时间：2023-10-11 16:23:01
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1.创设问题情境，培养学习数学思维
数学学习更加关注学生思维的创造性，通过问题的解决，从而不断克服困难，不断增强学生的自信心，增强学生学习数学的积极性与主动性，进而更好地进行数学学习。如关于x的方程：x3-ax-2ax+a2-1=0，有且只有一个根，求a的范围。关于这个问题，有很多的解法，但是学生在进行解答时，往往是将x作为主元，通过对于x的解答，然后对a进行讨论，从而得出结果。但是遗憾的是，所得出的结果往往是错误的，因为解答的出发点不对。关于这种问题，老师可以根据问题，对于学生进行点拨：这个方程式主要有两个未知元素x和a，如果未知元素x的道路走不通，那么可以试试未知元素a，这样反客为主，从而解决问题。通过数学的活学活用，提起学生的数学学习兴趣，进而增强学生的自信心，提升学生的数学学习水平与能力，开创学生的数学思维。
2.运用片段式课件，突出课堂重难点
在以往的高中数学教学中，很多数学教师运用多媒体辅助教学时，基本上运用的课件都是整课式的，课件上的内容和方法也都已经基本固定下来了，教师在课堂上只能按部就班地按照固定的形式组织教学，学生的思维容易受到限制，师生之间正常沟通交往也受到束缚，师生的思维都被人为地锁定在一个预设的范围里。而如果我们运用片段式课件开展教学，则可以极大地弥补整课式教学所带来的不足，每个片段之间留有一定的时间，学生可以充分思考，师生之间、生生之间开展交流，学生的主观能动性可以得到更充分的激发，学生的主体作用也能得以淋漓尽致地体现，课堂教学的交互性得以增强。此外，应用片段式课件还有助于课堂教学中合理选材。多媒体教学作为一种开展课堂教学的高效平台，如果我们过于追求课件本身的整体结构和完美，则难免会使得课件中融入一些无关的内容，淡化真正的课堂主题，学生不能深入理解教学内容了。为此，我们教师要做好课件的选材，就必须采用片段式课件，针对每一独立的知识点，设计课件，从而使课堂变得更简洁、生动、清晰，学生一目了然，把握课堂的重难点。
3.强化学法指导，促进解题模块的形成
学生解题模块的形成是需要通过自己的努力而实现的，这便要求老师在进行教学总结的时候，不断培养学生归纳总结，从而帮助学生形成完整的认知结构。为此，老师在进行数学教学的时候，应该有意识地引导学生和自己一起进行类型的归纳和总结，一起摸索解题的规律，这样能够帮助学生在潜移默化中真正地学会知识的总结和运用，从而不断地提高自己的自主学习能力，更好地进行数学知识的学习。首先老师应该将一题多解这种方式运用进去，让学生找到不同的解题方法，从而培养学生思维的发散性和灵活性，在这个过程中，学生的数学兴趣以及自主学习的积极性也会有明显的提高，这对学生的数学学习非常有利；此外，在教学的过程中，老师也应该给学生足够的时间让其进行反思和思考，从而让学生抓住思维的收敛性和深刻性，不断提高自身的数学模块意识，提高自己的数学水平。
4.细化教学环节，落实教学总体目标
（1）科学评价。高中数学老师要深入分析数学教学内容，结合教学课程标准，并充分了解学生的特征，使案例设计更加科学化。设计问题时，让学生以小组的方式参与其中，激发学生学习的积极性，对学生知识、技能、参与过程、方法等方面进行评价，从而让课堂评价更科学合理。
（2）目标准确。目标是课堂教学的指南，只有我们制定了科学合理的目标，才能使课堂教学有章可循，因此，教师在进行教学设计时，一定要针对教学内容，全方位科学合理地优化教学目标，奠定课堂高效的基石。
（3）教师引导。在教学中，教师要注意突出学生的主体地位，让学生参与到教学中去，通过小组讨论、合作的方式，让学生主动学习，进行探究式学习，以提升自己。对于基础题，要求学生独立完成，让学生通过自己的归纳、分析，运用相关的条件进行证明。对于拓展性的习题，可分组练习，以小组为单位进行讨论，教师在一旁进行指导，培养学生的数学思维。整个案例都体现了对学生特征的理解和尊重，鼓励不同层次的学生，使每个学生都能获得进步，并分层次布置作业，做到因材施教。
【关键词】高中数学教学；微课；应用；探讨
伴随着近几年互联网的飞速发展，网络已经与我们的学习与生活密不可分了，介于此，学生的思维越发活跃，传统的教学方式已然不能完全满足学习者的需求。社会各界教育人士在新课改的影响下，为了顺应当下的时代背景马不停蹄地在互联网中寻找教育突破口，教育者们对于教育信息化的迫切需求使得微课应运而生。如何将这种新型的教育模式融入到传统的数学课堂这一问题也随之而来，本文将从多方面角度来分析微课在高中数学教学中的应用及制作方法。
一、微课应用在高中数学教学中的意义
（一）微课的主要特点
相对于较宽泛、较死板的传统课堂[1]，微课的内容更加精简、新颖、富有多样性，微课使问题聚集，主题突出，更适合广大教师的需求。教学视频是微课的核心内容，根据高中生的认知能力和学习规律，教师可以贴合学生的实际来制作最适宜的视频长度，以保证学生最大限度地掌握传授知识。除了上述的部分特c，微课还有着资源容量小、主题突出内容具体、草根研究趣味创作及成果简化多样传播等优点。也使得教师在教学过程中根据教学任务和学习的客观规律，从学生的实际出发采用微课这种新颖的方式，启发了学生的思维，调动了学生学习的主动性、积极性，从而促使学生对数学教学更感兴趣。
（二）微课的作用及影响
相比于传统课堂以教师为主导且仅仅靠一块黑板传授知识的教学模式，微课的表现形式更为直观，通过声音、图形、文字相结合[2]，很大程度上提高了学生自主学习的积极性。高中数学知识中有许多知识点是与日常生活密不可分的，微课的最大好处就体现在可以将生活情景轻松进行模拟，学生通过微课这一学习途径，还可根据自身对知识点的理解情况利用视频的暂停、重播功能反复对疑难知识点进行掌握和巩固，不仅适合当下学生个性化的学习需求，而且还提高了学生学习的主动性，培养学生学习热情。
二、高中数学微课制作分析及应用
（一）高中数学微课制作
“关注孩子每一个微变化，从小处着手，创建一个真正属于学生自己的课堂”，以上便是微课所遵循的宗旨，面对在高中数学中众多的重点、难点，同时也是为了让学生能更好地理解、掌握知识，制作好微课尤为重要。教师要熟悉教材和学生的情况，再融入自身多年对于数学教学的经验及心得，在制作微课时，教师还要熟悉教材的整体规划、重点难点以及课标要求，更要明确在实际的课堂实践中，学生的困惑和障碍点所结之处。其中必不可少的是教师要有好的教学策略或者创意，要站在学生的角度以好的策略或者创意去解决数学教学中的难点，同时还要把微课的特点与课题的内容紧密结合。微课的精髓之处便在其“微”字，正规课堂的时间都是在45分钟左右，那么既然要应用微课，制作微课的时候一定不要使其时间过长，最理想的长度是在10分钟以内，在充分考虑了学生认知水平的前提下，巧用多媒体手段，积极调动起学生的主动性、积极性，微课内容简洁生动，不遗漏重点、不缺失主题、不拖沓进度，同时所用的语言也要简明扼要、一针见血。而在对微课内文字、视频、图像的处理上也有更加用心，微课内主要凸显的是教学内容，图片等内容避免过于花哨[3]，以免扰乱学生的注意力。
（二）高中数学微课应用策略
微课作为一项新颖的信息技术产物，不仅仅可以在课堂内来运用，同时也可以恰到好处地运用在课堂外，这样学生及时回到家也可以及时地准确掌握所学知识点。在微课的讲授中，要尽可能地只有一条线索，与此同时，要突出重点内容，着重对主干知识进行剖析与讲解，同时也要伴随着教师积极的引导，力争在有限时间内圆满地完成课题所规划的教学任务。在数学课堂上，板书也不宜太多，要真正起到对内容要点的提示作用，要多多利用多媒体教学，同时借助挂图、实物等展示，起到了节省时间的作用。高中数学相比于初中数学有着很大的难度提高，而且还具有抽象性。拿经典的函数图像来说，一般情况下，函数一直以来都是数学教学中的重点同时也是数学教学当中的难点，学生缺少对逻辑思维的培养，导致了对函数参悟不透、理解能力差，而光靠教师反复指点也会造成学生对于学习函数的兴趣度下降。微课的出现恰好打破了这一瓶颈，通过多媒体与网络技术，即便是复杂的函数图像或者解析过程都可以更直观地呈现在学生的面前，这时教师便可以让学生进行自主探究，引导学生自主学习，从而增强了与学生之间的交流沟通，也使数学课堂变得生动有趣、丰富多彩。
结语
微课虽然短小，比不上一般课程宏大丰富，但是它的意义非凡、效果明显，乃是如今非常重要的教学资源。微课的知识内涵和教学意义巨大，看似进度慢，但稳步推进，实际教学效果显著。经过教师精心制作的信息化教学设计，使学生自主学习达到最佳的学习效果，通过积少成多、聚沙成塔的作用，通过不断地累积微知识、微学习，最终达到大道理、大智慧。
参考文献：
[1]张辉.高中数学微课制作及微课在教学中的应用[J].考试周刊，2015，05：44-45.
一、基于深度学习的高中数学教学设计基本要求
《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出：高中数学教学要在学生有意义学习的基础上发展学生的数学学科核心素养。对此，数学教师应切实做好基于深度学习的数学教学设计，即深入理解分析教学内容、挖掘教学内容蕴涵的思想方法、梳理教学内容内在的框架结构、遵循教学内容严密的逻辑生成。简言之，基于深度学习的高中数学教学设计要体现“注重理解性”“渗透思想性”“把握整体性”“恪守逻辑性”等方面的基本要求。
1.注重理解性
深度学习是学习者提高学习质量的有效方式，学习者可通过深度学习灵活理解学科知识并应用其解决实际问题。所谓注重理解性，是对知识通性、通法、共性的深度认识，它是数学教学中的基本要求，是学生掌握数学知识、发展数学素养的有效手段。《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出要培养学生学科核心素养，主要指学生通过学科学习而逐步形成的正确价值观念、必备品格和关键能力，但相关研究表明学生仅通过简单记忆和机械式应用无法达到课标的要求。而深度学习作为一种教学理解和教学设计模式，旨在通过理解分析教学内容，设计有助于学生深度思考的教学活动，使体现学科本质、关注学习过程和富有深度思考的学习活动真正发生。可见，深度学习的重点在于引导学生在学习过程中产生认知冲突，进而组织学生全身心地参与学习活动，让学生体验成功、获得发展，以提升学生的综合素养。因此，在深度学习的数学教学过程中，学生要理解数学的核心内容，并在经历数学知识的发生发展历程中把握所学内容的数学本质，从而促进学生核心素养的发展。总之，要实现学生的深度学习，落实数学核心素养，数学教学设计就必须基于学情，确立“适切”的深度学习目标，且精心设计教学及评价任务，进而引导学生深度理解。
2.渗透思想性
在深度学习的数学教学过程中，渗透数学思想是培养学生思维能力的一种有效路径，它能促使学生形成自己的学习方式，逐步提升学习效率。所谓数学思想，是指数学知识、方法在更高层次上的抽象概括和最本质的认识。但如何在数学教学中渗透数学思想？研究发现：教师深度教学与学生深度学习相结合是渗透数学思想的重要方式，即深在学生参与，倡导积极主动的学习态度；深在课程内容，倡导知其所以然的思想意识；深在学习过程，倡导学以致用的教育理念；深在学习结果，倡导批判思维的学习策略。因此，教师在设计数学课堂教学时，要让学生学会通过深度学习将自身获取的点状、片段、孤立的知识、思想内化为必备品格和关键能力。让学生经历深度学习的思维过程，促使学生分析问题、解决问题、批判思维、创造思维等能力得到显著发展，从而强化学生的数学思想意识，发展学生的数学核心素养。
3.把握整体性
整体把握数学学科主题，聚焦核心素养主线，系统设计课堂教学是指向深度学习的数学教学设计基本策略。所谓把握整体性，即数学知识不是孤立的“点”，数学教师要从整体上把握彼此联系的基本命题或概念体系等。从深度学习的目标来看，数学整体性教学设计培养学生会用数学的眼光观察现实世界，从中体现数学的抽象性；会用数学的思维思考现实世界，从中体现数学的严谨性；会用数学的语言表达现实世界，从中体现数学的应用性。从深度学习的内容来看，数学整体性教学设计一方面要求教师在讲解教材中显性知识时，应引导学生透过现象发现数学的本质，深度理解数学的思想方法等隐性知识，进而达到显隐知识的动态转化；另一方面要求学生能将零散的数学知识整合，能系统梳理知识框架，能架构科学的、合理的知识体系。因此，教师在设计教学时应把握整体性，积极引导学生在知识迁移与应用的过程中发展数学核心素养。总之，整体把握数学教学设计需要有效解决课时间的零散性与知识间的孤立性，单元间的割裂性与学科间的无关联性等问题，从而更好地揭示数学知识的本质，促进学生学习的迁移类推，进而达到深度学习，为学生的自我发展奠定基础。
4.恪守逻辑性
问题是数学教学的引领和驱动，而数学教学实质上是数学问题不断得以解决的认知过程，故问题特色是设计教学的逻辑起点，它贯穿于目标、过程、评价及反思等环节之中。同时教材的内容体系编排总是遵循知识点间的相互联系及其框架的逻辑结构。对此，基于深度学习的高中数学教学设计要恪守逻辑性是重中之重。所谓恪守逻辑性，是指教学内容设计符合逻辑框架、具有一定的逻辑特点和逻辑规则。可见，教师需按照合情合理、合乎逻辑的学习要求，整体梳理数学知识框架、把握数学本质促进知识理解，培养学生逻辑思维能力，促进其深度学习。因此，高中数学教师在设计教学时，应结合数学课程标准的相关理念及要求，从知识逻辑结构的视角研究课程、组织学材，关注知识点间的内在逻辑，使得相关知识形成一个完整的知识链条和结构体系，从而把握知识的系统性，进而促进学生数学核心素养的发展。
二、基于深度学习的高中数学教学设计优化策略
指向深度学习的教学设计是教师对学科知识本质和学生学习的具体的、深入的设计。这就要求教师在整体理解教学内容、目标、学情的基础上完成教学设计，具体应掌握如下教学设计优化策略。1.密切联系实际生活，引导学生理解数学本质数学本质是教学设计的本意和本然状态，教学中的创意不能偏离教学的本真意义，不能脱离学生的原有经验，更不能背离教学目标制造虚假的创造。如“三角函数的概念”的情境引入环节，教师可设计：一个游乐场的摩天轮设施，假设它的中心离地面高度为h0，它的直径为2，以逆时针方向匀速转动，转动一周需2分钟，若此刻座舱中的你从初始位置OA出发，过了15秒后，你离地面有多高？过了30秒呢？45秒呢？教师借此引导学生理解抽象知识，培养学生数学思想及解决实际问题的能力。可见，基于深度学习的数学教学设计要从学生的学情出发，借助信息技术整合相关数学教学资源，教学素材要密切联系学生生活实践，在引导学生自主探索、动手实践的过程中理解数学本质，从而构筑栩栩如生的数学课堂。
2.精心创设问题情境，帮助学生掌握思想方法
数学教学中的深度探究由数学问题情境引发，在解决数学认知冲突中展开，并在不断解决数学问题的过程中实现知识技能与思想方法总结两个核心目标。如“三角函数的概念”的探索新知环节，教师可设计：若在摩天轮座舱中的你从初始位置OA出发，过了15秒后，你在什么位置呢？你离地面有多高呢？过了30秒呢？45秒呢？60秒、75秒、90秒、105秒呢？让学生感知数学与生活的紧密联系，探究其中蕴含的数形结合等思想方法。可见，在基于深度学习的教学设计中，教师要精心创设有效的、丰富的教学情境，培养学生的问题意识，既让学生理解数学知识，更让学生掌握研究问题的方法、探究问题的思路及如何构建知识体系的能力，进而发展学生的数学核心素养。
3.整体把握教学思路，引领学生实现知识迁移
数学课中的教学内容都是相应数学分支中的点，只有教师站在整个分支的高度来设计教学，才能从整体上把握所授内容的地位与作用、能力与要求、系统与建构，才更有利于学生真正理解和掌握相应的数学知识内涵、方法运用、思想本质。如“三角函数的概念”的巩固训练环节，教师可设计：小明同学在游乐园乘坐旋转木马，他在半径为2的圆上按顺时针方向做匀速圆周运动，角速度为1rad/s，求2s时他所在的位置。可见，教师在进行基于深度学习的教学设计时应整体把握教学思路，既要注重知识技能的讲解，也要注重基本思想方法及基本活动经验的培养，并通过巩固训练环节引领学生探析知识的迁移运用，增强学生从数学的角度发现、提出、分析、解决问题的能力，进而发展学生的数学核心素养。
关键词：生活；根植；策略
相对于义务教育阶段的数学学习而言，我们总认为高中的数学知识是抽象的，有了这样的认识，意味着高中数学知识的学习往往又将以逻辑推理为主，即新的数学知识总是在旧的数学知识的基础上推理出来的，这也就是人们常说的“知识生知识”. 相比之下，很多时候合情推理以及与生活联系密切的学习过程往往不容易发生在高中数学课堂教学中，我们认为这种策略有时是不恰当的，对于高中生完整构建数学知识体系是不利的. 我们可以这样考虑，正是因为高中数学知识的抽象性，以及高中学生思维的抽象与形象并行性，使得高中数学课堂教学还是不能完全脱离学生的形象思维，而这就意味着要将数学知识植根于学生的生活当中，使得生成的数学知识生长得更为有力.
[?] 新知学习中的数学植根生活策略
在高中数学教学中，一些看似抽象的知识如果通过形象化的处理，则可以让它们化难为易、化繁为简. 以“函数的单调性”教学为例，这一知识是学生原有函数知识的进一步延续与深化，又为后面不同类型的函数知识的学习打下基础. 但根据我们的教学经验，学生在理解单调性的时候，多多少少总会存在一些困难，这些困难如果不及时化解，将对后面知识的学习产生较大的消极影响. 据此，我们设计了生活化的教学策略：
首先，创设生活化的情境. 生活中与单调性相关的实例其实不少，因此生活化情境策略有两个方向：一是先举出与单调性相关的例子，让学生于其中分析综合出单调性的存在，并进行理解；二是先简述单调性的特点，然后让学生到生活中去寻找相关的例子. 这两种方向分别适用于数学基础不同、思维能力不同的学生，具体如何选择，那要看学生的实际. 笔者选择的是第一种方式，在讲台上笔者演示了绳波的传播（由于其与物理有一定的相关，因此更加增强了学生的学习兴趣，也加深了学生对数学是物理的工具的理解），通过对绳波的观察，学生感知到了其中的“起伏”，于是再让学生举出生活中其他有起伏的例子，学生举出了水波等，还有学生说自己的考试成绩有“起伏”，这也为他们理解单调性提供了一个较好的基础.
其次，设计生活化的过程. 这里所说的生活化的过程，是指在新知学习的过程中，学生的思维载体是生活化的内容，但最终生成的肯定仍然是数学知识. 这一过程是从教师提出的问题开始的：在我们的数学学习中，有没有这样的起伏图象呢？学生自然根据近期所学的函数知识想到了函数图象，由于一次函数图象没有起伏性，而反比例函数和二次函数就有了这种起伏性，因此出现在了学生的答案当中. 随后，笔者让学生在草稿纸上画出这两者的图象，学生在画出了二次函数图象（其中有学生的合作过程，因为有极少数学生忘记了，这个过程对他们而言其实起到了复习的作用）之后，有眼尖的学生发现了其中的起伏――开口向上时，首先减小，后来变大；而暂时未发现的学生的思维则处于一种激烈状态，他们迫切想知道但偏偏又不知道.怎么办？还是结合刚刚情境创设中的学习过程进行对比，将抛物线看做波形中的一段即可.
再次，概念提升中的生活化. 由于初中阶段对此知识有所学习，因此高中阶段本知识的学习某种程度上是一种深化与提升. 高中阶段的单调性描述往往是这样的：对于区间I内的任意两个变量x1和x2，当x1
有了这样的过程，学生对认识单调递增、单调递减以及后面利用定义判断函数在某一区间上的单调性就显得比较简单了.
[?] 高考复习中的数学植根生活策略
值得注意的是，在高考复习中生活化的策略也是必需的. 因此虽然说进入了高考复习阶段，学生的知识已经全部学完了. 但这个时候如果还用原来的方式进行教学的话，那学生还只是一个重复的过程，如果改为生活化的策略，这些知识就会以另一个面目出现在学生面前，反而有利于他们建构完善知识体系.
以“数列”知识的复习为例，本章知识主要包括通项、前n项和以及等差、等比两种典型的数列. 由于遗忘等原因，在复习过程中我们追求以最快的速度帮学生重现并加固知识，这就需要教师以学生最熟悉的情境帮学生建立数列知识的原型，笔者选择了这样的策略：让学生到黑板上用小圆圈分别表示出等差数列和等比数列. 这一过程既是数学的，又是生活的，学生在黑板上成功表示出相应的数列过程中，下面的学生也参与了思考（因为情境不同，虽然看似简单，但其他学生就不处于观望状态），从而较好地奠定了这两个基础.再如数列复习过程中，有一类很重要的通过数学建模来解决实际问题的情形，也是很好的生活化复习的机会，如有这样的基本题：“某城市2011年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年保有量的6%.假设每年新增汽车数量相同，为确保该城市汽车保有量不超过60万辆，则每年新增汽车不能超过多少辆？”笔者将此题进行了另一种改造，将城市改为我们自己的学校，将汽车改为学生，将报废改为招生与毕业生之差，要算的是为了控制学校总人数不超过多少，则每年招生新增人数不能超过多少. 事实证明，这样的例子如果数据设计得当，更容易引起学生的兴趣，学生可以自发地将其中的一些数据确定为首项，在对实际问题的考虑中会想办法去建立通项……于是一个实际问题的解决过程就变成了一个数学过程，我们认为这对学生的知识复习是有着更大的作用的.
高考复习是紧张的，但紧张不能不顾学生的认知实际，在紧凑的数学知识堆砌的过程中，如果能够适时插入一些生活化的过程（可以是一节课，也可以是课堂上的一个片段），将会提高整个复习的效率. 在高考复习中，我们常常看到一种现象，那就是学生在经历了大量的习题训练之后，仍然会犯一些低级错误，一些常规题目稍微一变，学生就会遇到解决上的困难. 我们认为，出现这种情况，正是出在高考复习当中忽略了知识体系的构建其实是需要形象思维作为支撑，因此学生尽管重复训练却失去了坚实的基础. 要想改变这一现状，非得在数学知识密切联系生活的思路上下工夫.
[?] 生活何以为高中数学教学植根
植根是一门技术活儿！也就是说，不是将生活引入课堂数学知识就能生根，关键是对生活的数学化改造，以及数学课堂上将生活知识数学化的过程. 这是一个过程的两个状态，一个发生在数学教学之前，一个发生在数学教学之时. 数学教学之前的教学设计中，我们要寻找与数学知识相联系的生活素材，然后去掉它们的蔓枝，修剪成符合数学教学需要的素材，以用于情境创设或新知学习；数学教学之时的教学过程中，我们要及时根据学生的学习情况，根据学生的问与答，确定由生活到数学的最为有效的途径，只有经历精心设计的过程，学生才会在由生活到数学的途径中走得更为顺利.
课程标准和教材是教师进行教学设计的重要依据,准确研读并把握教材所体现的数学本质是教学设计的重中之重,而研讨教材的关键在于教学内容的整体性和联系性。数学科学的严谨性和系统性要求数学教学必须从整体上把握中学数学的内容。只有这样,才能对每一章节、每一堂课内容的地位和作用有深入的分析,对重点、难点有恰当的定位;也才能有效地突出重点、突破难点,合理地分配教学时间。强调整体性和联系性是数学学习的需要,是学生认知的需要,它可以帮助学生将零散的知识点形成有内在联系的知识网络。
一、将信息技术与数学教学相融合
高中数学课程应提倡利用信息技术来呈现以往教学中难以呈现的课程内容,鼓励学生运用计算机、计算器等进行探索和发现。社会的进步对教学内容提出了新的要求,同时也为教学提供了新的技术手段,为学习提供了新的学习方式。数学是研究空间形式和数量关系的科学,数学能够处理数据和信息,进行计算和推理,可以提供自然现象、科学技术和社会系统的数学模型。
(一)信息技术与数学教学融合后的功能
数学是学习和研究现代科学技术的基础,在培养和提高思维能力方面,发挥着特有的作用,其内容、思想、方法和语言已成为现代文化的重要组成部分。信息技术被运用于数学教学,弥补了传统教学的不足,提高了教学效率,同时也培养了学生的信息技术技能和解决问题的能力。信息技术与数学教学融合后,主要有以下几方面的功能。
1.激发学习兴趣、培养参与意识。
能否激发学生的学习热情是教师能否上好一堂课的关键。近半个世纪来,中国的教育受凯洛夫教育思想的影响极深,注重认知,忽略情感,学校成为单一传授知识的场所。这就导致了教育的狭隘性、封闭性,影响了人才素质的全面提高,尤其是影响了情感意志与创造能力的培养和发展。情境教育反映在数学教学中,就是要求教师注重数学的文化价值,创设有利于当今素质教育的问题情境。
例如,在学习函数基本性质的最大值和最小值时,我先播放了一段壮观的烟花片段。然后提出问题:“”盛放,制造时,一般期望它达到最高点时爆炸。那么,烟花距地面的高度h与时间t之间的函数关系如何确定?如果烟花距地面的高度h与时间t之间的函数关系式为h(t)=-4.9t2+14.7t+18。烟花冲出,什么时候是它爆裂的最佳时刻?这时距地面的高度是多少?
我通过创设类似问题情境,让学生感受到数学是非常有趣的,数学不只存在于课堂上、高考中,其价值也是无处不在的。教师情境教学能使教学过程变成一种不断引起学生极大兴趣的,向知识领域不断探索的活动。借助多媒体强大的图形处理功能、新异的教学手段,教师可以创设生动有趣的情境,激发学生的学习情绪,使学生固有的好奇心、求知欲得以满足,同时给学生提供自主探索与合作交流的环境。
2.拓展教与学的资源。
信息时代,网络为师生提供了新的学习资源。新的课程资源除课本外,还有网络资源、地方课程资源、社区课程资源和校本课程资源。新课程中,学生的学习也离不开网络,网络课程资源是对课本的重要补充。许多研究性学习课题、探究课题,都需要学生自主查找资料。目前,查找资料最方便、快捷的方法无疑是网络。
例如,在学完《导数》一章后,有一个研究性学习课题:“走进微积分”,就是让学生自愿组成学习小组,上网查找下列资料:①我国古代有哪些微积分思想的例子;②微积分产生的时代背景;③牛顿、莱布尼茨的生平;④微积分对人类科学和社会的影响。大多数同学都利用网络资源完成了这个课题,对微积分有了更加深刻的认识。
(二)在数学教学中运用信息技术的注意点
信息技术与数学的整合也要求教师不断学习先进的教育、教学理论和方法,学习信息技术。除参加各级教研活动、参加各种培训外,最适合教师的,同时也是最方便、快捷的学习方法就是网络学习。高中数学是抽象性和灵活性较强的学科。成功的数学课,不仅有教学素材的合理选取,教学方式的变化,而且有老师与学生的思维、语言与情感的交流。所以,在运用信息技术时,教师还要注意以下几点。
1.不宜过于追求大容量、高密度。
不少教师对信息的大容量、高密度津津乐道,教学中不给学生思考、讨论的时间,一节课完成过去两节甚至三节才能学完的内容,“人灌”变为更高效的“机灌”。教学失去了学生的思考,看似充实的内容,也失去了意义。
2.不忽视师生情感交流。
有些教师将预先设计好的或网上下载的课件不加选择地按程序将教学内容一点不漏地逐一展现;或片面追求多媒体课件的系统性和完整性,从组织教学到新课讲授,从巩固练习到课堂作业,每一个细节都有详尽的与画面相配套的解说和分析。至于这些内容是否适合学生,是否具有针对性,则无暇顾及。忽视教学中最为重要的师生之间的情感交流,让学生体验学习数学的价值就无从谈起,数学的教育性就大打折扣。
3.继承传统教学中的合理成分。
虽然信息技术与数学教学整合具有传统教学手段所不具有的很多优势,但是传统教学手段,无论是物质形态,还是智能形态,之所以延续至今,是因为它有巨大的教育功能。信息技术不可能简单、完全地取代传统教学手段。目前很多课件的设计,仍然来源于一些教师在传统环境下的教学经验。因此,数学教师在使用信息技术的同时,还要吸收传统教学手段中合理的东西,做到优势互补,协同发挥其教育教学功能。
4.整合需要好的教学设计。
数学教学如何与信息技术整合,是最值得讨论的一个问题。史、地、政、生等学科在利用信息技术时,可以利用丰富的视、听等多媒体效果刺激学生的感官,激发学生的学习兴趣。但数学学科有它自身的特点,如果一味利用视听刺激,久而久之,学生必然产生厌倦情绪,反而不利于学生学习兴趣的激发。我的思考是,数学有它自身的魅力,就在于探索学习者未知的知识领域。因此,要把信息技术利用好,教师还需要不断改进教学设计,利用“问题”吸引学生,达到激发兴趣的目的。
总之,数学课程与信息技术的整合,改变了我们传统的数学教育思想与教学模式。它能让教学永远充满改革与创新色彩,让教学永远处于一种科学合理状态,是教师“学会教学”、学生“学会学习”的重要方法之一。
二、合理创设问题情境
新教材在编写过程中非常重视新授课的引入,从高中数学教科书中可以看出每一节新课的内容组织形式主要以“问题情境学生活动意义构建数学理论回顾反思”为主,因此问题情境创设是高中数学教学中的重要环节之一。常言道:良好的开端是成功的一半。精彩的问题情境,不仅会引起学生的注意,起到承前启后,建立知识联系的作用,而且能让学生经历数学的发现和创造过程,了解知识的来龙去脉。
问题情境的创设要科学合理,符合学生的认知水平,能对新知识的生成起到抛砖引玉的作用。在新授课的教学中,大多数老师都能体会到问题情境的重要性,但在日常教学中,对问题情境的创设只是一种形式,甚至有些牵强附会。问题情境若不具有有效性,则起不到激起学生探索之欲望和点燃学生思维火花的效果。因此教师在高中数学新授课中,要以旧带新创设问题情境,以趣味性问题创设问题情境,用生活实例创设问题情境。
三、采用有效的教学方法
每一堂课都要有规定的教学任务和目标要求。所谓“教学有法,但无定法”,教师要能随着教学内容的变化,教学对象的变化,教学设备的变化,灵活应用教学方法。数学教学的方法很多,对于新授课,往往采用讲授法来向学生传授新知识。在立体几何教学中,教师还可以时常穿插演示法,来向学生展示几何模型,或者验证几何结论。在教授立体几何之前,教师可以要求学生每人用铅丝做一个立方体的几何模型,观察其各条棱之间的相对位置关系,各条棱与正方体对角线之间、各个侧面的对角线之间所形成的角度。这样在讲授空间两条直线之间的位置关系时,就可以通过这些几何模型,直观地加以说明。此外,教师还可以结合课堂内容,灵活采用谈话、读书指导、作业、练习等多种教学方法。在一堂课上,教师有时要同时使用多种教学方法。“教无定法,贵在得法”。只要能激发学生的学习兴趣,提高学生的学习积极性,有助于学生思维能力的培养,有利于所学知识的方法,教师都应积极尝试。
美国数学家斯蒂恩曾说过:“如果一个特定的问题可以转化为一个图形,那么,思想就整体地把握了问题,并且能创造性地思索问题的解法。”这表达了运用形象思维者的共同体验。例如:集合运算比整数的四则运算抽象多了,但辅以文氏图,就易于掌握;如果把生活中的“镜射”与轴对称进行类比,那么这种对称变换便容易把握;而照片的放大与缩小则是讲授相似变换的极好事例。培养学生解决问题的能力是数学教育力图追求的一大目标,这一点是公认的,然而怎么做,却各有各的“高招”。教师在讲授数学的过程中,“讲什么”、“怎么讲”非常重要,遇到没有“理想答案”的问题,向学生交代思维过程:知识的形成过程,解决问题策略的产生过程,遇到障碍改变思路的过程即可。
关键词：试卷讲评；认知差异；情感差异；差异教学
【教学背景和分析】
1.高三复习中，学生对高中数学的知识点进行重新梳理，大量的练习和测试穿插了整个教学过程，在此阶段学生的认知差异和情感差异体现得更为明显。授课班级为高三理科班，一轮复习过程中学生的成绩分化渐趋明显，知识基础和认知能力的差异对学生学习信心，兴趣的正、负面影响逐渐体现。
2.教学内容为一份阶段性测试卷的讲评。试卷均分为102分（满分160分），试卷选题有较好的区分度，学生之间的知识基础和能力差异体现较明显。讲评前做了较详细的卷面统计和学情分析，对重点讲解的问题和重点关注的学生做到心里有数。
【教学设计】
1.讲评中以认知差异为主，从而设计讲评顺序和题型，以阅卷中错误比较集中、有区分度的重点题型作为讲评重点，重视数学思想的渗透。
2.讲评中关注学生的情感差异，渗透情感教育，通过课堂教学中有意识的教学设计给学生表现的机会，帮助学生树立信心，激发学生的学习兴趣。
【教学目标】
1.通过精选问题的讲评，提高学生分析问题的能力，强化数学思想的运用，使各个层次的学生都有所收获。
2.结合情感教育，帮助学生树立信心，激发学生兴趣，为后续的教学打下基础。
【教学过程】
1.学生订正过程
给学生5～8分钟时间，自行订正试卷，可以举手提问。
（教师巡视，观察学生在此过程中遇到的认知困难和情绪波动是否和教师的预判相同）
2.教师讲评过程
教学片段1：
试卷第7题：设x，y∈R，则命题A：“x2+y2≤1”是命题B：“x+y≤1”成立的______条件。（填写“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”或“既不充分也不必要”）
师：填空题前6道题错得不多，第7题开始出现分化，很多同学错填了A是B的“充要”条件。我想先问一下充要条件的含义是什么？
生：充要条件指命题A和B可以相互推出。
师：好的，那么A是B的“充要”条件为什么是错的？
生：A推出B不成立。可以举出反例，如：x=y=0.6
师：非常好，一般我们说明某个判断是错的，只要举出反例就可以了。要正确解答这个题目，我们应该先搞清楚A和B之间的相互推导关系。有没有同学能说一下这个题目的判断方法？
生：若命题B成立，可以知道x和y都小于等于1，那么x2≤x，y2≤y，则A就成立了。又因为A推不出B，所以答案是“必要不充分”。
师：很好，直接从实数x的平方数的变化范围，利用x≤1时，x2≤x，我们得到了正确答案。那么还有没有其他做法？
生：（思考）
师：提示一下观察这两个不等式，如果把这里x，y看做某个点的横纵坐标会怎么样？
生：（讨论后回答）命题A和B中的不等式分别在平面直角坐标系中做出相应的图象。
师：具体呢？能不能画一下看看。
生：（动手作图）A表示一个圆的内部，B表示一个正方形内部。（教师投影）
师：很好，那这个问题还可以怎么解释？
生：由图象可以知道B对应的正方形在A对应的圆的内部，也就是说B对应的点的集合和A对应的点的集合的真子集，所以B能推出A，但A推不出B。
师：很好。那么这种利用“数形关系”转换思考角度从而用图形解决代数问题的思路我们称为……
生：数形结合！
师：好的，那么我们以后在解题中要注意这种思想方法的运用
（评析：在选择典型错例的基础上，有目的地选择有深度和可拓宽的题型，把握讲评内容的层次性，使内容层次与学生层次相吻合，问题难度由浅到深，调动各层次学生都积极参与讲评活动，帮助学生树立信心，同时注意对所学过的知识进行归纳总结，重视数学思想的渗透，启发新思路，探索巧解、速解和一题多解，从而使各层次学生都能有所收获。）
教学片段2：
师：第7题解完了，现在我想了解一下这道题目的哪些同学做对了，请做对的同学把手举一下。
生：（举手）
师：好的，放下。说明这些同学概念掌握的很好，提出表扬，也希望其他同学吸取教训，争取下次不要再错。
……
师：填空题讲完了，这次的填空题有一定的难度，但班上还是有6名同学拿了满分，他们分别是……提出表扬，希望继续保持。
（评析：考试以后学生的情感，经常表现出强烈的两极性，一场考试后常会引出一些意想不到的结果。在试卷讲评时不可忽视各类学生的心理状态，要用好激励手段。讲评过程中注意从各个角度肯定做得好的同学，例如总分好的，或者某一方面做得好的，或者穿插对某个题目正确情况的当堂统计，在全班同学的注视下，增强他们的学习信心。因此，虽然教师对考试结果已有详细统计，但仍应刻意安排这一环节。）
教学片段3：
师：下面我们看第16题的立体几何题，立体几何是高考必考题，虽然难度不大，但希望引起大家的重视，不要无谓丢分。
师：从这道题目的批改结果看，大多数同学都知道解题的思路，但不少人拿不到全分，原因往往在于书写不规范，定理叙述不完整。我们请孙xx同学把她的解题过程拿上来给我们看一下。
（学生孙xx数学基础一般，此次成绩98，在均分以下，解题速度较慢，但学习态度认真，立体几何的书写比较严密和完整，用她的试卷作为样卷，实物投影略作点评和讲解。）
……
师：孙xx同学的过程非常完整，定理运用准确，大家对照自己的过程，希望能有所改进。
（评析：对各种优点的表扬要因人而异，对学生的答卷优点，应大加推崇。如卷面整洁、解题规范；解法有独到之外、有创造性等， 优秀的答卷可以在全班作为样卷评讲，不仅可以节约板书时间，提高课堂效率；还可以大大增强学生的学习兴趣和信心。由于这道立体几何题虽有不少失分但问题难度不大，只需略讲，用孙xx试卷的展示即节约了时间，提高了教学效率，又对其学习态度作了无形的褒奖，可以激发此类中等生的学习热情。）
【教学反思】
片段教学，即一节完整的课堂教学中的一个片段，它是局部的，通常是虚拟的，其功用在于教研或评价．执教者可以通过完成指定的片段教学任务，展现自己的教学基本功、教学能力和教学思想；评教者则可以通过小中寓大的片段教学以点观面，以小见大，进行教学评价．
本次大赛的片段教学，初中部进行的是人教版平面几何《正方形》例题“正方形的对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形”的教学，高中部进行的是人教版《直线与圆的位置关系》知识内容与例题1的教学，参赛教师均能在限定的15分钟时间内完成既定的教学任务，从整体上看，他们在基本功和教学技能上均有正常的表现或良好的发挥，具有以下几个突出特点：
一、知识目标明确．能准确把握片段教学的知识目标，并能在这个局部目标中贯穿整课或章节整体教学的知识目标，对片段教学内容在教材中的地位、作用有正确认识．
二、学情预定合理．能对学情即对学生知识基础和当前的学习困难问题进行合理预定，教学过程中能选定一个角度切入主题，注重重点知识的教学和难点知识的突破，采取的对策有助于学生克服数学理解障碍．
三、教学方法追求新理念．大部分教师都采用了启发式、讨论式的教学引导方法，部分教师在课堂上通过语言对自主、合作、探究的学习方式进行鼓励和倡导．
四、教学过程步骤完整．对片段教学过程有整体设想，导入、转换与总结等步骤完整，节奏感强．师生交流过程中的问答有设计有内容，显得较为充实．
五、例题讲评符合学科特点．对例题教学的训练目标明确，能简练准确地阐述问题，能以简明规范的数学语言进行有条理的讲解，同时或简洁精要或全面细致地将内容以板书形式呈现．部分教师采用的“小步快走”的策略使讲解体现出一定的层次性，关注到全体学生的能力形成和思维品质的培养．
六、教学情境虚拟较为自然．教师备课时对可能发生在实际课堂上的学生发言和师生交流的正常情况进行了预设，教学中用以虚拟的语言和行为较为逼真自然，做到眼中有学生，心中有课堂．
就各个选手临场表现而言，虽可说是各有特点，但仍存在层次差异，某些选手在语言、板书、作图、课题引入、内容讲授、教学方法运用和数学思想方法的揭示、总结等各方面都有较好表现，获得了很高的综合评价分值．例如，高中部第16号选手进场时即快速使用粉笔与小线索做了一个画圆的小工具，从板书水平看，他完全有能力徒手画圆，但是，使用教具却体现了作图的规范性与数学的严谨性，版面更美观，学生更易认知接受．片段教学中，他利用教材的航线与台风会不会相交的问题引入教学，在提问后假借学生之口说出：从平面几何方向看，只要判断圆心距与半径的大小关系．接着，他指出用几何方法求圆心距有一定困难，并启发学生尝试从代数方向考虑，应用学过的直线与圆的方程处理问题，同时他还以漂亮规整的板书给出了代数问题与几何问题之间的转换关系．在例题教学过程中，他以感性动听的语言不疾不徐地阐明题意，给出解题过程：先将圆方程进行配方，指出圆心、半径，算出圆心到直线的距离，判断出直线与圆的位置关系是相交，有两个公共点，再通过联立直线与圆的方程，解方程组得到交点坐标．之后，他指出先几何后代数的方法就本题而言是多此一举，鼓励学生改进方法，争取一步到位．最后，通过总结让学生知道，只要联立方程获得两个交点坐标即可说明直线与圆的位置关系是相交．有别于其它许多选手的地方是，第16号选手在解完题后对解题方法进行了很好的回顾与反思，细致说明了方法适用的场合，部分揭示了寓含于解题过程的数学思想方法，并提出适当问题让学生分组讨论．
本着精益求精的原则，我们必须进一步思考片段教学中存在的问题．在对日常数学课堂教学和大赛片段教学进行共性分析后，感想数学教育应有之义，谨于本文提出以下三个教学主张供同行参考。
一、将兴趣作为数学学科教学的出发点，让学生更喜欢数学
不言而喻，最有成效的数学学习与研究活动源于个人的专心致志与高度集中的注意力，而使注意力得以高度集中的内驱力则主要来自对数学的浓厚兴趣．因此，在数学教学过程中，必须培养学生以持久而专一的兴趣在学习中研究，在研究中学习．由于数学教材有时因各种原因难以充分关注到学生进行数学研究与学习的兴趣，在教材正常篇幅之内无法渗透更多有审美情趣有文化气息的内容，因此，在实际教学过程中，教师必须着眼于学生的研习兴趣重新组织教学内容，对教材进行拓展与改造，创造性地使用教材，力求让数学课堂脱离单纯的知识传授、解题训练的枯燥状态而回归到更有教育意蕴的审美与文化的层面．
比如在初中部的片段教学中，教师应力图在教学过程中逐步启发学生数学研习兴趣和爱好，利用平面几何在美学特征上的特殊优势进行教材的个性化处理．如果学情允许，应当让学生在较短时间内写出已知、求证与证明，接着可以选用以下几种或更多的个性化处理方案：（1）指出正方形是正多边形的一种，将例题结论适当改造后向其它正多边形推广，容易得到一个关于正多边形的统一性质．推广是进行数学发现的基本方法之一，而统一性则是数学美的重要体现；（2）引导学生思考正方形分割成四个等腰三角形有多少种方案的问题，通过启发可以获得以下方案图1～4，这样的处理加深了学生对正方形和等腰三角形性质的理解，让学生在观赏漂亮的几何图形的同时也丰富了几何的想象力；（3）正方形对角线是两条过中心的互相垂直平分的线段，若将两对角线同时绕中心旋转一个角度，可得到图5．隐去两对角线后再顺次连接四个交点，得到的图6恰好就是教材紧接给出的例2图形．使用隐去图6小正方形的两对角线后得到的图7，可以最简捷地获得勾股定理的证法，它比图8的赵爽弦图更易于构造和计算．
图1 图2 图3 图4
图5 图6 图7 图8
“知之者不如好之者，好之者不如乐之者”，提高数学教学质量的关键正是如何激发数学学习兴趣的问题．数学美体现于数学理论结构的精致、统一和简洁，其独特性让许多精彩的数学在大众广泛传播，孕育了经久不衰的数学文化．数学课堂上，许多时候都能以基于数学美的数学文化育人，这也是数学课激发学习兴趣的最重要途径．
二、在动态生成的课堂中采取灵活多样的教学方式，让数学变得更易于理解
高科技迅猛发展的当代社会，各领域间的合作日益加强，这种背景下社会迫切需求的是创新型、实用型、复合型的人才，这类人才的造就需要有自主思考、终身学习和合作探究的环境，所以，我们的课堂教学必须摆脱以往那种单一的传授模式，引入并开展班级授课制背景下的学科研究性学习、小组合作学习和探究性学习，倡导自主、合作和探究的理念，使课堂教学方式趋于多样化，更为灵活更富有实效．
班级授课制是学校教学的基本组织形式，它最显著的特点是教材、要求和进度等方面的统一化．班级授课制有利于合作探究学习方式的开展，但不利于自主学习方式的开展，教学与学生的学习和生活实际也会经常脱节．我们当前在高中进行的数学教学的现实是，为了高考备考，许多学校都腾出一年的时间用以备考复习，将知识内容的教学时间压缩至两年，这种情况下，无论在教学中进行合作探究还是自主学习都会在时间方面受到限囿，因为这两种学习方式都是以宽裕的学习时间为前提的．
终日而思，不如须臾所学，自学和听授在知识接受方面要比探究更有效益，但探究虽于知识增多无益，却能让人对知识的理解更为深刻，其对创新意识与创新思维的培养作用更是自学和听授两种方式所无可比拟的．在对数学知识进行再发现再创造的探究过程中，学生成为知识的发现者和创造者，满足了精神世界最内在的需求，而且在思考探究中对知识的来龙去脉有了更清楚的认识，就可以克服数学知识难以理解的障碍．
摆脱了单一传授模式的数学课堂，知识经验往往是在师生交流过程中动态生成的，在多方互动的场合下，学生带着自己的经验、知识、思考、灵感和兴致参与课堂活动，教学情境需要多重预设，教师必须根据课堂上诸多不确定的因素，随时调整引导方式，教学方式必须更为灵活更多样化，而教学复杂程度与创造性质也会随之增强．特别是在高中数学教学过程中，教师必须拥有广博的数学知识背景，不仅要明了高中数学的历史背景、学科地位与作用，精通基础理论知识，熟悉高中数学知识内部的系统结构，还要对高中数学所蕴含的文化价值、思想方法、人文观点、辩证规律、美学内涵有自己的体会；不仅有学为人师的数学科学与数学文化素质，具备与高中数学知识有关的高一级数学知识，还应该不断丰富个人的数学探究经验与数学发现经历，能以数学的眼光看待生活中的问题，敏锐捕捉数学与日常生活之间直接或间接的联系．动态生成的课堂是学生、老师尽展才华的课堂，只有在教学过程中不断扩充数学知识储备，为指导学生进行数学探究做好充分的准备，才能在课堂上更好地引导启发学生．
实际教学中，我们可以根据课程的具体特点，倡导创新，在动态生成的课堂中采取灵活多样的教学方式，体现现代教学理念．在教学方法上，可以更多地采用启发式、讨论式；在教材的处理上，可以更多地从一个新的视角去挖掘，更好地体现新课程理念下的教学价值取向；在教学过程中，可以更多地给学生创设探究学习的机会，以直观化和具体化的策略破解数学学科的抽象疑难，使学生在探究中学会归纳、学会类比、学会猜想，让数学变得更易于理解……
三、全面培养数学能力引导领悟数学思想智慧，让学生更有效地学习数学
由于高考的导向和传统的教学评价方式的影响，中学数学教学仍以大题量的强度训练为主要特征，数学能力通常被错误地等同于解题能力．解题能力只是数学能力的一个部分，大多时候它指的是一种在已知了结论后的求解的运算和证明的逻辑能力，而新课程理念倡导培养的探究能力和创新意识则更多地与数学发现能力有关，数学发现经常是在未知结论的情况下进行的，探求结论所需要的观察、试验、归纳、类比和猜想等思维能力和数学思维品质则很难在解题教学过程中进行培养．我国初、高中数学教学大纲都明确指出，数学能力主要是指：会观察、实验、比较、猜想、分析、综合、抽象和概括；会用归纳、演绎和类比进行推理；会合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想和观点；能运用数学概念、思想和方法，辨明数学关系，形成良好的思维品质．大纲对思维能力的阐述较为准确、科学，这种能力不能在解题教学中得到完整培养，却可以在数学知识再发现的教学中得到很好弥补．例如，在高中部片段教学过程中，教师可使用多媒体展示（虚拟）“轮船航线与台风问题”、“太阳从海平面升起”与“大漠孤烟直，长河落日圆”等影像，再让学生通过几何画板进行观察并回忆已学知识，从几何特征上归纳出判断直线与圆的位置关系所需要的量．接着进一步引导学生观察，让学生说出三种位置关系下直线与圆的公共点个数所发生的改变，由改变情况联想到一元二次方程根的个数问题，通过类比即可将学习过的直线和圆的方程用以判断位置关系．
在全面培养学生数学能力的同时，还要注重培养学生对数学知识系统整体直觉能力，注重让学生掌握一些常见的基本思想方法．通常，我们会为了解题为了高考将知识割裂为许多孤立的知识点，极其关注解题能力的培养，而忽略了对数学整体的把握，忽视了对数学思想的概括和数学智慧的领悟．数学思想是概括了大量数学事实与理论后产生的对数学思维方法的本质认识，它随着概括程度的不断深入而变化、发展，是关于数学方法的哲学．在中学数学中，思想方法繁多，但大都蕴含了转化这一根本思想，都有着化难为易、化繁为简的策略倾向．对数学思维方法的认识上升到一定的思想高度后，对某一数学理论知识有了整体掌握，能迅速、灵活、正确地处理问题并加以创造性地运用，这样的能力不妨称之为数学的思想智慧，它意味着以最佳方式处理数学问题的能力．在数学研习中，思维是全景式的，它集中反映了人类思维的多样性，从而体现了人的思想与智慧，因此数学的思想智慧蕴含在数学思维之中．在数学课堂上，数学的思想智慧可以渗透到数学思维活动的每一个细节，比如在高中部的片段教学时，适时揭示融于知识与技能中的丰富的思想方法（有坐标化、数形结合、等价转换、方程、算法和对应等），一样可以提升教的品位提高学的兴趣，在例题（已知直线l:3x+y-6=0和圆心为C的圆x2+y2-2y-4=0，判断直线l与圆C的位置关系；如果相交，求它们的交点的坐标）的教学时，通过比较获得问题的最佳处理方案，也是数学智慧的一次展示．
在新课程时代，各种新的教学理念如同钱江大潮般向我们涌来。数学课堂是充满生命活力的，学习过程是动态发展的，学生应作为一种活生生的力量，带着自己的知识、经验、思考、灵感、兴致参与课堂活动，从而使课堂教学呈现出丰富性、多变性和复杂性。所以时代呼唤新的数学课堂，而新的数学课堂具有动态生成的特点。只有在生成性的数学课堂中，学生才能得到有效发展，全面的提高。
随着数学新课程改革的深入发展，数学教师纷纷开始生成性课堂的教学探求。我们的数学课堂正悄悄地发生变化，但迷惘和困惑常伴随着我们。一是教师过于重视预设而忽视生成，在课堂中完全忠实地实施预设方案，按部就班地完成了预定任务，限制了学生对预设目标的超越，学生的创造智慧泯灭其中——教师对“预期性生成”还是胸有成竹的，但一些教师面对课堂上纷至沓来的“非预期性生成”却束手无策，缺少教育机智，以致在丰富的生成变化中迷失了方向而无可奈何地又把学生硬拉回预设。二是有的教师一味追求生成，没有预设而随意设问，“脚踏西瓜皮，滑到哪里算哪里”，“生成”出许多离题万里、毫无必要的“麻烦”，导致了教学的“停顿”、“尴尬”和失控，最终影响了教学的生成及效果。
为此，探讨高中数学生成性教学资源的内涵、挖掘以及在挖掘过程中找到预设与生成的平衡点就具有十分重要的意义。
一、高中数学生成性教学资源的内涵
1.对生成性资源的认识
生成，一般来说是指起源、创始、创造、产生和发生，就是“在新的情境中产生”。本文中的生成，是指在教学实践中，因学情的变化，对预设的教学目标、内容、过程、方法的调整，以及教师在教学过程中产生的教学机智与合理调控。生成性资源，是指课堂教学中通过互动、对话、情境设置、教与学等活动即时产生的超出预先设计的问题。课堂生成性教学是指在弹性预设的前提下，在教学的开展过程中由教师和学生根据不同的教学情境，自主构建教学活动的过程。“意外”“节外生枝”“捕捉”“灵光乍现”是生成性教学资源的关键词。“意外”主要有两种类型：一种是客观突发事件，如教学环境的改变、教学参与主体的变化、教学场的外在嵌入；一种是主观预设之外又是情理之中的突况，如学生的突发奇问、教师讲授的卡壳现象等。大部分“意外”属于后一种类型。当教学不再按照预设展开时，教师将面临严峻考验和艰难抉择，这就要求教师既具有预设的目标意识，又具有生成的机智意识。应当指出，学生在教学中产生某种顿悟但没有引起教师的足够重视，或师生进行不着边际的无意义互动，这些都不属于生成。
2.高中数学生成性教学资源的常见来源
数学课堂教学中生成性资源的常见来源：学生练习中的问题与错误；学生回答中的“节外生枝”；教师在教学过程中迸发的思维火花和教学机智；学生讨论中的分歧。只有教师敢于运用非预设教学资源，打破课前教学设计的框框，踏着学生思维发展的步伐，诱导学生的思维朝更高的方向发展，真正做到“创造性地使用教材”，生成性教学资源的来源才更为丰富。
3.高中数学生成性教学资源的特点
（1）创造性。在教学中，教材是范例，教学活动是过程，二者是预设的，但不是不变的。正如著名的教育家叶澜所说：“课堂应是向未知方向挺进的旅程，随时都有可能发现意外的通道和美丽的图景，而不是一切都必须遵循固定线路而没有激情的行程”。数学课堂中的生成性资源的产生源于创造。
（2）突发性。课堂教学中的生成性资源有时是学生和教师在活动过程中“灵机一动，计上心来”的结果，带有突发性。但是这并不是说，课堂教学中为了有效利用生成性资源，而完全不预设。科学的预设还是必不可少的，教师只有深入地备课，才能对生成的信息作快速的判断与取舍，才能把所需要的纳入到准备的“预案”中，与已有的知识建立联系。正如歌德所说：“我能看到什么，取决于我已经知道什么。”
（3）可挖掘性。使用任何一套教材进行教学都需要师生去挖掘、去创造性地使用，才能激活课堂中的教与学。
（4）不确定性。课堂上生成的资源具有不确定性，这种不确定性可能体现在教育价值的不同，有时还可能产生负面的教育效应。
（5）再生性。教学资源既包括教学物质资源，也包括教学人力资源。生成性资源属于后者。人力资源的显著特点是具有再生性，可进行循环开发和利用。生成性资源也是一种取之不尽、用之不竭的可再生性资源。
4.高中数学生成性教学资源的作用
（1）对教师预设的教学设计的完善。学生是一个个活生生的生命体，他们的家庭背景、生活环境、生活经历等都是不同的，因此他们的心理世界、思考角度、思维方式与水平也是不一样的。对于同一件事物，不同的学生会有不同的看法。所以在课前，虽然老师已经有了科学的预设、理性的思考、精心的安排，深入地备知识的内涵与外延，备学生已有的经验，备课堂教学中可能出现的问题，但对于所有学生可能出现的想法与教学过程中可能出现的问题还是无法一一预设出来的，学生的回答不时会偏离了设计的初衷，而这些意外正是完善教学设计的重要途径，是“教学相长”的体现。
（2）引起学生对问题的讨论与思考。学生之间的差异、教学中的偶发事件，乃至教师教学设计中的失误、灵机一动等，如果能被教师及时地抓住并恰当地进行引导、挖掘、升华，都会为课堂教学带来新的生机与可能，都可能成为有利于学生成长的课堂教学的闪光点，这样的教学对学生今后的发展具有积极的作用。
二、高中数学生成性教学资源的挖掘
研究中我们发现，有了充分的预设，课堂的“生成点”是有迹可循的，我们可以充分挖掘。“生成点”主要出现在以下教学环节中。
1.在学生的问题与错误中生成
数学课堂教学不仅仅是告诉，更需要经历。真正关注学生学习的过程，就要有效利用学生的错误资源，教师要乐于向学生提供充分研究的机会，帮助他们真正理解和掌握数学思想和方法，获得更加广泛的数学活动经验。
例1：已知函数f（x）=log2（x2+ax-a）的值域为R，求实数a的取值范围。
师：函数f（x）=log2（x2+ax-a）的值域为R，要满足什么条件呢？
生众：满足x2+ax-a>0。
师：满足x2+ax-a>0的条件又是什么？
生众：
师：由
当a∈（-4，0）能保证函数f（x）=log2（x2+ax-a）的值域为R吗？（让学生思考）我们不妨取a=-2，则
f（x）=log2（x2+ax-a）=log2（x2-2x+2）
=log2[（x-1）2+1]log21=0，
此时函数f（x）的值域不是R，所以解答有误。问题出在哪里？（学生睁大眼睛听老师分析。）
师：正确的解法是因为值域为R，所以x2+ax-a必须能取到一切正数，故有=a2-4（-a）0?a≤-4或a0。
生1：0不正是x2+ax-a取到非正数吗？没有意义啊！
师：是的，但取到的非正数x不是我们需要的，这可以由x的范围来限制。例如，取a=-4，则f（x）=log2（x-2）2，定义域x2≠2就可保证f（x）值域为R了！也就是说当0时，能保证x2+ax-a0，结合对数函数的图像知f（x）的值域能取到一切R。
如果这样仍不能理解，我们还可以用方程的观点来解：原函数的值域为R，就是指关于x的方程f（x）=log2（x2+ax-a）=y对任意实数y都有实数解。
x2+ax-a=2y恒有实数解?=a2+4（a+2y）0对y∈R恒成立?a2+4a-4·2y对一切y∈R恒成立。
又-4·2y
故a的取值范围是（-∞，-4]U[0，+∞）。
数学的学习过程是一个再创造的过程，也是试错和不断改正错误的过程，教师顺着学生的错误理解解下去，再验证结果不对，进而找到正确的解法，生成有价值的认识，这本身就是一种很好的教学资源。
2.在创造中生成
培养学生的实践精神和创新能力，是基础教育课程改革的主要目标。课堂教学如果能为学生提供创造的机会，无疑是很好的教学资源“生成点”。记得笔者在讲解一道习题时，曾出现一个精彩的片段。
例2：函数y=3sin（x+20°）+5sin（x+80°）的最大值是（ ）。
A.5 B.6 C.7 D.8
笔者按常规思路讲解：把x+80°化成（x+20°）+60°，再把sin（（x+20°）+60°）按公式展开，结合前面的式子化成一个角的三角函数，即可求解。当然，也可以把x+20°化成x+80°-60°（解题过程略）。
笔者讲完后，一位学生迫不及待地说：“老师，有更简单的解法。”
“说吧。”笔者鼓励道。
学生兴奋地回答：x+20°与x+80°不可能同时取到k·360°+90°，K∈Z，最大值不可能是8，排除选项D。
又当x=10°时，y=+5=6，大于A、B选项的值，故可排除A、B，选C。
学生刚说完，热烈的掌声就响起来了，无疑，学生们在欣赏这个简洁的、富有创造性的解法。当然，这位学生能想到这样的方法，是因为在之前的教学中笔者曾介绍过解答选择题的估算法，可以说，学生的精彩生成是教师教学思想的延续，是师生共同建构的结果。
3.在适度拓展中生成
数学课程应当开放并充满活力，这就要求教师拓宽数学教学和运用的领域，使学生在不同内容、方法的相互交叉、渗透、整合中开阔视野，提升数学素养。显然，教师在教学过程中迸发的思维火花和教学机智也是一种生成。
有一道流传甚广的三角不等式问题。
例3：已知0
2010年，例3成为北京大学、香港大学、北京航空航天大学3校联合自主招生考试试题。作为例题，一般教师给学生讲两种解法：一是构造函数法，利用导数证得结果；二是三角函数线法。
问题讲解到此似乎该结束了，但笔者的脑海里闪过一个念头：这不正是渗透特殊与一般思想的好时机吗？于是笔者将题干求证部分改为“求证：sinx
学生很容易理解：上述命题要转化为一般性命题方可证明：若0
如此生成，既有知识，又有方法，还有智慧，学生终身难忘。
4.在尝试和探究的活动中生成
在尝试和探究性学习中，由于结论不是现成的，学生会有多种思路、多种方法，往往也会产生不同的结果——有些正确，有些错误。锄去“杂草”，让“庄稼”生成，课改的田野才会郁郁葱葱。
如在讲“椭圆的定义”一节时，笔者做了这样的演示实验。先将细绳两端重合，把粉笔套在其间在黑板上画了一个图形，学生马上指出这是一个圆，然后再将两端分开，固定在黑板上，把粉笔套在其间画了一个图形，并向学生说明这种曲线叫椭圆。然后让学生根据操作过程，相互讨论，让学生探究怎样的图形叫椭圆。学生甲：到两定点距离之和等于定长的点的轨迹叫椭圆。根据甲的叙述，我便将细线拉直将两端固定在黑板上，粉笔仍然套在线上运动，便画出了一条线段。学生乙提出定长必须大于两定点之间的距离。教师问这样下定义是否严密完整？这样学生便又提出“在同一平面内”这样的条件。最后探究出椭圆的定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。
这里，有实验有辨误，有限制条件的理解，对椭圆定义的认识是比较到位的，也是比较深刻的。
5.在偶发中生成
课堂上有时会发生一些偶发事件。这种偶发事件有的与数学教学有关，有的与数学教学无关，与数学教学有关的，可以直接利用，与数学教学无关的，可进行其他方面的教育。变偶发事件为教育良机，也是教育教学的生长点。
例4：一位教师准备给学生上“简单随机抽样”（人教版高中“数学3”）一课，课前，他接到学校通知：要求每班选派5名学生代表参加下午学校举行的学生座谈会。
师：今天下午学校要召开学生座谈会，要我们班选出5名代表参会，学校为什么不让大家都参加呀？
生众：人数太多，座谈不方便。
师：让我们班选派5名代表参加座谈会，这实际上是使用了统计学上的什么方法？
生1：用样本估计总体。
师：样本和总体分别指什么？
生1：我们班的全体同学就是总体，被选派的5名学生就是在我们班这个总体中抽取的样本。
师：既然这里用了统计学的方法，那怎样从我们班选出5名代表比较合适呢？
生2：这好办，为每人准备一张纸条，上面写上每个人的名字，随便抽5张就行了。
大部分学生点头表示赞同。
生3：采用类似于击鼓传花的方式，花落在谁手里就选谁。
生4：教室里有滚动数字的机器就好了，就像抽奖，喊停时显示学号。
学生都笑了，课堂气氛顿时被调动起来。
教师在此基础上，引导学生通过分析、讨论，很自然地得出“简单随机抽样”的一种方法——抽签法及其操作步骤。
【关键词】价值；原则；要求；方法；意义
初中数学是一门理论性和实用性较强的学科，枯燥的理论知识容易让学生们产生厌倦，而活泼、有趣的数学情景模式的创设正是解决这一问题的钥匙。
我们为什么要创设初中数学教学情境呢，笔者认为主要是因为初中数学情境的创设具备以下三个方面的价值。
1. 初中数学情境创设的价值
（1）可以增强学生学习数学的兴趣。
数学问题情境的创设，可以把枯燥的数学学习变成生动、活泼、直观的学习，能够激发学生学习数学知识的兴趣。
讲述九年级上册《车轮为什么做成圆形》这一节课的内容时，我的教学情境设计片段如下：①多媒体演示：一辆卡车在高速公路上直驰的情境。卡通人物画外音问：“卡车的轮子为什么要做成圆的？假如卡车的轮子做成三角形，卡车行驶起来会出现什么情况？”②让学生分组讨论。③教师提问各小组的讨论情况。④多媒体演示：把上面卡车的轮子改成三角形或四边形，卡车在高速公路上一瘸一拐、慢吞吞地行驶。
学生在我教学设计的指引下进行探究，马上引起学生的共鸣，学生们热烈地进行小组交流，达到了预期的教学效果。
（2）可以让学生们深刻体会数学来源于实践又指导实践的理论思想。
通过一个个数学情境的创设，能让学生们充分理解数学学习是前辈们从无数生活实践中经过艰辛的努力得出的结晶，而这些结晶又反过来指导生活实践，促进实践的进步。让他们初步体会数学学习的价值和意义并能初步培养他们数学研究的思维。
（3）可以提高学生们的动手能力。
教师通过操作数学情境的创设，让学生参与数学学习的全过程。在实际操作过程中探索数学的奥秘，从而不仅可以提高学生的动手能力，还可以提高学生分析问题，解决问题的能力，还可充分调动了学生学习的积极性，学生的思维一下子得到激发，学生掌握知识快、掌握知识牢固，教学效果不言而喻。
2. 初中数学情境创设的原则
（1）注重形象化和直观化。
形象化、直观化的问题情境适合初中生思维形象具体的特点，容易被学生理解，集中学生的注意力，从而激发学生学习的主动性和积极性。例如在讲解《正数和负数》的时候，教师事先准备一个学生熟知的温度计，引导学生观察温度计的刻度，使学生们很容易理解正负数的概念。这种形象直观的演示，教师易操作，学生学习的兴趣浓厚，教学效果可想而知。
（2）注重问题的层次性。
情境的设计必须由浅入深，由易到难，层层递进，把学生的思维逐步引向深入。创设阶梯式问题情境，把大的问题化成一个个小的问题，而且前面的小问题提示学生思考后面的小问题，化难而易，从而可以让学生们易于接受乐于接受。
（3）注重发散性。
教学具有高度的抽象性、严密的逻辑性和广泛的应用性，而初中生的思维正处于以具体形象思维为主要形式向以抽象逻辑思维为主要形式逐步过渡的阶段，数学知识的抽象性与学生认识的具体形象之间存在着矛盾。因此，在初中数学教学活动中，应以问题为主线，通过创设问题情境来调动学生思维的参与，激发其内驱力，使学生真正进入学习状态之中，达到掌握知识、训练思维和提高能力的目的。
（4）注重问题性。
“问题”是探究的方向与动力，是学生学习新知的源头所在，学生要在解决问题的过程中学会学习，建构新知，根据学习内容，创设学生熟悉或感兴趣，与学习新知紧密相关的情境，利于学生提取信息，提出数学问题。
（5）注重启发性。
作为数学情境的材料或活动，必须富有启发性，能激发学生的求知欲，引发学生广泛的联想和想象。
3. 问题情境的创设要求
适宜的问题情境能激发学生的思维，调动学生的学习兴趣，活跃课堂气氛，而不切实际，抽象空洞的问题情境只会使学生产生高深莫测的心理困惑，创设适宜的问题情境，应具备以下要素：
（1）具有最近发展情。
问题情境的创设要与学生的智力和知识水平相适应。过易的问题学生不感兴趣，反之会使学生感到高不可攀。现代数学理论认为，在学生的“最近发展区”提出问题，能促进学生最大限度地调动相关旧知识来积极探究，找到新知识的“生长点”，从而实现学生的“现有水平”向“未来的发展水平”的迁移。因此，创设的问题情境必须依原有知识为基础，以新知识为目标，才能收到良好的效果。
（2）具有针对性。
问题情境必须针对教学目标来创设。
（3）具有一定的开放性。
创设的问题情境必须具有趣味性，这样才能引起学生的共鸣，产生探究结论的兴趣，调动学生为问题的解决形成一个合适的思维意向。
（4）具有连续性。
创设的问题情境具有连续性，能起到承前启后，温故知新的作用。问题情境可以具有单一的连续性，也可以具有层层递进的梯度式的连续性。
4. 初中数学情境创设的具体方法
（1）在学生生活经验的基础上创设问题情境。
数学来源于实践，又去指导实践，这是数学研究和学习的思维。同样在数学教学过程中，我们也应当遵循这一指导思想，从初中数学学生所具备的基本生活经验出发，创设他们能够理解和易于接受的实际问题。当数学和现实生活密切结合时，数学次优生命力，数学教师设计贴近生活数学情境入课，学生们才会感到亲切和易于理解和接受。
（2）讲述数学典故来创设问题情境。
历史上的数学典故有时反映了知识形成的过程，有时反映了知识点的本质，用这样的故事来创设问题的情境不仅能够加深学生对知识的理解，还能加深学生对数学的兴趣，提高数学的审美能力。如在学习“圆周率”的时，教师可以讲述祖冲之是怎样通过艰苦的努力得出圆周率，并讲述这一研究成果的历史地位和意义。
（3）“试误性”情境的创设。
学生在理解、应用数学知识和方法的过程中，常因各种原因犯一些似是而非的错误，适当创设“试误型”教学情境，可为学生尝试错误提供时间和空间，并通过反思错误的原因，加深对知识、方法的理解和掌握，提高学生对错误的认识和警戒，培养思维的批判性和严谨性。
5. 初中数学情境创设的意义
