测度论等数学领域的统称,是在模糊集合、模糊逻辑基础之上发展起来的一种数学工具,用来研究现实世界中许多界限不明确以及存在模糊性 的问题的。

情报学领域存在大量模糊现象,仅靠随机数学和明确数学方法很难解决所有问题。模糊数学的引入提供了很好的视角。情报学领域经常采用的模糊数学的方法包括模糊算法,模糊匹配,模糊评价法,模糊聚类,模糊推理,模糊加权等。模糊数学在情报学中的应用,如信息检索的动态模糊聚类现象,可以使用模糊数学理论和方法描述作出模糊判断。模糊数学在该领域迅速地应用,显示出独特功能。如建立网络信息聚类的模糊模型。

2.4概率论与统计学

统计学是一门相对综合的科学,主要是通过搜集、整理、分析等技术手段达到推断所测对象的本质,甚至能预测对象未来的科学,在此过程中运用大量的数学及其它学科的专业知识,它的使用范围极广泛,几乎覆盖了社会科学和自然科学的各个领域。统计学在情报学领域的应用跟计量学有时候不太好区分,但是两者的应用领域还是比较明显的。统计学在医学情报学这个大的情报学分支上应用相对较多,而且也已经相当成熟。在处理情报的过程中的遇到的事件大多为随机事件,比如情报用户需求,情报的分布情况等。对于研究这种类型的问题,常采用数理统计方法。情报数理统计分析包括多种分析方法,例如情报分布统计分析,情报用户需求的统计分析,情报统计分析与预测,建立情报检索概率模型等。一般可将概率论和数理统计方法结合来进行处理,目的是可以看出变动的趋势,并且可以计算出各种可能出现的结果的比例和分布。例如情报分布情况的概率统计模型,情报检索系统的概率统计模型等。[4]

2.5线性代数

向量常常用来描绘与多个因素有关的一个问题,而矩阵描述的是与多个因素有关的一组问题, 其中最特殊的问题是线性代数中的线性方程组问题。

情报学中对于类概念词(包括主题词、关键词、标引词、类名等)的组配规则, 它们之间存在的多维性及它们因整体所显示的某种线性空间的性质的重视, 是矩阵理论与向量理论运用到情报工作中的前提条件。因为情报工作中亦存在着多维概念空间, 或者说存在着需要通过多个因素的量进行描述的问题, 这为线性代数应用于情报工作创造了最为坚实的基础。矩阵和向量在情报学中的应用主要是在计算机检索, 线性代数方法既是计算机检索系统模拟方法之一, 也是计算机扩检和缩检的手段之一。 情报检索系统采用的矩阵向量模型改进了传统检索的思路, 检索速度更快, 检索效率更高。线性代数方法还用于解释和预见情报活动中的实际具体问题,如著名的普莱斯指数增长模型,引文检索系统中的矩阵向量。[5]

3、 数学方法在情报学应用的发展趋势

首先,新的理论成果与新的方法渗透到情报学的研究工作中。数学方法作为一种研究方法适应各种科学研究的特点,最重要的是数学中的各种理论方法不断吸收自然科学研究中的新成果来完善自身。[6]

其次,定性和定量方法相结合。定性方法和定量方法相结合的研究方法日益成为情报学研究方法的主流,数学方法能够有效地把两种方法有机地结合起来。由定量分析上升至有相对数量依据的定性判断,最终形成具有足够根据的科学结论。

第三,利用计算机辅助建模及模型求解是发展的新趋势。情报系统涉及的因素、变量经常是众多的,有时计算量之大超出人的能力。计算机计算速度快、信息储存量大、计算结果准确的特点,特别是专业性软件的开发与应用可帮助研究者处理复杂问题。(作者单位:吉林大学管理学院)

参考文献:

[1]刘达. 情报学的新领域——情报计量学[J]. 情报学刊,1981,04:48-51.

[2]张芝兰. 《情报数学》[J]. 图书情报工作,1989,05:30.

[3]赖茂生. 数字化时代的情报学[J]. 图书情报工作,2007,04:25-29.

[4]马喜武. 数学方法在图书情报学中的应用[J]. 吉林农业科技学院学报,2007,04:63-64.

第3篇

关键词:统计教学;高职;计算机;问题;建议

随着社会的发展,统计在各个领域都展现了其不可替代的重要性。在各类院校中,统计学也是一门相当重要的学科,尤其是在数学专业,经济类专业。而对于不同的专业,统计所占据的位置也是不一样的。相对于数学而言,这门课往往着重点在于排列组合,集合论以及测度论等的理论研究教学,它更偏向于理论的推导,探讨的是为什么得到这个理论。而在其他非数学专业则更注重于统计的应用而非理论,他们更加关心该怎么用。但就目前的高校设置课程来看,对于统计的相关应用的教学很是缺乏。在高职院校中,也存在着不少的问题。本文探讨了统计教学过程中存在的一些问题,并提出了几点建议。

1.存在的问题

1.1学科

一个学科越热门,那么相应地,教学相关的教材也会特别多。有的教材偏重于理论,相关的例子少之又少,学生对于此类教材难以认真阅读,对于其中的抽象化的概念也很难理解消化。再者许多的教材里设置了案例内容,但其使用的数据却太过久远。在日新月异的现代,陈旧的数据根本跟不上时代的潮流。以此数据来分析问题也不能够得到好的调查结果。对于目前所存在的研究问题也没有任何的参考价值,给不了建设性的意见,无法解决现实中的问题。教材内容的滞后是很多教科书的一个弱点,好的教材应该与时俱进。

1.2培养人才形式

现在的课堂普遍采用的都是教师课堂单独讲授的模式。教师在讲台上滔滔不绝,学生则在下面听讲记笔记。中国的教育更倾向于填鸭式教学,被动式学习。在这样的模式下,学生的心理会存在逆反倾向,反而达到相反的效果。

1.3难易程度的把握

在数学的领域,随机本身就是一个非常高深难以理解的一个词,往往很多数学专业的学生都会感到一丝恐惧。在本科院校的学生的学习能力比较强,对于这种偏理论性的数学课程也可以接受。但对于一般高职院校的学生,更进一步来说,对于高职的非数学或者非统计专业的学生来说,就太难了。随机变量及其分布,似然理论,点估计与区间估计,假设检验,贝叶斯,统计和重抽样等理论对于本科生都难以理解消化,更何况是专科生。因而在教学过程中,对于如非统计专业的学生,如会计专业,教师在教学内容的难易程度上要有所把握。对于高职的学生来说,内容应该倾向于应用型的。

1.4与初高中知识的衔接

笔者在统计基础的教学过程中发现,小学初高中的统计概念和大学里的统计概念存在着差别。举个例子,为了解某学校5年级学生的身高,有关调查部门从该年级中抽取了200名学生测量他们的身高。按小学的教材,这里的总体是某学校5年级学生每人身高的全体,而每名学生的身高是个体。但在我们大学的教材里,这里的总体应该是某学校5年级所有的学生,个体是某学校5年级每一名学生,这里的身高则是一个品质统计指标。因此在教学过程中,学生可能由此 感到困惑:为什么以前学的和现在的不一样呢?到底哪个是对的啊?这是值得小学初中高中老师和大学老师需要讨论的问题。

2.建议

2.1学科设置

在高职院校中,我们所面对的是学习能力偏弱的大专学生,我们的培养目标也是偏向于应用型的经济管理类学生。所以在教材的选取上,应该尽量避免满篇都是概念,理论,推导这类偏纯理论的教材。所选的教材应该尽量简明,多一些实际生活中的例子作为辅助。

2.2培养模式的改变

在大多数的统计课堂上,都是采用教师单一讲授的模式,学生被动接受。但对于理论的内容,学生往往不感兴趣或者很难理解。在教学过程中可以适当的改进,采用案例教学法或者借助计算机来改变传统的教学方式。

2.2.1案例分析

在培养过程中,我们也可以适当的采用案例分析法。在统计学的教学中,可以根据其中的内容以及该门课程的特点适当的引入案例,吸引学生的兴趣,培养学生观察,分析和处理问题的能力。利用真实的案例,让学生自己来分析如何来解决实际问题,设计思路,得到结果,以及后续对结果的分析和解读,最后提出合理的建议。从另一个角度来说,统计的枯燥,抽象的内容,如果通过案例进行讲解,会达到事半功倍的效果,形象而有具体,学生更能理解,主动性和积极性都会有所提高。

2.2.2分组模式

在讲到统计设计,统计调查和统计整理的时候,可以给班级的学生设置分组,每个小组选择一个主题,在校园中展开统计研究调查。按照步骤展开,一步一步找到学生掌握相关的概念。根据设计的调查问卷向其他校园里的成员询问,手机资料的过程就是统计调查。如果说调查的对象是校园里所有的成员,那么该调查就是普查。如果只是随机抽取其中的一部分,一个班或者一个年级,一个专业,那就是抽样调查。而如果根据自己的判定选中了一些比较典型的具有代表性的对象进行调查,那就是典型调查。在调查问卷的设计中,可以让学生了解描述个体的各类统计标志的性质。例如年龄,成绩这类以数字形式出现的标志即为数量标志;而如学历,职业这类也文字描述形式出现的标志则为品质标志。

通过调查,每组学生对于自己所设计采用的调查方式及其中所用到的统计知识概念都有深刻的理解。同时每个组完成任务之后,对于统计的各个流程都能够有所了解并掌握。在这过程中,我们也培养了学生的学习能力,设计调查和分析的能力,以及团结协作的能力,有助于他们今后解决在现实生活中出现的难题。

2.2.3借助计算机

如果课堂理论教学能和上级操作相结合,学生会更感兴趣,积极性更高,同时也增强了他们的动手操作能力。所以我们要变“单一的课堂教学”为“课堂与上机操作相结合”教学。统计中会用到一些相关的统计软件,例如SAS,SPSS,MATLAB等专业的软件。但这些专业的软件需要安装专门的软件,同时这要求使用者学习一门新的编程语言,对于我们高职中的非统计专业的学生来说太难了,不容易教学,学生也不能理解和掌握。那么适合我们学生同时又能帮助进行统计工作的还有另外一款软件――Excel。Excel是一款功能非常强大,同时又基本涵盖了基础统计学的相关内容,如算术平均数,标准差,相关系数等。对于office办公软件学生不那么陌生,几乎每台电脑上都安装有该软件,学校也有开设计算机基础课程。统计上机处理一些相关的问题也是对他们计算机课程的一个检验,理解统计知识的同时,熟练运用Excel软件,两全其美。

高职院校的统计学作为会计专业的基础课程,其地位就像是一块地基。因而作为一名统计教师,如何让高职院校的非统计专业的学生能够掌握基本的统计理论和方法,并灵活运用到生活中去,这是值得统计老师思考的问题。在教授学生知识的同时,也要注意培养学生独立学习,思考,动手的能力。(作者单位:浙江横店影视职业学院文化经济学院)

参考文献:

[1] 费传宝.统计教学改革探析[J].九江职业技术学院学报,2010

[2] 冯亮能.加强网络资源在统计教学与研究中的应用[J].统计教育,2004,(2)

[3] 逄守艳.统计教学创新教育的实践与认识[J].统计教育,2005,(5)

[4] 黄雅青.贯穿在校园调查中的统计教学[J].机械职业教育,2006,(8)

第4篇

关键词:保险精算;数学专业;课程教学;统计建模

一、引言

“保险精算”是以数学、统计学、经济学和保险学等理论为基础,对人寿保险或财产保险过程中的财务风险进行分析、预测和管理的综合性应用科学,广泛应用在保险公司保险研发、费率厘定、财务分析等业务中,在金融学、投资学、社会学等众多与风险相关的领域也有广泛的应用。随着我国保险行业的迅速发展,精算行业人才需求不断增加,“保险精算”课程越来越受到重视,越来越多的高校开设了这门课程[1]。目前,“保险精算”课程主要面向经济管理类专业,是面向精算学专业、保险学专业学生的核心课程之一。[2]同时,作为数学与保险学的交叉学科,很多高校数学专业,如数学与应用数学、统计学专业等也开设了“保险精算”课程,授课内容略有差异,一般作为数学专业高年级选修课,在“数学分析”“概率论”“数理统计学”等理论课程后开设[3]。2015年,大连海事大学数学系面向第一批统计学专业学生开设了“保险精算”课程,共54个学时,教学内容以利息理论和寿险精算学为主,课程考核由期末闭卷考试(70分)、大作业(10分)和课堂表现(20分)组成。4年来,教学团队听取专家和学生意见,不断总结教学经验,及时发现教学过程中存在的问题,依据学校教学质量管理方法,及时分析原因并改进,教学质量逐渐提升,学生的满意度和教学成绩也逐年提高。2020年3月,“保险精算”课程将面向数学与应用数学、统计学两个专业,即面向学校全体数学专业学生开设。面向数学专业学生的“保险精算”课程如何定位、如何安排教学内容,与精算专业学生相比,数学专业学生学习“保险精算”课程有哪些优势,能够带来哪些机遇,学习过程中会遇到哪些问题,任课教师应如何针对数学专业学生因材施教等,都是值得深入探讨的课题。

二、数学专业学生学习“保险精算”课程的特点

1.理论知识扎实,逻辑思维能力强

“保险精算”课程一般设置为高年级学生选修课,在此之前,数学专业学生在“数学分析”“高等代数”“高等概率论”“数理统计学”等基础课程的学习过程中,已掌握扎实的数学理论基础,养成了理性、严谨分析问题的习惯,创新思维和统计思维得到很好的锻炼。与经管类专业学生相比,数学专业学生学习“实变函数论”“测度论”等专业课程能够加深对概率测度的理解;“随机过程”“时间序列分析”等课程指导学生如何分析处理随机数据。因此在学习“保险精算”课程过程中,数学专业学生追求深刻理解数学定义的本质和数学定理严谨的数学推导过程。例如,非寿险精算中三种常见的离散型概率分布———泊松分布、二项分布、负二项分布被统一归为(a,b,0)分布类,其概率分布具有递推关系,从而得到经典的Panjer递推式。这一定理用于计算累计损失的概率分布非常重要。但定理的证明较为繁琐,深刻理解完整的证明过程需要较为扎实的概率论基础。多数面向经管类专业的“保险精算”教材将证明过程略去,仅介绍结论。面向数学专业的教材中给出这一结论的证明[4],对深刻理解(a,b,0)分布类和Panjer递推式有很大帮助,并且这一结论在精算学之外也有广泛的应用,由于数学专业学生概率论基础扎实,要求掌握其证明过程并不困难。

2.能够熟练使用数学软件,具有较强的统计建模能力

“保险精算”课程中经常使用历史经验数据来预测未来的风险,因此需要对经验数据进行处理与运算,使用数学软件处理数据非常必要。例如寿险精算中,估计被保险人在每年的死亡率是一个十分重要的工作。由于人的生存分布十分复杂,无法使用简单的概率分布来拟合死亡率,因此寿险精算学中通常使用非参数统计的方法来拟合人的生存规律,即参考人身保险经验生命表,利用生命表可计算替换函数,从而计算各种人寿保险、生存年金的精算现值或责任准备金。目前拟合被保险人的寿命分布主要依据被保险人年龄、性别、保险性质、疾病史等因素。“大数据”时代下,未来的保险决策还会基于职业、收入水平、生活习惯、家族遗传病史、兴趣爱好和其他可能影响死亡率的信息,这些信息都可以转化为数据进行分析。[5]熟练使用数学软件能够快速有效地处理多维数据,在保费厘定的过程中发挥巨大作用。数学专业学生多数具有较好的编程能力,能够熟练使用数学软件,具有较好的统计建模能力。目前高校数学专业普遍开设了如“数学实验”“应用统计软件”等实验类课程,以讲授Matlab、R、SPSS等数学软件使用为主,很多学生也自学了高级程序设计语言。另一方面,数学专业开设的计算方法类专业课程(如“数值分析”“微分方程数值解”等),也培养了学生较强的算法设计能力,能够熟练使用这些数学软件处理海量数据。

3.对数学在保险学领域的应用感兴趣,课程关注度高

“保险精算”课程对经管类专业学生来说与其他专业课或许并无特别之处,繁杂的精算符号运算和复杂的逻辑推理还可能带来学习畏难情绪。而数学专业学生一直学习抽象的数学理论课程,迫切希望运用所学理论解决实际问题。作为应用性较强的课程,“保险精算”在数学专业学生中广受欢迎,选课人数明显高于其他选修课。从每学期教学期中检查得到的教学反馈信息可见,学生普遍认为与数学理论课相比,“保险精算”课程内容具体形象,所讨论的问题与实际生活息息相关,在基础课中学习到的数学理论有了用武之地,现实案例分析和开放式的实验设计能够激发学生学习兴趣,带来快乐学习的体验。另一方面,数学与金融的交叉领域一直是许多数学专业学生的关注点,日趋火热的精算师资格考试受到越来越多的学生关注。目前大多数保险公司的招聘条件中,都有需要通过一定科目的精算师资格考试的条件限制,这就使得很多学生以通过精算师资格考试为目的进行任务驱动式的学习,“保险精算”课程成为某种意义上的精算师资格考试培训课。相比其他课程,这样“一举两得”的课程自然会受到欢迎。

三、数学专业学生学习“保险精算”课程中遇到的问题

1.经济学、管理学基础理论薄弱,缺乏相关辅助课程

由于保险精算学是以数学理论为基础对保险经营中的问题进行定量分析,是数学、统计学、保险学和金融学等多学科的交叉学科,因此理应在掌握一定的经济学和保险学基础后学习“保险精算”课程。但高校数学专业一般很少开设此类课程,因此数学专业学生的经济学、保险学基础普遍比较薄弱,缺少宽广的经济视野和经济分析能力,学习过程中遇到经济、保险领域的概念术语经常无法理解,对保险实务中的政策、制度、法规也知之甚少。因学时有限,这些内容无法在课堂展开教学,主要靠学生在学习过程中有针对性地补充。没有建立完整的经济学、保险学知识体系,不能系统地掌握全部知识,给数学专业学生学习精算类课程带来非常大的挑战。

2.师资严重匮乏,缺少实践经验

保险精算学是一个实用性较强的学科,该专业大多数学生在硕士毕业后选择在保险公司或者其他风险管理领域就业,具有博士学位赴高校从事精算教育的人才非常少,且这部分人大多任教于国内一流高校的经济管理学院。目前高校教师岗位大多数要求具有博士学位,因此面向数学专业“保险精算”课程师资严重匮乏,现有任课教师多是数学专业出身,精算专业背景的教师较少。数学专业教师其自身的经济学、保险学理论基础同样薄弱,一般没有参加精算师资格考试的经验,有保险精算从业经验的则更少,教师对保险实务认识不足。正因如此,大多数课程内容以理论为主,较少涉及实践教学,对保险实务中出现的一些专业术语缺乏本质理解,导致学生很难掌握课程精髓,影响教学效果。

3.部分数学专业学生缺乏学习动力,对精算学不感兴趣

“保险精算”设置在“数理统计学”等前置课程之后,一般面向高年级学生开设。高年级学生多数已有较为明确的职业规划。职业规划方向的差异容易造成对本课程认可上的两极分化。虽然保险精算方向受到多数数学专业学生的青睐,但仍有很多学生喜欢继续学习基础数学,偏爱数学理论的学习和研究;还有部分学生拟从事软件研发等相关职业,偏爱信息技术相关的课程。这些学生选修“保险精算”课程更多是为了完成学业的要求,缺少目标和兴趣爱好的驱动。若课堂内容选择安排不合理,例如单纯地以通过精算师资格考试为目标安排教学内容,会造成无备考计划的学生产生抵触情绪,更不愿意花费精力补充课本以外的经济学、保险学预备知识。同时课程中繁多复杂的理论框架、难以辨识的精算符号、精密的数据处理与计算过程和琐碎的保险实务背景也增加了课程难度,若缺少正确引导,很容易使学生产生畏难甚至厌学心理。

四、面向数学专业学生开设“保险精算”课程定位

1.不忘初心,为培养复合型数学人才服务

针对数学专业开设的任何一门课程,都不应偏离数学专业的培养目标,不应改变其培养数学理论研究人才和数学应用型人才的初衷。面向数学专业开设“保险精算”课程,不仅为了传授精算学知识技能,增加学生今后的择业路径,还要提高学生用数学解决实际问题的能力,特别是提高统计建模能力,提升学生素养,培养复合型数学人才。对于拟从事金融领域工作的学生,接触这门课是一个很好的学习精算理论、掌握精算技能、增加择业优势的过程;对于今后不打算参加精算师资格考试,也不打算从事保险精算工作的数学专业学生,也应该能够从课程学习过程中,依托处理保险领域的随机数据、建立精算模型等训练,提升统计建模能力,这种能力同样可以应用在数学科研教学或者其他领域中。虽然通过精算师资格考试可以作为课程学习的动力,但不应该是本课程的主要教学目标,不应将课程教学变成考试培训。因此,面向数学专业学生的“保险精算”课程,应坚持把提高逻辑思维能力和统计建模能力作为主要教学目标,对精算学中的数学模型、重要定理的证明过程、重要公式推导过程等应讲解透彻,不能因为“不在精算师资格考试范围内”就不重视精算问题的数学背景。为了坚持这一目标,应鼓励使用面向数学专业的教材[4][6],而面向经管类专业学生的教材以及精算师资格考试用书侧重精算学在保险实务中的应用[7],可作为数学专业学生学习“保险精算”课程的补充资料。

2.扬长避短,以自身优势弥补金融理论不足

学习经济学基础和保险学基础对掌握“保险精算”课程是很有必要的,但面向数学专业开设的课程不可能也不应该花太多的时间在课上介绍经济学原理或保险实务的政策、法规、制度。教师可以指导学生在课下借助丰富的网络教学资源自学这些内容。同时,在新生入学教育阶段也应鼓励学生尽早明确职业规划,建议有从事金融业方向职业规划的学生在低年级选修“经济学基础”“保险学概论”等辅助课程。数学专业学生学习“保险精算”课程若不坚持自身专业特点,则无任何优势与精算专业学生竞争。因此教师应该采用“扬长避短”的教学方式激发数学专业学生潜能,充分利用其数学基础扎实、逻辑思维能力强的优势,一方面通过学习精算模型巩固和验证已学过的统计学基础知识,另一方面引导学生基于专业知识学习新知识,利用统计学理论解决保险费率厘定等实际问题来温故知新。通过构建精算实务中的数学模型提高学生的统计建模能力和使用数学软件处理数据的能力。例如寿险精算中由儿童寿险模型到“二孩时代”下的多元儿童寿险模型,由单因素、确定因素到多因素、随机因素的变化,由简单数据处理到“大数据”背景下海量数据的处理,推广、改进原有精算模型离不开深厚的统计学功底和数学软件的熟练运用,从而最大限度发挥数学专业学生的优势。学生掌握精算学的数学原理后,再重新审视其依托的保险实务背景,就会对涉及的经济学、保险学的概念术语有深层次的理解,一定程度上实现用自身的优势来弥补金融理论的不足。

五、基于优缺点分析和课程定位的“保险精算”课程教学方法

针对数学专业学生学习“保险精算”课程的特点,“不忘初心,扬长避短”就是要求教师坚持数学专业的人才培养目标,发挥数学专业学生的优势,用优势弥补自身不足,从而达到锻炼学生统计建模能力和学习精算技能的教学目的。

1.加强“保险精算”课程教师队伍的建设

鼓励从事“保险精算”课程教学的数学教师系统学习金融体系课程,不断扩充知识面,关注保险领域的最新动态,教学与科研相结合,提高教学质量,将保险与数学更好地结合。同时高校应该加大保险精算学人才引进力度,加强教师的进修培训与科研交流,建立高水平的金融数学与保险精算方向的教学科研团队。

2.动态更新教材和参考资料内容

坚持数学专业特色,鼓励使用面向数学专业的“保险精算”教材。与经典的数学理论教材可以用十年以上的情况不同,选用保险精算教材应注意内容的时效性。当前,保险业发展迅速,规模不断壮大,新的经济形势下产生了许多新的保险产品,几乎覆盖风险存在的各个领域;另一方面,在互联网金融蓬勃发展和“大数据”技术背景下,保险经验数据不断更新和完善,保险定价考虑因素持续增多,应用软件的研发和改进速度加快,国内外经济形势持续变化,保险规则制度不断丰富和改善,都促使保险精算学内容发生变化,教材内容往往落后于实际,不能满足需求。因此,教学过程中教师应不局限于课本内容,应时刻关注保险业最新动态热点,顺应学科发展要求,不断与时俱进、推陈出新,完善教学内容。

3.改进和完善教学方法

由于教学学时有限,鼓励教师充分结合多媒体教学,并搭配“雨课堂”等先进的教学辅助软件,以节省课堂时间,减轻教师和学生课堂上的负担,丰富教学内容,提高教学效率。对于需重点推导的精算公式不应一带而过,可以结合板书教学以加深学生印象;通过互联网资源建立联系群组,提供一个课下师生交流讨论答疑和分享教学资源的交互式平台;加强与学生的互动,在教学过程中引入真实保险案例,鼓励学生参与讨论,提高学生分析问题和解决问题的能力;安排一定的实验学时,发挥学生编程基础良好的优势,指导学生使用统计软件处理保险经验数据,对各类险种的数学模型熟练编程并计算其各项费率。

4.引导学生主动学习课外内容

由于学时限制,面向数学专业开设“保险精算”课程不能完全覆盖全部精算学知识,“寿险精算”部分一般可以覆盖“寿险责任准备金的计算”,对于“非寿险精算”仅进行简单介绍,或在其他课程中继续学习。若没有开设“金融数学”等前置课程,还需至少6个学时学习利息理论。在极其有限的学时里,教师应注重精讲精练,引导学生利用图书馆资源和网络资源,主动学习课外内容,理论学习与实践相结合,开展外延式教学[8]。可以将部分课外自学内容以大作业或个人学术报告的形式加入课程平时成绩考核中。

5.创造条件让学生参加社会实践

虽然教师可以指导学生设计数学实验来模拟保险实务过程,但检验学习成果最好的方法是参加实践。高校应努力为学生提供接触保险实务的机会,邀请从事精算相关工作的人士与在校学生交流,组织学生赴保险公司学习调研。鼓励学生参与保险行业的实习,争取与保险公司共建实习基地,获得宝贵的保险实务经验,从而提高学生的实践能力,提供就业机遇、展示择业优势。

6.借助优势学科培养交叉学科人才

保险学涉及范围十分广泛。在课程内容安排上,可以结合本校办学特点,将保险精算与本校优势学科结合,充分利用规模庞大、实力雄厚、资源丰富的学科优势,探讨合作领域,打造特色课程,培养交叉学科人才。例如,大连海事大学以航运为特色,2017年,学校为培养既懂航运又懂保险的复合型人才与保险公司联合开设了东海航运保险学院[9]。理学院“保险精算”教师团队以调研访学的方式,获得航运保险第一手资料,将航运领域的风险管理模式、航运保险实务的基本方法、经典案例、历史赔付数据等加入非寿险精算的教学内容中,丰富教学内容。

7.鼓励部分学生做保险精算相关的毕业设计和毕业论文

毕业设计是一个很好的学习与实践机会。应鼓励即将攻读金融数学、保险精算硕士学位的学生,或者即将从事保险精算方面工作的毕业生,依靠任务驱动和指导老师的帮助,对保险精算中的某一问题进行深入学习和研究。例如讨论投保人因经济原因无法继续支付保费的情况,学生可就如何计算保费的现金价值分情况讨论缩短保险期限或者降低保险赔付金额或者其他措施的实施方案;也可对原有数学模型进行改进或扩展,鼓励学生尝试结合时事热点,设计新型保险,尝试为新型保险定价;或将已有的保险产品改进完善,如设计以挂科为赔付条件的“大学生挂科险”[10],以不能完成学业为赔付条件的“毕业险”等。这些贴近生活又充满趣味性的尝试,是很好的毕业论文研究课题,也为学生提供一个展示科研能力的平台。[11]学生也可以对精算模型中的数学问题进行深入分析,对假设条件进行适当放宽,如将保险公司的固定收益率假设条件放宽为随机收益率等。这样的统计建模训练不仅对打算从事保险方面工作的学生有益,对拟从事数学理论研究及数学与计算机结合方向学习和工作的学生来说都是十分有帮助的。

第5篇

一组精要的数学符号,一个简单的数学公式,一条言简深邃的数学定理,一种精彩绝伦的数学构想……,无不闪现着这些数学巨人们思想深处那汩汩不息的美感之源所散发出的激情与脉动,其升腾出的美的氤氲,笼罩着一种思维上的灵逸和深远,带给人们一丝迷醉其中的淡淡情愫。拉丁格言说得好:“美是真理的光辉。”如果将这句话投射在数学领域中,我想,大量的事例都可印证其简约的表述之下所蕴涵的深远意境。但从更广泛的意义看,美又何尝不是一种力量,一种蓄以待发的、存乎自然与人最深处的追求本真的力量,一种属性固有与理性追求的完美统一。不难体会到,数学的美——一种独特的、兼具震撼力的美,本质上包含了两个侧面的含义:主观意义上的数学美与客观意义上的数学美,即数学美既是一种人的能动的主观感受与思维表达,又是内蕴于客观世界的现实存在。从这两个侧面出发,以一种全面、深刻、辩证的数学美学认识为基础,站在哲学平台上,对数学美的本质做进一步的剖析与探讨工作,既有理论的完善意义,又具有数学美育实践的指导与促进意义。鉴于此,笔者拙笔写下了这篇断想。

1 数学美的存在性——客观世界的反映

在客观世界纷繁芜杂的各种变化与现象中,时刻贯穿、孕育着各种各样的美。美是杂乱中的秩序,是变化中的规律。美是客观世界的本质属性,是引领整个客观世界向前发展的内在动力。数学美作为科学美的重要方面,就是对自然界中客观存在的秩序与规律从数与形的角度给予反映和揭示。具体来说,对于美的存在性,我们可以从两个方面来认识与考察。

首先,客观世界中处处渗透与体现着数学美,数学美是对客观世界内在规律的反映。对于数学美与客观世界之间的相互联系,其实早在古希腊时期,毕达哥拉斯学派就开始着手研究。毕氏学派在研究音乐乐理的谐音与天体运行的轨道时,发现二者在数量关系上都满足整数比,从而就此得出结论“宇宙间万物的总规律,其本质就是数的严整性和和谐性”,“美是和谐与比例”。在这样的认识基础上,毕氏学派试图从数和数的比例中求得美和美的形式,并终于从五角星形中发现了“黄金分割”,进而得到黄金比。这是数学美学认识史上的一大突破。从古希腊到现在,黄金比在各种造型艺术中都有着重要的美学价值。现代科学研究甚至表明,黄金比在现代最优化理论中也有着应用价值,如优选法中的0.618法。即使在现代医学保健领域中,都可以处处感受到它的存在与神奇。最令人惊奇的是,很多生物的形体比例也是等于黄金比。难道它们都懂得优选法,自觉采用黄金比?不!这只能证明美学家的断言:“美是一切事物生存和发展的本质特征。”

其次,溯源于客观世界的数学理论内部也充满着数学美。这种美本质上间接地表征了客观世界的固有规律。徐利治教授曾说过:“作为科学语言的数学、具有一般语言文学与艺术所共有的美的特点,即数学在其内容结构和方法上也都具有自身的某种美……如数学概念的简单性、统一性,结构系统的协调性、对称性,数学命题与数学模型的概括性、典型性和普遍性,还有数学中的奇异美等。”古代哲学家、数学家普洛克拉斯甚至断言:“哪里有数,哪里就有美。”的确,数学中美的例子可谓俯拾即是。例如,皮亚诺算术公理系统,就是逻辑结构简单美的典范;希尔伯特以非构造方法成功解决了代数不变量理论中的戈丹问题,体现数学方法的简单美;代数中的共扼根式、共扼复数、对称多项式、对称矩阵等。几何中的轴对称、中心对称、镜面对称等,都表现了数学中的对称美;运算、变换、函数,这三个分别隶属代数、几何、分析等不同数学分支的重要概念。在集合论建立之后,便可以统一于映射的概念,这体现了数学中的统一美……。近代科学家开普勒更是一针见血地指出:“数学是这个世界之美的原型。”言简意赅、意蕴深远的一句话,给人以深刻的思想启迪。

2

数学美的独特性——内隐而深邃的理智美与理性精神

英国著名哲学家、数学家罗素曾经这样描述过数学的美:“数学,如果正确地看它,不但拥有真理,而且也具有至高的美,正象雕刻的美,是一种冷而严肃的美、这种美不是投合我们天性的微弱的方面,这种美没有绘画或音乐那些华丽的装饰,它可以纯净到崇高的地步,能够达到严格的只有最伟大的艺术才能显示的那种完满的境地。”罗素的这番精彩论述以“冷而严肃”“纯净”“崇高”“严格”“完满的境地”等字眼来形容数学的美,辞藻华丽且思想深刻,将数学美的与众不同淋漓尽致地展现在人们面前,再进一步看,正如前面所论述的数学美的本质包含了两个侧面(主观意义和客观意义)。因此,从主观与客观及其相互联系统一的角度来研究数学美的独特性,必然会有助于我们更好地去理解与认识数学美的内在本质。

第一,数学的美是内在的美、隐蔽的美、深邃的美,美在数学思想内部,数学美是客观规律的反映,但这种反映不是像照镜子那样直接反映,而是人的能动反映,是自然社会化的结果,是人的本质力量对象化的结果。它所反映的不单纯是客观事物,而是融合了人的思维创造。因此,要领悟数学美必须透过,“抽象、枯燥”的符号、公式及定理等洞察其内部的数学思想:比如爱因斯坦创立的相对论可谓内容丰富之极,但如果用式子表示的话,却极其简单:

E=mc[2],P=mv(E为能量,P为动量,m为质量,c为真空中的光速)并非所有人都能意识到其中的美。其实,这两个公式代表了爱因斯坦对人类贡献的精华,它们深刻地揭示了微观、宏面、宇观的无数质能变化现象的规律,但式子却非常简单。其用字之少,内容之丰富,充分体现了数学的简单美。再比如,数学家们把等式

e[πi]+1=0

视为最优美的公式,美在哪里?其实,这个式子将算术中的"1""0",代数中的"i",几何中的“π”,分析中的"e"神奇地统一在了一起,即它们相会于天桥:e[iθ]=cosθ+isinθ(在该式中令θ=π就可得到上式),它沟通了三角函数与指数函数之间的内在联系,充分体现了数学的统一美。

第二,从价值追求的角度看,数学美实质上体现了人的审美精神,这种精神说到底是一种理性的精神,恰恰是这种精神,“使得人类的思想得以运用到非常完善至美的程度”,即“完满的境地”;正是这种精神,“从一定程度上影响人类的物质、道德和社会生活,以试图回答有关人类自身提出的一些问题”;正是这种精神,“使得人们能尽可能地去理解、了解、控制自然,掌握客观世界的规律”;正是这种精神,“使人们有可能去探求和确立已经获得的知识的最深刻的、最完美的学科内涵”,并使之“纯净到崇高的地步”。这是笔者从罗素的论述中感悟到的数学美的精神层面的独特内涵。

3 数学美的驱动性——个人创新与数学发展的内部动力

对于数学美的追求历来是科学家进行发现与创新的重要内部驱动力。阿达玛与彭加勒都曾从心理学角度阐释美与发明创造之间的关系。他们认为,创造的本质就是做出选择,就是要抛弃不合适的方案,保留合适的方案,而支配这种选择的正是科学美感。正如阿达玛所说的:“科学美感,这种特殊的美感,是我们必须信任的向导,”因为,“唯有美感能预示将来的研究结果是否会富有成果。”数学史的研究表明,希腊几何学家之所以研究椭圆,可以说除了美感之外,再没有什么其他动力了。著名物理学家麦克斯韦在没有任何实验依据的情况之下,仅从数学美的考虑出发,将实验得出的电磁理论方程重新改写,以求得方程形式上的对称优美。令人惊异的是,改写的方程竞被后来的实验证实了,而且利用方程还可推导出一系列令人陶醉的结果,电磁理论决定性的一步就这样跨出了。这不能不让人相信美的确具有如此巨大的推动力与支配力。诚如爱因斯坦所言:“照亮我的道路,并且不断地给我新的勇气去愉快地正视生活的理想,是善、美和真。”事实上,爱因斯坦所提出的科学思想,有很多是出于美学而不是逻辑的考虑。他对实验和理论不相符的忧虑,甚至远远不及对基本原理的不简洁、不和谐所引起的忧虑,而这正是刺激他的思想的源泉。

从广泛的意义上看,对数学美的追求也在不断推动整个数学向前发展,数学发展的历史不啻是一部追求数学美的前进史。比如,在数学发展的历史长河中,数学家们坚持不懈地追求数学的统一性,从而相继诞生出三部数学巨著:欧几里德的《几何原本》,罗素与怀德海合著的《数学原理》,布尔巴基学派的《数学原本》。再如,出于逻辑简单性的考虑,数学家们很早就对欧氏平行公理的自明性和独立性产生怀疑,经过几个世纪的研究,最终导致非欧几何的建立。此外,对于奇异性的追求也同样推动了数学发展,对此,哥德尔不完备定理的提出可以说是一个极好的例子,纽曼和耐格尔曾把这一定理称为“数学与逻辑学发展史中的里程碑”。著名物理学家惠勒则更认为:“即使到了公元5000年,如果宇宙仍然存在,知识也仍然放射出光芒的话,人们就将仍把哥德尔的工作……看成一切知识的中心。”

综上所述,无论是对个人的创新,还是对数学科学的整体发展,数学美的推动作用都是毋庸质疑的。从本质上说,对于统一性、简单性、奇异性的追求过程就是个人与群体认识不断深化和发展的过程。正如郑额信教授所说:“无论是对于统一性、简单性、奇异性或抽象性的追求,事实上都体现了数学家的这样一种特性:他们永不满足于已取得的成果,而总是希望能获得更深刻、更全面、更正确的认识。因此,他们总是希望能将复杂的东西予以简单化,将分散、零乱的东西予以统一,也总是希望能开拓新的研究领域……正是在这样的过程中,数学家们感受到了数学的美,而这事实上也就是认识不断得到发展和深化的过程。”

4 数学美的甄别性——评价数学理论的重要标准之一

古往今来的很多数学家、科学家都将数学美视作衡量自己或他人研究成果的重要评价尺度之一。数学美犹如一个筛子,数学家们利用这个筛子对理论中的各种因素做总体上的甄别与评判,剔除丑陋保留美好,力图最终获得“美”与“真”的完美统一。著名数学家冯·诺伊曼就曾说过:“我认为数学家无论是选择题材还是判断成功的标准,主要都是美学的。”庞卡莱则更明确地说:“数学家们非常重视他们的方法和理论是否优美,这并非华而不实的作风……一个解答、一个证明的和谐、对称以及恰到好处的平衡……能使我们对整体以及细节都能有清楚的认识和理解,这正是产生伟大成果的地方。”

数学家与科学家们之所以如此看重数学美,就是因为数学美的甄别性在一定程度上为该理论的发展前景作出了预测,同时也在一定程度上为科学家们的工作指明了方向。如众所知,概率论的产生始于17世纪,在当时,由于人们对概率概念所存有的不同理解,所以建立的理论体系也不完全一样。在这些理论体系中,最迷人的是前苏联数学家柯尔莫哥洛夫建立在公理集合论上的测度论的概率论。以数学美的标准来评价,柯氏的理论体系,无疑极大地显示了数学的简单美与统一美,不仅对论述无限随机实验序列或一般的随机过程给出了足够的逻辑基础,而且应用于统计学也很方便。历史的发展充分地证明了,在这些理论中,惟有柯氏的概率论不断得到进一步发展,而且后来还产生了不少新的分支。正如Nobel物理学奖获得者狄拉克所言:“一种理论如果是正确的,它就应该是美的,一种美的理论有普适性,它有能力预言、解释、提供范例,可用它来进行工作,因而数学美能激起人们的热情,对它的追求就好像是一种信仰行为……数学美是对理论具有决定取舍作用的一个准则。”

5 数学美的层次性——主观客观彼此交融的重要特征之一

根据前面的分析,数学美的本质体现在两个侧面,即它既是一种客观世界的本质属性,又是人对于这种本质属性的主观认识与感受,且二者之间是辩证的融合。站在这样的一种辨证的数学美的本质观(数学的主观美、客观美及其你中有我、我中有你)平台上,笔者认为,从客体作用于主体的角度考察,客观世界存在的各种数学美的外部呈现与反映体现出典型的层次性特征。从本质上说,这种美的层次性特征既表达了客体美对人的感官、思维的冲击上的层次差异性,又体现了个体对数学美的主观认识上的阶段性与发展性。张猷宙和木振武两位教授可谓对这一课题做了独特而深入的研究,他们结合数学美育,从主观认识与客观反映之间辨证联系的角度出发,提出了数学美的四个层次:美观、美好、美妙、完美,并以此为基点,探究优化课堂教学的策略与构想。在此,笔者相信,对该课题的研究将会是继续深入、不断完善的。

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