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中图分类号:G642 文献标识码:A 文章编号:1002-7661(2012)22-015-01
一、问题的提出
《义务教育数学课程标准》(2011年版)(以下简称《课标》) 总体目标中的第一个目标是:“学生能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识(数学事实、数学活动的经验)以及基本的数学思想方法和必要技能。”并且进一步指出:要从过去培养学生的“双基” 变为“四基”(基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验)。由此可见数学思想方法在数学教育中的重要性和必要性。因此,开展数学思想方法教育应作为新课改中所必须把握的教学要求,也是培养学生分析问题和解决问题能力的重要途径。
二、进行数学思想方法教学的教育价值
所谓数学思想方法是对数学知识的本质认识,是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点和精髓,它在认识活动中被反复运用,带有普遍的指导意义,是建立数学和用数学解决问题的指导思想。在初中进行数学思想方法教育,是培养和提高学生数学素养的重要内容。
(一)数学思想方法是教材体系的灵魂。从教材的构成体系来看,整个初中数学教材所涉及的数学知识点汇成了数学结构系统的两条线。一条是由具体知识点构成的易于被发现的明线,它是构成数学教材的“骨架”;另一条是由数学思想方法构成的具有潜在价值的暗线,它是构成数学教材的“血脉”灵魂。没有脱离数学知识的数学思想方法,也没有不包含数学思想方法的数学知识。有了数学思想方法作灵魂,各种具体的数学知识点才不再成为孤立的、零散的东西。
(二)数学思想方法是进行教学设计,提高课堂质量的指导思想。无论哪个层次上的教学设计,都必须依靠数学思想作为指导。有了深刻的数学思想作指导,才能做出创新设计来。教学中教师只有达到一定的思想深度,才能保证准确辨别学生提出的各种各样问题的症结,给出中肯的分析,把众多学生牢牢地吸引住,并能积极主动地参与到教学活动中来,真正成为教学过程的主体;也才能使有一定思想的教学设计,真正变成高质量的数学教学活动过程。
(三)数学思想方法对学生认知的实现发挥着重要的作用
学习的认知结构理论告诉我们,数学学习是一个数学认知过程,这个过程是通过同化和顺应两种方式实现的,无论是同化还是顺应,都是在原数学认知结构和新的数学内容之间,改造一方去适应另一方,这种加工要具有自觉的方向性和目的性。数学思想方法担当起了指导“加工”的重任,它不仅提供思想策略(设计思想),而且还提供实施目标的具体手段(化归技能)。
三、进行数学思想方法教学的策略
(一)了解《课标》要求,整体把握数学思想方法的要求。《课标》对初中数学中渗透的数学思想方法划分为三个层次,即“了解”、“理解”和“会应用”。在教学中,要求学生“了解”的数学思想有:数形结合的思想、分类的思想、化归的思想、类比的思想和函数的思想等。教师在整个教学过程中,要认真把握好“了解”、“理解”、“会应用”这三个层次的具体要求。不能随意将“了解”的层次提高到“理解”的层次,把“理解”的层次提高到“会应用”的层次,否则,学生初次接触就会感到数学思想方法抽象难懂,高深莫测,从而导致他们失去信心,教学效果将是得不偿失。
(二)训练方法,理解思想。数学思想的内容是相当丰富的,方法也有难有易。因此,必须分层次地进行渗透和教学。这就需要教师全面地熟悉初中三个年级的教材,钻研教材,努力挖掘教材中进行数学思想、方法渗透的各种因素,对这些知识从思想方法的角度作认真分析,由易到难分层次地贯彻数学思想方法的教学。
(三)掌握方法,运用思想。数学知识的学习要经过听讲、复习、做习题等才能掌握。数学思想方法的形成有一个循序渐进的过程。只有经过反复训练才能使学生真正领会。使学生形成自觉运用数学思想方法的意识,必须建立起学生自我的“数学思想方法系统”,这更需要一个反复训练、不断完善的过程。
(四)提炼方法,完善思想。教学中要适时恰当地对数学方法给予提炼和概括,让学生有明确的印象。由于数学思想、方法分散在各个不同部分,而同一问题又可以用不同的数学思想方法来解决。因此,教师的概括、分析是十分重要的。教师还要有意识地培养学生自我提炼、揣摩概括数学思想方法的能力,这样才能把数学思想、方法的教学落在实处。
总之,在初中数学教学中,加强学生对数学思想方法的理解和应用,以达到对数学本质的理解,有效提高教学效率,实现素质教育目标,是一项艰苦而长期的工作,每个数学教育工作都应为此做出不懈的努力。
参考文献:
一、开展数学思想方法的教育是新课标提出的重要教学要求。
新课标突出强调：“在教学中应当引导学生在学好概念的基础上掌握数学的规律（包括法则、性质、公式、公理、定理、数学思想和方法）。良好的数学知识结构不完全取决于教材内容和知识点的数量，更应注重数学知识的联系、结合和组织方式，把握结构的层次和程序展开后所表现出来的内在规律。数学思想方法能够优化这种组织方式，使各部分数学知识融合成有机的整体，发挥其重要的指导作用。甚至会对个体的世界观、方法论产生深刻的影响，形成数学学习效果的广泛迁移。
二、初中数学中蕴含的数学思想方法
最基本的数学思想方法是数形结合的思想，分类讨论思想、转化思想、函数的思想，突出这些基本思想方法，就相当于抓住了中学数学知识的精髓。
1、数形结合的思想
“数”和“形”是数学教学中既有区别又有联系的两个对象。在数学教学中，突出数形结合思想，有利于学生从不同的侧面加深对问题的认识和理解，提供解决问题的方法，也有利于培养学生将实际问题转化为数学问题的能力。
2、分类讨论的思想
“分类”是生活中普遍存在着的，分类思想是自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法，也是研究数学问题的重要思想方法，它始终贯穿于整个数学教学中。从整体上看，中学数学分代数、几何两大类，然后采用不同方法进行研究，就是分类思想的体现。从具体内容上看，初中数学中实数的分类、三角形的分类、方程的分类等等，在教学中就需要启发学生按不同的情况去对同一对象进行分类，帮助他们掌握好分类的方法原则，形成分类的思想。
3、转化思想
数学问题的解决过程就是一系列转化的过程，中学数学处处都体现出转化的思想，如化繁为简、化难为易，化未知为已知，化高次为低次等，是解决问题的一种最基本的思想。
三、数学教学中进行数学思想方法的教学应把握的几个方面
1、在概念教学中渗透数学思想方法
数学概念是现实世界中空间形式和数量关系及其本质属性在思维中的反映，人们先通过感觉、知觉对客观事物形成感性认识，再经过分析比较，抽象概括等一系列思维活动而抽取事物的本质属性才形成概念。因此，概念教学不应只是简单的给出定义，而要引导学生感受及领悟隐含于概念形成之中的数学思想。
2、在定理和公式的探求中挖掘数学思想方法
著名数学家华罗庚说过：“学习数学最好到数学家的纸篓里找材料，不要只看书上的结论。”这就是说，对探索结论过程的数学思想方法学习，其重要性决不亚于结论本身。数学定理、公式、法则等结论，都是具体的判断，其形成大致分成两种情况：一是经过观察，分析用不完全归纳法或类比等方法得出猜想，尔后再寻求逻辑证明；二是从理论推导出发得出结论。总之这些结论的取得都是数学思想方法运用的成功范例。
3、在问题解决过程中强化数学思想方法
许多教师往产生这样的困惑：题目讲得不少，但学生总是停留在模仿型解题的水平上，只要条件稍稍一变则不知所措，学生一直不能形成较强解决问题的能力。更谈不上创新能力的形成。究其原因就在于教师在教学中仅仅是就题论题，殊不知授之以“渔”比授之以“鱼”更为重要。
四、进行数学思想方法的教学应遵循的原则。
1、循序渐进原则。
数学思想方法的形成难于知识的理解与掌握。学生学习数学思想和方法一般要经历三个阶段，一是模仿形成阶段，它们往往只注意了数学知识的学习，而忽视了联结这些知识的观点，以及由此产生的解决问题的方法和策略，即使有所觉察，也是处于"朦朦胧胧"、"似有所悟"的境界。二是初步应用阶段，即学生对数学思想方法的认识开始已经明朗，开始理解解题过程中所使用的探索方法和策略，也会概括总结出来。 三是自觉应用阶段，学生能根据数学问题，恰当运用某种思想方法进行探索，以求得问题的解决。学生数学思想方法的学习过程，决定了数学思想方法的教学不可能一步到位，也有一个相应的循序渐进、由浅入深的过程，因此要按照"反复教育、初步形成、应用发展"的顺序来完成某一数学思想方法的教学。
2、学生参与原则。
由于数学思想方法比数学知识更抽象，不可能照搬、复制。数学思想方法的教学是数学活动过程的教学，重在思辩操作，离开教学活动过程，数学思想方法也就无从谈起。只有组织学生积极参与教学过程，在老师的启发引导下逐步领悟、形成、掌握数学思想方法。因此，要通过教学，让学生在学习数学知识过程中，根据自己的体验，用自己的思维方式构建出数学思想方法的体系。
五、数学思想方法的教学策略
1、分析教材，细划目标。
数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象概括，它蕴涵于数学知识的发生、发展和应用过程中。在一章或一单元的教学中，将涉及很多的数学思想方法，就要有意识突出一种或几种思想方法的教学，如在不等式单元教学中将涉及代换思想、函数方程思想、数形结合思想、分类思想。为此，在进行教学目标设计时要注意其教学侧重点，细划目标，从教学思想领域和认知领域两个方面分别设置目标。
2、尝试不同的教学方法
长期以来，“教师教，学生学”是教学过程中的一个传统模式，这样的教学法已不再适应新的教学观，应将教师的作用从“教”提高到“导”，“导”就是引导，即教师的作用是引导学生，充分地使学生展示自己的思维能力和想象能力，尽可能让学生自己发现、归纳、总结知识。要采取各种教学方法，如：讨论法、谈话法、实验法等有利于引导学生的教学方法，从而提高素质培养能力。
一、数学思想方法和教材的关系
数学教材中处处渗透着基本数学思想方法，数学概念、公式、法则、性质、公理和定理等知识都写在教材中，是有“形”的，是教材的“明道”，它是构成数学的“骨架”，而基本的数学思想方法在教材中大多数是以隐蔽的形式存在于字里行间，它是无“形”的，是教材的“暗道”，它是构成学习教材的血脉灵魂，有了这样的数学思想做灵魂，各种具体的的数学知识点才不再成孤立零散的东西，因为数学思想方法能将“游离”状态的知识点凝结成优化的知识结构，有了它数学知识才能活跃起来，成为相互支持、环环紧扣的一个有机整体。可见，数学思想方法是数学的内在形式，是学生获得知识、发展思维能力的动力工具，这就要求教师要认真挖掘、清理教材中所反映的数学思想方法，使它落实到学生的学习中，运用到数学思维活动上，它就能在发展学生的数学能力方面发挥出积极的作用，
二、加强数学思想方法的教学
数学思想方法是数学基础知识的有机组成部分，它的教学不仅决定数学基础知识教学的水平而且还影响着对学生的数学技能的培养和能力的发展。因此，作为数学教师必须更新教学观念，从思想上加强对数学思想方法的认识，提高数学思想方法教学的水平。在教学设计中可以从以下四个方面进行数学思想方法的渗透：
（1）在确定教学目标时，有意识地体现数学思想方法，使每堂课的教学目标和教育目标和谐统一，在备课时既要备知识点，又要备数学思想方法，从数学思想方法的高度，深入研究教材，通过概念、公式、定理的教学渗透数学思想方法的内容。（2）在实施教学过程中有意识地运用数学思想方法。数学教学的重点往往就是需要有意识地运用或提示数学思想方法之处。在突破教学难点时，教师应利用数学思想方法，教给学生抓住重点，分散难点，化难为易，加深理解，掌握本质的途径。如，在解二元一次方程组的教学中，学生往往感到困难的是不知道消去哪一个未知数，怎样消？在这节教学活动中应首先提出解二元一次方程组的基本思想“消元”，通过“消元”，把二元一次方程组转化为一元一次方程，从而求出方程组的解。把新知识转化为旧知识来解决，在这一解题过程中运用了转化的思想，“消元”的方法，把复杂的问题转化为简单的问题，从而使问题得以解决。关键是找好化归的“落脚点”，从中有效地培养学生分析问题、解决问题的能力。（3）在课堂小结、单元复习时，应适时地把某种数学思想方法的关键点进行概括、强化和归纳，对它的名称、内容规律、应用等有意识地加强点拨和训练，不仅使学生可以从数学思想方法的高度把握知识的本质和内在规律，而且可使学生逐步体会数学思想方法的精髓，加深对知识的理解，培养学生的联想能力和知识的迁移能力。（4）在练习中，应加强对数学思想方法的训练。这一环节可以分三步进行：第一步，“入轨”，通过练习的训练，使学生知道某一数学思想方法。第二步“正轨”，利用练习训练学生初步应用这一数学思想方法。第三步“出轨”，利用练习训练学生能得心应手地运用这一数学思想方法去探索数学问题。
三、数学思想方法的教学应遵循的教学原则
1.渗透性原则
在具体知识的教学中，通过精心设计的学习情境和教学过程，着意引导学生领会蕴含在其中的数学思想和方法，使他们在潜移默化中达到理解和掌握。
2.反复性原则
从长期的学习过程看，学生对每种数学思想方法的认识都是在反复理解和运用中形成的，期间有一个由低级到高级的认识过程，如对同一数学思想方法应注意其在不同知识阶段的再现以加强学生对数学思想方法的认识。例如，转化的思想方法在七年级讲有理数的运算时涉及转化的思想，学生借助于这一思想把减法转化为加法，把除法转化为乘法。讲到合并同类项时，要合并同类项只需转化为有理数的加减运算。逐渐地学生借助于这一思想，能把复杂问题简单化，新知识转化为旧知识来解决，转化的思想，在不同问题、不同阶段的教学中屡次出现，每次都有不同的形式。因此，日常教学中不但要注重技巧方法的教学，到了一定的阶段应上升为较高层次的数学思想方法的教学，促使学生在反复渗透中对数学思想方法的认识螺旋式上升，并能主动应用。
3.系统性原则
1 正确认识数学思想方法与能力的关系
数学思想方法是形成学生良好的认知结构的纽带。是由知识转化为能力的桥梁。一般来说，强调指导思想时称数学思想，强调操作过程时称数学方法数学思想和方法纳入基础知识范畴，足见数学思想方法的教学问题已引起教育部门的重视，也体现了我国数学教育工作者对于数学课程发展的一个共识。这不仅是加强数学素养培养的一项举措，也是数学基础教育现代化进程的必然与要求。这是因为数学的现代化教学，是要把数学基础教育建立在现代数学的思想基础上，并使用现代数学的方法和语言。因此，探讨数学思想方法教学的一系列问题，已成为数学现代教育研究中的一项重要课题。
2 有计划有步骤地渗透数学思想方法
数学基础知识是指数学中的概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映出来的数学思想方法。数学思想是对于数学知识，如数学的概念、法则、公式、公理、定理、方法等的理性的、本质的、高度抽象和概括的认识，带有普遍的指导意义，蕴涵于运用数学方法分析、处理和解决数学问题的过程之中。数学方法是研究或解决数学问题并使之达到目的的手段、方式、途径或程序。数学思想方法是数学的灵魂，数学思想方法与数学知识一样，是人类长期数学发展的经验总结和智慧结晶，是数学知识所不能替代的。所以数学思想方法的教学是数学教学中的重要组成部分，这就要求我们深入研究数学思想方法，钻研教材，在理清知识网络的同时，必须挖掘臆含于其中的数学思想方法；有目的、有意识的渗透、介绍和突出有关数学思想方法；有计划、有步骤地渗透、介绍和突出有关思想方法。
3 系统性地进行思想方法的教学
数学思想方法是以具体数学内容为载体，又高于具体数学内容的一种指导思想和普遍适用的方法。它能使人领悟到数学的真谛，学会思考和解决问题，并对学生学习和应用数学知识解决问题的思维活动起着指导和调控的作用。数学作为中等职业学校的文化必修课之一，它的任务是通过数学知识的学习，提高学生的推理能力、抽象能力、分析能力和创造能力，使学生具有继续学习的能力和创新精神，能够尽快地适应社会、服务社会。日本数学家米山国藏认为：学生进入社会以后，如果没有什么机会应用数学，那么作为知识的数学通常在出校门后不到一两年就会忘掉，然而不管他们从事什么工作，那种铭刻在人脑中的数学精神和数学思想方法，会长期地在他们的生活和工作中发挥作用。因为社会生活中有许多思维方法都和数学思想方法有着类似之处，所以在数学课程教学过程中要突出数学思想方法，这是当前中职数学教育的必然要求，也是数学素质教育的体现。下面结合中等职业学校的数学教学内容，以实例来说明课堂教学渗透的四种基本数学思想方法。
一、数形结合思想
数形结合是一种数学思想方法，数形结合思想通过“以形助数，以数解形”。“数”可以准确澄清“形”的模糊，“形”能在直观中启迪“数”的运算。正如华罗庚教授所言“数缺形时少直观，形无数时难入微”。在中等职业学校的数学教材中，数形结合的思想方法应该是最常见、最常用的一种思维方法，甚至贯穿于第一册（基础模块）教材的始终。从第一章用文氏图来描述集合的运算到第二章用二次函数的图象诠释一元二次不等式的解以及第三章开始的基本初等函数的学习过程中，应用函数的图象来直观地说明函数的性质。可以说，第一册数学教材的教学内容中，能让我们真正体会到“数形结合百般好，隔裂分家万事休”。
例如，在教材第68页选择题中的第3题：已知 a＝log0.50.6， b＝log■0.5， c＝log■■，则a，b，c满足（）。
A. a＜b＜c B. b＜a＜c
C. a＜c＜bD. c＜a＜b
这道题是不同底数、不同真数的三个对数的比较。在不用计算器的情况下，要比较它们的大小关系，最好的办法就是通过数形结合的思想方法，既形象又直观，还能让同学们再一次把握对数函数的图象与其性质之间的关系，体现其中规律性与灵活性的有机结合。
二、分类讨论思想
分类讨论思想是根据数学对象与本质属性的相同点与不同点将数学对象区分为不同种类的数学思想。分类讨论的思想是逻辑划分的思想在解数学题中的应用。它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题往往具有明显的逻辑性、探索性、综合性，能训练学生的思维条理性和概括性。因此，在中职数学课堂教学中，教师应启发学生按不同的情况对同一对象进行分类，帮助他们掌握好分类方法的原则，形成分类的思想。
例如：已知数的前n项和Sn＝2n2－n 求an .
分析：此题是数列求和的相关问题，项数n的取值对结果有着直接的影响，因此，对项数n进行分类讨论。
解：当n＝1时， a1＝S1＝2×12－1＝1.
当n≥2时， an＝Sn-Sn-1＝2n2－n－[2(n－1)2－(n－1)]＝4n－3.
在an ＝4n－3中，令n＝1得a1＝4×1－3＝S1＝1.
an ＝4n－3.
事实上，在教材的内容中所体现的分类讨论思想也无处不在：在学习指数函数y＝ax与对数函数y＝ logax的图象和性质时，显然对底数a的取值进行了分类，分成a>1和0
三、转化思想
转化思想是把一种数学问题转化成另一种数学问题进行思考的方法。把未知解的问题转化到在已有知识范围内可以解决的问题，使之得到有效的解决。正如数学家C·A·雅洁娅指出：“解题就是要把未解的题转化为已经解过的题。”数学的解题过程就是一个不断转化的过程。在教学中，要让学生认识到常用的很多数学方法实质就是转化的方法，确信转化是可能的，而且是必须的。
例如：在教材第二章不等式中只介绍了一元二次不等式和绝对值不等式的解法，并未涉及分式不等式的求解方法，但在课后练习中却出现了分式不等式的求解。针对教材这样的内容设置，笔者认为就是要让学生真正把握在求解不等式过程中所应用的转化思想。因此，在课堂教学中，再以下题为例：
求不等式■＞0的解。
分析：此类不等式为分式不等式，根据两个因式之商大于零，所以符号必相同。解分式不等式可以转化为解两个不等式组：2x－1＞0，3x＋5＞0， 或2x－1＜0，3x＋5＜0. 而这也正好是解一元二次不等式基本解的原理，所以对这个分式不等式也可以转化为一元二次不等式：（2x－1）（3x＋5）>0，从而也能够很快地归纳出一元一次分式不等式的解答规律。
四、函数思想
函数思想是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。一般地， 函数思想是构造函数，从而利用函数的性质解题。
例如：教材第66页习题A中第2题：某公司现在的年利润是5000万元，预计每年增长22%，问预计经过多少年该公司的年利润能达到12000万元？
分析：从问题中可以看出年利润是年数的函数，故可以设经过x年后，公司的利润为y万元，则
当x＝1时，y＝5000（1＋22%）
x＝2时，y＝5000（1＋22%）2
……
从而建立数学模型。
解：经x年后，公司利润为y＝5000（1＋22%）x.
这是指数函数。只要知道经过的年数就可以计算该公司利润。而此题是知道年利润反过来求年数x，所以需要转化为对数函数， 使用计算器计算x≈4.4，因此预计经过5年该公司的年利润能达到12000万元。
中等职业学校的学生将来走向职业岗位遇到的问题，都是实际问题。学会应用数学模型来解决问题，工作才能做到事半功倍，得心应手。正如在整个函数教学章节中，教材都设置了函数的实际应用举例。教师在这些例题教学中，一定要有意识、有计划、有目的地去揭示其中所隐含的数学思想方法，培养学生的函数思想。
——米山国藏《数学的精神、思想和方法》
一、问题的提出
数学思想方法是素质教育的需要和新课程标准的要求.在素质教育理念已成为广大教育工作者共识的今天，对数学思想方法教学的关注，也从幕后逐步被推到台前.
科学技术发展的数学化趋势越来越依赖于数学思想、方法的更新.现代数学日趋定量化，只有运用了数学思想方法才算成熟和取得突破性的进展，数学学科本身的发展和创新也离不开数学思想方法的突破.正因为笛卡尔把变数思想引入数学确定了解析思想，才创立了解析几何学.因而在中学数学教学中加强数学思想的教学和研究，具有促进科技发展的战略意义.
自20世纪80年代初，徐利治教授在大学数学系开设“数学方法论”课程以来，数学思想方法的研究不断深入，课程建设不断发展，越来越多的教育工作者从不同侧面对数学思想方法进行研究，但主要对理论方面谈得较多，至于教学实践方面，如“具体如何渗透、体验数学思想方法”等只是稍微提一提，没有作深入研究.
二、数学思想方法的含义
我们认为，所谓数学思想是对数学知识的本质认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点，它在认识活动中被反复运用，带有普遍的指导意义，是建立数学和用数学解决问题的指导思想，例如：模型思想、极限思想、统计思想、最优化思想、化归思想、分类思想等.
对于数学思想和数学方法的关系，张奠宙教授讲，二者实际上没什么区别，评价数学成就的地位、价值时，称数学思想；用数学成就解决某个问题时，称数学方法.例如关于统计思想方法，我们知道，进行统计推断的方法有两大类——统计估计和统计检验，每一类又都有各自的方法.但它们都是在总的指导思想即统计思想——从局部（样本）推断整体（母体）思想下进行的.这样看来，要将数学思想和数学方法完全区分开来是困难的，我认为这种分开也是不必要的，于是把它们统称为“数学思想方法”.
三、数学教学中常见的数学思想方法
数学中用到的各种解题方法，都是体现着一定的数学思想的，所以我们认为，数学教学中的数学思想方法主要有符号化思想、函数与方程的思想、集合与对应思想、化归思想、数形结合思想、公理化与结构思想、整体与分类思想、数学模型思想、极限思想、概率与统计思想等.一般讲，数学中分析、处理和解决数学问题的活动正是在数学思想方法指导下，选择和运用相应方法通过一系列数学技能操作来完成的.
四、数学思想方法的教学价值
1.完善认知结构
根据学习的认知理论，数学学习过程是一个数学认知过程，即新的学习内容和学生原有数学认知结构相互作用，形成新的数学认知结构的过程.
例如，学生在学习线性代数中线性方程组的有关知识时，如果教师能从方程组知识中进行整理和提炼，用“转化”“消元”等方法提炼出方程组系数之间的关系（见下图），图中有两条路径：一条是用联立方程形式做同解变形，这就是高斯消去法，用虚线箭头标出；另一条是用方程组的增广矩阵做行初等变换.两条思路其实是用不同的工具表达同一个过程，最后都归结到方程组的最简形式.从而优化了的关于方程组新的知识结构，这种知识结构对学生个体作用的结果，必将是数学认知结构的不断完善.可见数学思想方法的教学对优化、发展、完善学习者的数学认知结构有着十分重要的影响.
2.指导学习迁移
迁移是一种学习对另一种学习的作用和影响，它是学习中的普遍现象，学习之间的这种影响有时是积极的，有时是消极的.凡一种学习对另一种学习起促进作用的，是正迁移，凡一种学习对另一种学习起抑制作用的，则为负迁移，学习可以“由此及彼”“举一反三”，正是正迁移的积极作用的影响.从数学教育的目的来说，应该追求的是一种数学学习对另一种数学学习的正迁移.
3.促进思维的发展
数学常被誉为思维训练的体操，这反映出数学思维训练对改善思维品质、提高思维能力、掌握思维方法的重要影响.数学思想方法作为对数学知识形成的基本的看法，是人们学习和应用数学知识过程中思维活动的导航器，把握了它就等于找到了思维训练的突破口.如果说历史上是数学思想方法诱发了数学家们创造性思维的火花，推进了数学科学的发展，那么在当今的教学中，是数学思想方法在传导着数学的精神，在塑造着人的灵魂，在对一代人的数学素质（尤其是思维素质）施加着深刻而持久的影响.例如，定积分最精要的思想是“近似”，最精要的手段是“取极限”，让学生理解了这些思想，举一反三，在理解了定积分的概念之后，就能够很容易地理解二重积分、三重积分、曲线积分、曲面积分的概念.每一个数学定理、公式都有“缺陷”或局限性，我们老师应特意讲出这种“缺陷”及发展前景，以及悬而未决的问题，进一步培养学生合理猜想的数学素养、探讨问题的兴趣及创新思维的能力.
4.发现解题途径
认知心理学认为，问题的求解过程可以视为从初始状态到目标状态的运动，它通过一系列操作（主要是思维操作）来实现从一种状态的变更，整个问题解决的过程便构成为一个受目标指引的认知性操作序列.波利亚认为，解题的过程就是不断变更题目的过程，他说，如果不“变更问题”，我们几乎不能有什么进展，“变更问题”是“怎样解题”的主旋律.
例如微积分中值定理应用中寻求辅助函数的方法，是一种颇具有特色的构造性方法，掌握了这种方法就可以训练学生的开拓性思维.而且，几个微分中值定理的条件、结论以及各定理之间极微妙的关系均可用于激发学生的联想.通过这几个问题引入可以找出处理问题的方法是否唯一，有无一题多解，改变一下问题的条件会怎样，换个角度、变换下次序考虑结果又会怎样，等等.作为数学教学的任务就是提出问题和解决问题，掌握了数学的思想方法也就提供了抽象的逻辑推理工具，思路开阔自由，善于从不同角度不同方向提出问题和寻找解决问题的途径.
2.该案例中的数学思想方法
（1）极限的数学思想方法、运动变化的思想方法
极限的思想方法也即无穷的思想方法是初等微积分的基本思想方法，在级数这一章的教学中体现得尤为明显.所谓极限思想（方法）是用联系变动的观点，把所考察的对象（例如级数）看作是某对象（无限个数相加）在无限变化过程中变化结果的思想（方法），它出发于对过程无限变化的考察，而这种考察总是与过程的某一特定的、有限的、暂时的结果有关，因此它体现了“从有限中找到无限，从暂时中找到永久，并用使之确定起来”（恩格斯语）的一种运动辩证思想，它不仅包括极限过程，而且又完成了极限过程，也就是说，它不仅是一个不断扩展式的“潜无穷”过程，又是完成了的“实无穷”，因此是“潜无穷”与“实无穷”的对立统一体.例如级数概念的建立过程即若数列{un}，各项连加u1+u2+u3+…+un+…=∑∞[]n=1un称为数值级数，简称级数.
有限和是我们熟知的，但无限和对我们是陌生的.怎样来计算无限和呢？无限和叫作
什么？因此，求很多个数的和是一个未知的新概念，它是有限和的推广.
（2）另外，在解题的过程中各种数学思想方法是综合运用的，如将级数的收敛与发散转化
一、优质的学习资源是条件
一份好的学习资源，不仅能传递数学基础知识的信息，还能成为渗透数学思想方法的有效载体. 新课程标准的教材在内容呈现上符合了这样的要求，比如“鸡兔同笼”的教学内容就渗透了“替换法”、“函数”、“消元法”、“代数”等多种数学思想方法.
二、良好的渗透意识是前提
一份再精良的具备数学思想方法的学习资源，如果教师在实施过程中无法意识到它的存在，或是教师没有渗透数学思想方法的意识，那么说渗透也是一句空话.
三、高效的教学策略是关键
数学思想方法作为隐性的、潜在的知识，本身不易为学生清晰地感知与把握. 那么如何才能在课堂上落实数学思想方法的渗透呢？如何使某种数学思想方法植根于学生的原有知识系统？我们教会了学生许多的数学思想与方法，学生又能否把某种数学思想方法准确地运用在具体问题中呢？如：什么情况下要使用鸡兔同笼的解决策略、什么时候应用抽屉原理解决问题，什么情况下使用田忌赛马的策略、什么时候又使用众数、中位数、平均数……诸如此类，不一而足. 我们无法一一列举所有的具体问题，所以只能教给他们解决问题的数学思想方法与解决问题的策略，教给他们辨析选择方法的能力，帮助学生建构逐渐完整的知识结构，提升他们的数学思考能力与问题解决能力，从而让他们在今后的数学思考中能够恰当地应用思想方法解决新的问题.
案例呈现：苏教版五年级数学下册《解决问题的策略―倒推》
主要教学流程如下：
1. 教师动态演示：两杯果汁共400 ml，甲杯倒入乙杯40 ml后两杯同样多，原来两杯各多少？把你的思考过程记录在纸上、并进行反馈交流.
40 ml
甲 乙 甲 = 乙
2. 一杯果汁，老师喝了80 ml，又倒进60 ml，现在有240 ml，原来有多少？（教师要求学生摘录整理条件、解答反馈、并引导学生用顺推方法进行检验. ）
原来？ 喝了80 ml 倒进60 ml 240 ml
3. 这样摘录有什么好处？
4. 为什么都用倒推的策略来解决这个问题？
5. 到底怎样的问题适合用“倒推”的策略？
6. 在一个面积256平方米的池塘里，放入0.5平方米的水浮莲. 如果水浮莲日长一倍，10天正好铺满整个池塘. 问：第4天水浮莲的覆盖面积有多大？第6天、第9天呢？
案例赏析：案例中，教师先通过两个情境相似的例题展开教学，由易而难，引导学生通过摘录的方法整理信息，初步建立可使用“倒推策略”问题的基本模型及解决问题的基本方法. 通过思考“摘录”的好处、为什么都用倒推的策略来解决这个问题、到底怎样的问题适合用“倒推”的策略，让学生明确能用倒推策略解决的问题特征，使学生在反思自己解决问题过程中，促进策略的有效形成. 再通过两道似是而非的习题的对比练习，进一步强化能否使用“倒推策略”解决问题的特征及使用“倒推策略”解决问题时必须抓住“按序倒推”这一关键，完整建构应用这一策略的知识体系与思考模型. 最后一道习题有针对性地对学生进行了策略选择能力的训练，让学生学习根据实际问题灵活选择“顺推”、“倒推”的解决策略，对学生进行了思维灵活性训练，活化学生的思维，提升思维品质，促进良好数学思想方法体系的形成.
案例给我们提供的行动策略是：
1. 问题情境的创设简单连贯
本课的问题情境围绕“倒水”、“喝水”而创设，问题简单、连贯，剔除了影响学生思维的不利因素，便于学生及时准确地洞察问题本质，揭示知识间的内在联系.
2. 经历数学思想方法的形成过程
课上，老师留给学生足够的动手、思考的时间和空间，让学生在充分地感知、经历、应用、建构模型、反思内化、比较、选择等活动中，经历数学思想方法形成的全过程，使之对数学思想方法有深刻的感悟与全面的认识.
3. 新旧思想方法的相互交融
教学中教师综合应用了已学的策略―列表、摘录、画图，使之服务于倒推策略的理解深化，领悟到倒推策略的意义及其特点，从而建立数学模型，体验在特定问题情境下用倒推策略解题的优越性，把新的数学思想方法有机地融入原有的知识体系.
4. 抓住关键进行辨析
通过抓住关键进行辨析、比较，使学生建立完整清晰的数学模型，从而能够正确地应用在相应的具体问题中，避免在“似是而非”的问题面前出现错误应用.
数学学习离不开思维，数学探索需要通过思维来实现，在初中数学教学中逐步渗透数学思想方法，培养思维能力，形成良好的数学思维习惯，既符合新的课程标准，也是进行数学素质教育的一个切入点。
“数缺形，少直观；形缺数，难入微”，数形结合的思想，就是研究数学的一种重要的思想方法，它是指把代数的精确刻划与几何的形象直观相统一，将抽象思维与形象直观相结合的一种思想方法。
数形结合的思想贯穿初中数学教学的始终。数形结合思想的主要内容体现在以下几个方面：（1）建立适当的代数模型（主要是方程、不等式或函数模型），（2）建立几何模型（或函数图象）解决有关方程和函数的问题。（3）与函数有关的代数、几何综合性问题。（4）以图象形式呈现信息的应用性问题。采用数形结合思想解决问题的关键是找准数与形的契合点。如果能将数与形巧妙地结合起来，有效地相互转化，一些看似无法入手的问题就会迎刃而解，产生事半功倍的效果。
数形结合的思想方法，不象一般数学知识那样，通过几节课的教学就可掌握。它根据学生的年龄特征，学生在学习的各阶段的认识水平和知识特点，逐步渗透，螺旋上升，不断的丰富自身的内涵。
教学中可以从以下几个方面，让学生在数学学习过程中，通过类比、观察、分析、综合、抽象和概括，形成对数形结合思想的的主动应用。
渗透数形结合的思想，养成用数形结合分析问题的意识，每个学生在日常生活中都具有一定的图形知识，如绳子和绳子上的结、刻度尺与它上面的刻度，温度计与其上面的温度，我们每天走过的路线可以看作是一条直线，教室里每个学生的坐位等等，我们利用学生的这一认识基础，把生活中的形与数相结合迁移到数学中来，在教学中进行数学数形结合思想的渗透，挖掘教材提供的机会，把握渗透的契机。如数与数轴，一对有序实数与平面直角坐标系，一元一次不等式的解集与一次函数的图象，二元一次方程组的解与一次函数图象之间的关系等，都是渗透数形结合思想的很好机会。
如：直线是由无数个点组成的集合，实数包括正实数、零、负实数也有无数个，因为它们的这个共性所以用直线上无数个点来表示实数，这时就把一条直线规定了原点、正方向和单位长度，把这条直线就叫做数轴。建立了数与直线上的点的结合。即：数轴上的每个点都表示一个实数，每个实数都能在数轴上找到表示它的点，建立了实数与数轴上的点的一一对应关系，由此让学生理解了相反数、绝对值的几何意义。建立数轴后及时引导学生利用数轴来进行有理数的比较大小，学生通过观察、分析、归纳总结得出结论：通常规定右边为正方向时，在数轴上的两个数，右边的总大于左边的，正数大于零，零大于负数。让学生理解数形结合思想在解决问题中的应用。为下面进一步学习数形结合思想奠定基础。
结合探索规律和生活中的实际问题，反复渗透，强化数学中的数形结合思想，使学生逐步形成数学学习中的数形结合的意识。并能在应用数形结合思想的时候注意一些基本原则，如是知形确定数还是知数确定形，在探索规律的过程中应该遵循由特殊到一般的思路进行，从而归纳总结出一般性的结论。
学习数形结合思想，增强解决问题的灵活性，提高分析问题、解决问题的能力在教学中渗透数形结合思想时，应让学生了解，所谓数形结合就是找准数与形的契合点，根据对象的属性，将数与形巧妙地结合起来，有效地相互转化，就成为解决问题的关键所在。
数形结合的结合思想主要体现在以下几种：
（1）用方程、不等式或函数解决有关几何量的问题；
（2）用几何图形或函数图象解决有关方程或函数的问题；
（3）解决一些与函数有关的代数、几何综合性问题；
（4）以图象形式呈现信息的应用性问题。
关键词：新课程 思想方法 数学教学 精髓
随着新课程的实施，新的教学理念在教学实践中得以体现，师生的角色随之发生了变化，教学方式和学习方式也在不断地变化着，“合作交流”的学习方式已成为数学课堂学习的主旋律，数学课堂逐渐活起来了。但无论教学方式和学习方式怎样变。数学思想方法教学始终应是数学教学的核心。因为数学思想方法是人类思想文化宝库中的瑰宝，是数学的精髓。《数学课程标准》在总体目标中提出：通过义务教育阶段的数学学习。使学生能够“获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识(包括数学事实、数学活动经验)以及基本的数学思想方法和必要的应用技能。”在数学教学中，教师有计划、有意识、有步骤地渗透一些数学思想方法，是体现义务教育性质。落实课程目标，提高学生数学素养的重要举措。那么怎样在教学实践中加强数学思想方法的教学呢?
一、更新观念，提高认识是前提
数学知识本身固然重要，但它并不是唯一的决定因素，真正对学生以后的学习、生活和工作长期起作用的，并使其终身受益的还是数学思想方法。未来社会将需要大量具有较强数学意识和数学素质的人才。2l世纪国际数学教育的根本目标就是“问题解决”。因此，向学生渗透―些基本的数学思想方法是未来社会的需求和国际数学教育发展的必然结果。
数学教学的根本任务是全面提高学生素质，其中最重要的因素是思维素质，而数学思想方法就是增强学生数学观念，形成良好思维素质的关键。如果将学生的数学素质看作―个坐标系。那么数学知识、技能就好比横轴上的因素，而数学思想方法就是纵轴的内容。淡化或忽视数学思想方法的教学。不仅不利于学生纵横两个维度上把握数学学科的基本结构，也必将影响其能力的发展和数学素质的提高。因此，向学生渗透一些数学思想方法，是数学课标的基本要求，是数学课改的新视角，是进行素质教育的突破口，是数学教学的核心。
数学概念、法则、公式、性质等知识都明显地写在教材中，是“有形”的。而数学思想方法却隐含在数学知识体系里，是“无形”的，并且分散于各册教材的各章节中。教师讲不讲。讲多讲少，随意性较大，有的教师常常因教学时间紧将它作为“软任务”挤掉，对于学生的要求是能领会多少算多少；也有的教师在教学过程中不相信学生，往往越俎代庖，一讲到底，没有给学生思考的时间。因此，作为数学教师首先要更新观念。从思想上不断提高对渗透数学思想方法重要性的认识。把掌握数学思想方法纳入教学目标，把教学数学思想方法融入全教学过程之中。其次要深入钻研教材，努力挖掘教材中可以进行数学思想方法的各种因素，对于每一章每一节，都要考虑如何结合具体内容进行数学思想方法渗透。渗透哪些数学思想方法，怎么渗透，渗透到什么程度，应有―个总体设计，提出不同阶段的具体教学目标。第三，在教学环节的设计与实施中，要以知识学习为“明线”，以数学思想方法的教育为“暗线”，且这两条线始终贯穿于整个教学过程之中。
二、寻找载体，重视过程重点
数学思想方法的渗透是以数学知识为载体，在学生学习过程中悄悄地得以完成的。离开基础知识的教学，数学思想方法渗透就会变成无源之水。纵观数学教材。能够渗透数学思想方法的因素是非常广泛的。以函数思想为例，小学数学从一年级开始，就通过填数图、韦恩图等形式，将函数思想渗透在许多例题与习题之中；在统计图表学习中，用图表将函数思想的核心即对应关系直观化和具体化；在初中教材中出现的几何图形的面积公式和体积公式，实际上就是用解析法来表示变量之间的函数关系，等等。
数学思想方法的获得依赖于对数学知识学习过程的分析、提炼和概括。重视数学思想方法教学必须重视数学活动过程的教学。只有重视概念的形成过程、法则的提出过程、定律的归纳过程和公式、性质的推导过程，以及解题思路的分析探索过程、解题方法与解题策略的总结过程。才能使学生从中体验到数学知识得以产生的基础。以及数学知识蕴涵的数学思想方法。
新课程有步骤地渗透数学思想方法，尝试把重要的数学思想方法通过学生可以理解的简单形式，采用生动有趣的事例呈现出来。教师要认真研究、分析教材意图，在教学中以数学知识为载体。着力引导学生对知识形成过程的理解，经历数学知识的发现与生成的动态过程，让学生逐步领会蕴含其中的数学思想方法。教师要站在数学思想方法的高度，对其教学内容，用恰当的语言进行深入浅出的分析，把隐藏在具体知识内容背后的思想方法挖掘出来，使之成为学生可以理解的，也是可以学到手的。
如“三角形面积公式”的教学，应让学生通过用两个完全一样的直角三角形、锐角三角形、钝角三角形动手拼摆、观察、讨论等一系列活动，让学生从中体会到如何运用转化的数学思想方法来获取新知。
三、掌握方法，把握时机是关键
为了更好地在数学教学中渗透数学思想方法的教学，教师不仅要对教材认真研究，潜心挖掘，而且还要思考渗透的手段和方法。所用的手段和方法必须顺应学生的认知特点，能够实现预期的目标。数学思想方法渗透一般常用直观法、问题法、反复法和剖析法四种。所谓直观法就是以图表的形式将数学思想反复直观化、形象化。直观法的特点是能够将高度抽象的数学思想反复变成学生容易感知的具体材料，特别是生动有趣的图画能给学生留下鲜明的印象，唤起学生对数学学习的兴趣。问题法是指学生在教师的启发下，在探求问题答案的过程中，通过回顾、思考、总结，逐步领悟数学问题的规律性，进而加深对解题方法、技巧的认识。反复法是指通过同一类情景的多次再现，让学生持续接受某一数学思想反复的熏陶。例如，归纳法的渗透就是通过加法运算律、乘法运算律、除法商不变的性质等内容的学习逐步实现的。剖析法是解剖典型的范例，从方法论的角度用学生能够理解的数学语言去描述数学现象，解释数学规律。
四、勤于练习，善于提炼是核心
数学大师华罗庚曾说过：学习数学不做题等于人宝山而空返。因此，在数学教学中，解题是最基本的活动形式。数学习题的解答过程，也是数学思想方法的获得过程和运用过程。任何一个问题，从提出直到解决，都需要某些具体的数学知识，但更多的是依靠数学思想方法。所以。学生做练习，不仅会对已经掌握的数学知识以及数学思想方法起到巩固和深化作用，而且还会从中归纳和提炼出“新”的数学思想方法。
数学思想方法的学习过程首先是从模仿开始的。学生按照例题示范的程序与格式解答与例题相同类型、结构的习题，实际上是数学思想方法的机械运用。此时，并不能肯定学生领会了所用的数学思想方法，只有当学生将它用于新的情境、能够解决其他有关问题时。才能肯定学生对这一数学本质、数学规律有了深刻的认识。
